魏光輝

(新疆塔里木河流域管理局， 新疆 庫爾勒 841000)

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基于Copula函數(shù)的開都河年徑流預(yù)測

魏光輝

(新疆塔里木河流域管理局， 新疆 庫爾勒 841000)

河川徑流量的準確預(yù)測對于水庫調(diào)度、區(qū)域水資源優(yōu)化配置具有重要意義。本文以新疆開都河為例，運用Copula函數(shù)將自變量和因變量的相關(guān)程度和相關(guān)模式有機結(jié)合，構(gòu)建兩變量聯(lián)合分布函數(shù)，研究兩變量與聯(lián)合分布之間的相依結(jié)構(gòu)；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)樣本值未知的因變量邊緣分布與聯(lián)合分布關(guān)系，結(jié)合樣本值己知的自變量概率分布，對因變量未知值進行預(yù)測。結(jié)果表明：基于Copula函數(shù)的預(yù)測方法原理明晰、計算簡便、性能穩(wěn)定、預(yù)測精度較高。

年徑流； 預(yù)測； Copula函數(shù)； 聯(lián)合分布； 開都河

Copula函數(shù)是一類將兩個或多個隨機變量的任意邊緣分布函數(shù)進行連接得到兩變量或多變量聯(lián)合分布函數(shù)的連接函數(shù)，該函數(shù)克服了多變量聯(lián)合分布難以確定的困難，能夠簡潔合理地構(gòu)造聯(lián)合分布函數(shù)，清晰靈活地刻畫變量間的相關(guān)性關(guān)系，使變量的邊緣分布和相關(guān)性結(jié)構(gòu)分別得到研究，不產(chǎn)生信息失真。

目前，Copula函數(shù)廣泛應(yīng)用于變量頻率分析計算。在水文水資源領(lǐng)域，Copula函數(shù)在洪水頻率分析[1]、干旱特征分析[2]及水文隨機模擬[3]等方面均取得了很好的應(yīng)用成果，但在預(yù)測問題上的應(yīng)用相對較少。目前常見的水文預(yù)測模型有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]、組合模型[5]、分布式模型[6]等，本文將Copula函數(shù)應(yīng)用于預(yù)測研究，提出Copula預(yù)測方法。通過Copula函數(shù)構(gòu)建自變量和因變量的聯(lián)合分布函數(shù)，分析自變量和因變量的相關(guān)程度和相關(guān)模式；在此基礎(chǔ)上，結(jié)合樣本值已知的自變量概率分布特點，細致研究樣本值未知的因變量概率分布與聯(lián)合分布的關(guān)系，對因變量未知值進行預(yù)測。對新疆開都河年徑流預(yù)測的結(jié)果表明：該方法原理明晰、計算簡便、預(yù)測精度較高。

1 Copula方法介紹

1.1 Copula函數(shù)

二元Copula函數(shù)C(·,·)，是定義域為[0,1]2，有零基面且二維遞增,對任意變量u、v∈[0,1]滿足C(u,1)=u和C(1,v)=v的函數(shù)。即C(·,·)是一個邊緣分布服從[0,1]均勻分布的二元分布函數(shù)，且對于定義域內(nèi)任意一點(u,v)均有0≤C(u,v)≤l。根據(jù)Sklar定理[7]，令H(·,·)為具有邊緣分布F(·)和G(·)的聯(lián)合分布函數(shù)，則存在一個Copula函數(shù)C(·,·)，滿足

(1)

若F(·)和G(·)連續(xù)，則C(·,·)唯一確定；反之，若F(·)和G(·)為一元分布函數(shù)，C(·,·)為相應(yīng)的Copula函數(shù)，則由式(1)定義的函數(shù)H(·,·)是具有邊緣分布F(·)和G(·)的聯(lián)合分布函數(shù)。

同時，二元Copula函數(shù)的密度函數(shù)c(·,·)與聯(lián)合分布函數(shù)H(·,·)的密度函數(shù)h(·,·)滿足

(2)

由此可見，Copula函數(shù)的Sklar定理為求取聯(lián)合分布函數(shù)及其密度函數(shù)、分析變量之間相關(guān)結(jié)構(gòu)提供了一條便捷的新途徑。

Copula函數(shù)C(·,·)的具體形式多樣，其中阿基米德Copula函數(shù)是最為常用的一類，即

(3)

φ-1(·)——生成元φ(·)的逆函數(shù)，在[0，∞)區(qū)間完全單調(diào)。

阿基米德Copula函數(shù)由其生成元唯一確定，其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

