侯杰 劉濤

基于新息估計和正交投影的閉環(huán)子空間模型辨識

侯杰1劉濤1

針對閉環(huán)控制系統(tǒng)提出一種基于新息估計和正交投影的閉環(huán)子空間模型辨識方法.首先采用最小二乘法對VARX模型(Vector autoregressive with exogenous inputs model)進(jìn)行計算得到新息估計值,然后通過將由觀測輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)造的Hankel矩陣正交投影到新息數(shù)據(jù)的正交補(bǔ)空間以消除噪聲影響,從而在無噪聲的輸入輸出數(shù)據(jù)奇偶空間中提取得到擴(kuò)展可觀測矩陣和下三角形Toeplitz矩陣.最后采用平移變換法得到系統(tǒng)矩陣.對該算法嚴(yán)格分析和證明了實現(xiàn)一致估計的條件.通過仿真實例驗證了本文方法的有效性和優(yōu)越性.

子空間辨識,閉環(huán)辨識,奇偶空間,新息估計,正交投影,一致估計

子空間辨識算法由于能對多輸入多輸出系統(tǒng)采用統(tǒng)一框架建立狀態(tài)空間模型,在系統(tǒng)辨識和控制工程領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注[1].有一些子空間算法被提出用于開環(huán)辨識工業(yè)過程,得到一致估計結(jié)果[2].但是,由于過程操作安全性和穩(wěn)定性的需要,許多工業(yè)過程限制在閉環(huán)條件下進(jìn)行辨識實驗,由于反饋控制作用的影響,使得過程噪聲和輸入存在相關(guān)性,使得傳統(tǒng)開環(huán)子空間方法產(chǎn)生辨識偏差[3].閉環(huán)系統(tǒng)辨識因此在近年來受到很多關(guān)注和探討[4],一些閉環(huán)子空間辨識算法被相繼提出[5].這些算法可被歸納為三類,第一類方法[6?7]采用輔助變量策略消除噪聲影響,保證估計結(jié)果的一致性;第二類方法[8]采用最小二乘法對高階VARX模型(Vector autoregressive with exogenous inputs model)進(jìn)行計算得到馬爾科夫估計參數(shù),由于VARX模型只包括當(dāng)前時刻的不可測噪聲,該噪聲和VARX模型的過去時刻輸入無關(guān),從而可保證所得參數(shù)的一致性;第三類算法[9]用噪聲預(yù)估值代替真實值進(jìn)行計算保證得到一致估計結(jié)果.

基于奇偶空間的閉環(huán)子空間辨識算法SIMPCAwc[6]采用過去時刻輸入輸出數(shù)據(jù)作為輔助變量來消除噪聲,以得到無噪聲的輸入輸出數(shù)據(jù),然后從無噪聲影響的輸入輸出數(shù)據(jù)奇偶空間中提取得到擴(kuò)展可觀測矩陣和下三角形Toeplitz矩陣,從而求得系統(tǒng)矩陣,該方法取得較好辨識精度.然而,文獻(xiàn)[7]指出當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)定點輸入激勵為不相關(guān)白噪聲序列時,雖然引入輔助變量與噪聲不相關(guān),可以有效地消除噪聲,但由于該輔助變量和系統(tǒng)設(shè)定點輸入激勵也不相關(guān),導(dǎo)致從無噪聲輸入輸出數(shù)據(jù)奇偶空間中提取參數(shù)可能同時含有過程模型參數(shù)信息和控制器參數(shù)信息,因而無法對它們進(jìn)行區(qū)分,從而致使過程模型估計出現(xiàn)偏差.針對SIMPCAwc[6]辨識方法存在的問題,本文通過將輸入輸出數(shù)據(jù)正交投影到新息數(shù)據(jù)的正交補(bǔ)空間來消除噪聲,以得到新的無噪聲數(shù)據(jù)矩陣,進(jìn)而從其對應(yīng)的奇偶空間中提取得到擴(kuò)展可觀測矩陣和下三角形Toeplitz矩陣.由于新息數(shù)據(jù)的正交補(bǔ)空間數(shù)據(jù)和噪聲無關(guān),且同時與系統(tǒng)設(shè)定輸入激勵相關(guān),確保本文方法從新的無噪聲奇偶空間中提取的參數(shù)只包含過程模型參數(shù),有效地保證估計結(jié)果的一致無偏性.由于新息數(shù)據(jù)為不可測量數(shù)據(jù),本文通過模型推導(dǎo),得到和待辨識狀態(tài)空間模型等價的VARX模型.在此基礎(chǔ)上,采用最小二乘法對VARX模型進(jìn)行計算以得到新息的一致估計值.采用新息一致估計值代替真實值,以完成模型參數(shù)估計.為了論證說明本文方法的有效性,嚴(yán)格分析和給出了本文算法保證一致估計的條件.

1 問題描述

本文研究如下線性離散狀態(tài)空間過程模型:

其中,x(t)∈Rnx,u(t)∈Rnu,y(t)∈Rny分別為系統(tǒng)狀態(tài)和過程輸入和輸出.v(t)∈Rny和w(t)∈Rnx分別為過程測量噪聲.A,B,C,D分別為相應(yīng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣.本文研究系統(tǒng)在閉環(huán)工作條件下,利用系統(tǒng)輸入和輸出觀測數(shù)據(jù),辨識對象狀態(tài)空間(亦稱子空間)模型.