(4)

(5)

式中u、v——意義同前；

θ=2τ/(1-τ)。

τ為Kendall秩相關(guān)系數(shù)：

(6)

xi、xj、yi、yj——樣本取值，當(xi-xj)(yi-yj)>0時sign=1，當(xi-xj)(yi-yj)<0時sign=-1，當(xi-xj)(yi-yj)=0時sign=0。

檢驗Copula函數(shù)是否能夠正確刻畫變量的聯(lián)合分布，可以通過經(jīng)驗相關(guān)函數(shù)和Copula函數(shù)的曲線擬合情況進行判斷[8]。經(jīng)驗相關(guān)函數(shù)Cemp(·,·)是直觀反映樣本空間分布特點的函數(shù)，表達式為

(7)

一般采用離差平方和準則(OLS)對擬合情況進行量化評價，OLS值越小擬合越好：

(8)

式中Cemp,i、Cc1,i——在曲線擬合圖中經(jīng)驗相關(guān)函數(shù)和Copula函數(shù)的對應(yīng)取值。

1.2 Copula預(yù)測方法基本思路

假定隨機變量X為自變量，隨機變量Y為因變量，Copula預(yù)測方法的基本思路如下：首先，運用Copula函數(shù)對隨機變量X和Y的邊緣分布函數(shù)進行連接，構(gòu)建隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)；其次，在己知t+1時變量X的實測值或估計值xt+1條件下，基于Copula函數(shù)建立變量Y的邊緣分布和聯(lián)合分布的聯(lián)系，結(jié)合相關(guān)分析建立變量Y的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系表達式；最后，根據(jù)關(guān)系式對變量Y的t+1時值yi+1進行預(yù)測。

1.3 Copula預(yù)測方法的步驟

c.已知變量X在t+1時的樣本值xt+1，則相應(yīng)的邊緣分布概率為F(xt+1)，將F(xt+1)代入式(4)，可得

(9)

d.將a和b中計算得到的數(shù)對進行多項式擬合，得到Cc1和v的近似關(guān)系式：

(10)

式中a1、a2、…、am+1——多項式系數(shù)，m取值視擬合情況而定。

式(10)從另一角度表示Y的邊緣分布與X和Y的聯(lián)合分布之間的聯(lián)系。

e.聯(lián)立式(9)和式(10)，求解得到v*，則變量Y在t+1時的預(yù)測值為

(11)

式中G-1(·)——邊緣分布函數(shù)G(·)的逆函數(shù)。

2 模型應(yīng)用

開都河位于新疆焉耆盆地內(nèi)，河流發(fā)源于天山中部的依連哈比爾尕山南坡，多年平均徑流量為35.18億m3。河流出山口處至下游分別設(shè)有大山口水文站與焉耆水文站。本文根據(jù)大山口水文站(出山口處)與焉耆水文站(下游)1956—2012年的年徑流資料(見圖1、圖2)，令大山口水文站年徑流為自變量X、焉耆水文站年徑流為因變量Y，以預(yù)測2006—2012年焉耆水文站年徑流yt+1為例介紹模型的應(yīng)用。選取1956—2005年徑流資料為建模樣本(n=50)，2006—2012年徑流資料為預(yù)測樣本(n=7)。

圖1 大山口水文站年徑流變化曲線

圖2 焉耆水文站年徑流變化曲線

采用P-Ⅲ型分布描述變量X與Y的概率分布[9-10]，由矩法估計得到變量X的均值、變差系數(shù)Cv及偏態(tài)系數(shù)Cs分別為35.27億m3、0.178與0.373；同理，得到變量Y的均值、變差系數(shù)Cv及偏態(tài)系數(shù)Cs分別為25.37億m3、0.265與0.615。根據(jù)Clayton Copula函數(shù)構(gòu)造變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)H(x,y)=Ccl(F(x),G(y))，其中Kendall秩τ=0.757、參數(shù)θ=14.122。

通過對Clayton Copula函數(shù)與經(jīng)驗相關(guān)函數(shù)擬合，得到模型OLS值為0.045，可見計算分布與經(jīng)驗點據(jù)擬合較好，說明基于Copula函數(shù)構(gòu)建聯(lián)合分布的方法是可行和可靠的。

已知2006年開都河大山口水文站年徑流量xt+1為40.3億m3，其分布概率F(xt+1)=0.823，帶入式(9)可得：

(12)

根據(jù)式(10)，將數(shù)對進行線性擬合，得

Cc1=0.813v-0.012

(13)

聯(lián)立求解式(12)和式(13)，得v*=0.833。由式(11)和P-Ⅲ型分布G(y)的逆函數(shù)得

(14)

由式(14)最終得到焉耆水文站2006年的年徑流預(yù)測值。同理以1956—2006年徑流資料為建模樣本對2007年焉耆水文站年徑流進行預(yù)測。依此類推，逐一預(yù)測焉耆水文站2008—2012年的年徑流，結(jié)果見下表。

年徑流預(yù)測結(jié)果表

為對比分析，分別采用線性回歸模型、徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)模型預(yù)測焉耆水文站2006—2012年徑流量。

線性回歸模型是通過建立回歸方程式Y(jié)=a+bX，由X預(yù)測Y。根據(jù)1956—2005年開都河大山口水文站和焉耆水文站的年徑流資料可求得a=-4.4378，b=0.8652，據(jù)此由大山口水文站2006—2012年徑流量可計算得焉耆水文站同期年徑流量，成果見上表。

RBFNN是以高斯函數(shù)為隱層節(jié)點激勵函數(shù)的一種三層前饋人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]。大山口水文站、焉耆水文站的年徑流分別為變量X和Y，以兩變量1956—2005年徑流系列為學習樣本，對模型進行訓練，由最近鄰聚類學習算法完成迭代，確定高斯函數(shù)的均方差、隱層節(jié)點數(shù)以及各隱層節(jié)點到輸出節(jié)點的權(quán)重。在此基礎(chǔ)上，輸入X變量(2006—2012年的徑流量)，對Y變量同期值進行預(yù)測，成果見上表。

計算各模型的平均相對誤差和合格率(以相對誤差小于20%作為合格)，統(tǒng)計各模型最大相對誤差(見上表)。相比之下，Copula預(yù)測方法預(yù)測精度更高更穩(wěn)定。線性回歸模型原理簡單、計算便捷，但由于僅為線性擬合，不能深入分析變量間的相關(guān)關(guān)系，故應(yīng)用有較大局限，這也是導(dǎo)致該模型在本實例分析中預(yù)測誤差偏大的原因。而RBFNN模型具有運算速度快、能有效避免局部極小值出現(xiàn)等優(yōu)點，但模型本身更適用于多影響因子的預(yù)測，故對單因子的情況而言尚有一定局限。

3 結(jié) 語

Copula函數(shù)將聯(lián)合分布的構(gòu)建分為確定邊緣分布和分析相關(guān)性結(jié)構(gòu)兩部分，能夠有力地捕捉變量間的非線性、非對稱以及尾部相關(guān)關(guān)系，更加充分地利用已有信息，分析結(jié)果實用，是一種有效的構(gòu)造聯(lián)合分布函數(shù)、研究變量相關(guān)關(guān)系的方法。

基于Copula函數(shù)的Copula預(yù)測方法，利用Copula函數(shù)將變量的相關(guān)程度和相關(guān)模式有機結(jié)合，靈活適用地揭示變量之間復(fù)雜的協(xié)同變化特點，準確地捕捉變量聯(lián)合分布尾部對稱或非對稱的相關(guān)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上研究因變量邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系，從而對因變量進行預(yù)測，因此具有較為精確的預(yù)測能力。Copula預(yù)測方法及其在年徑流預(yù)測中的應(yīng)用，為水文預(yù)測提供了一種全新的預(yù)測思路。fffffe

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Prediction of Kaidu River annual runoff based on Copulas function

WEI Guanghui

(Xinjiang Tarim River Basin Administration, Korla 841000, China)

Accurate prediction of river runoff has important significance for reservoir scheduling and optimal allocation of regional water resources. In the paper, Kaidu River in Xinjiang is adopted as an example. Copulas function is utilized for organically combining relevance of the independent variable and dependent variable with related mode. Joint distribution function of two variables is constructed. Dependence structure between two variables and joint distribution is studied. On the basis, known independent variable probability distribution is combined for predicting unknown value of the dependent variable on the basis according to unknown dependent variable marginal distribution and joint distribution relationship of the sample value. The result shows that the prediction method based on copulas function has clear principle, simple calculation, stable performance and higher prediction accuracy.

annual runoff; prediction; Copulas functions; joint distribution; Kaidu River

10.16616/j.cnki.10-1326/TV.2016.07.019

TV123

A

2096- 0131(2016)07- 0066- 04