由于閉環(huán)反饋控制作用的影響,使得過程測量噪聲和輸入存在相關(guān)性,若直接通過模型(1)來辨識系統(tǒng)矩陣,很難消除噪聲對辨識結(jié)果的不利影響.因此,采用卡爾曼濾波原理[10],將系統(tǒng)模型(1)等價表示為新息形式

其中,K為卡爾曼濾波增益,新息e(t)為零均值白噪聲,當(dāng)i＜j時,新息e(j)和輸入輸出{u(i),y(i)}不相關(guān).

定義過去和將來水平數(shù)分別為p和f,過去和將來輸入向量分別為up(t)=[u(t?p)T···u(t?2)Tu(t?1)T]T和uf(t)=[u(t)T···u(t+f?2)Tu(t+f?1)T]T,定義過去和將來輸入Hankel矩陣Up=[up(t)T···up(N)T]T和Uf=[uf(t)T··· uf(N)T]T,輸出和新息數(shù)據(jù)做類似定義.

對式(3)進(jìn)行迭代可得:

本文將采用模型(2)和(5)對系統(tǒng)矩陣進(jìn)行辨識.定義Xp=[x(t?p)···x(t?p+N?1)]和Xf=[x(t)···x(t+N?1)].通過對式(2)進(jìn)行迭代可得:

其中,擴(kuò)展可觀測矩陣為Γf= [CT··· (CAf?1)T]T.下三角形Toeplitz矩陣分別為

2 閉環(huán)子空間辨識算法和一致性分析

2.1 閉環(huán)子空間辨識算法

在式(6)的基礎(chǔ)上,通過同時計算擴(kuò)展可觀測矩陣Γf和下三角形Toeplitz矩陣Hf實現(xiàn)對系統(tǒng)矩陣的辨識.首先將輸入數(shù)據(jù)移至式(6)的左側(cè),得到:

為求解式(7)得到Γf和Hf的估計值,需要消除未知狀態(tài)和新息的影響.通過在式(7)的左右側(cè)同時引入Γf的正交補(bǔ)向量由于

通過將式(8)正交投影到Ef的正交補(bǔ)空間來消除新息噪聲,

采用最小二乘法可得Hf1的一致估計如下:

本文基于新息估計和正交投影的閉環(huán)子空間辨識方法(Closed-loop subspace identification method using innovation estimation and orthogonal projection,CSIMIEOP)可總結(jié)如下:

步驟2.通過SVD分解對式(15)進(jìn)行計算.

步驟4.通過式(24),式(25)和式(27)求解系統(tǒng)矩陣

2.2 閉環(huán)一致條件分析

由第2.1節(jié)閉環(huán)子空間辨識算法可知,本文采用新息估計和正交投影消除噪聲,得到一致估計結(jié)果.辨識結(jié)果是否一致取決于是否一致,本文對它們的一致估計條件進(jìn)行分析和說明,給出如下定理.

定理1.若

由于系統(tǒng)為可控可觀測系統(tǒng),采用文獻(xiàn)[11]定理2可知Υ為滿秩矩陣.同時如果式(33)第2項為正定滿秩矩陣,根據(jù)文獻(xiàn)[12]給定的秩條件可得:

因此,矩陣(32)為滿秩矩陣.

由式(30)、式(32)和式(35)可知

則

2.3 閉環(huán)一致條件合理性分析

第2.2節(jié)定理2的兩個假設(shè)條件涉及未知新息信息,以上假設(shè)是否合理,將直接決定本文方法能否取得一致估計結(jié)果.

由于模型(1)可表示為模型(2),則新息的協(xié)方差可表示為(具體表述可參考文獻(xiàn)[10]第5章),其中P為半正定矩陣,對于系統(tǒng)噪聲有則可知

對于假設(shè)2,由于

進(jìn)一步,由式(2)可知

其中,擴(kuò)展可觀性矩陣分別表示為L1=[Ap?1B ···AB B],L2=[Ap?1K···AK K],下三角形Toeplitz矩陣為

3 仿真研究

考慮文獻(xiàn)[6]中研究的閉環(huán)系統(tǒng)

其中,反饋控制結(jié)構(gòu)為u(t)=?0.6y(t)+r(t).過程噪聲設(shè)置為方差為0.2的白噪聲序列.

對系統(tǒng)設(shè)定輸入激勵r(k)為單位方差白噪聲序列和相關(guān)序列兩種情況進(jìn)行研究.其中相關(guān)序列設(shè)為r(t)=(1+0.8q?1+0.6q?2)r0(t),r0(t)為單位方差白噪聲序列.過去和未來水平數(shù)均設(shè)置為10.在不同數(shù)據(jù)長度N∈[200,8000]的情況下進(jìn)行1000次Monte Carlo仿真.本文方法的辨識結(jié)果與SIMPCAwc算法[6]進(jìn)行比較,當(dāng)r(t)為單位方差白噪聲系列時,系統(tǒng)極點(真實值為0.9)的估計平均值如圖1所示,系統(tǒng)極點的估計標(biāo)準(zhǔn)方差如圖2所示.當(dāng)系統(tǒng)設(shè)定輸入r(t)為相關(guān)系列時,系統(tǒng)極點的平均值如圖3所示,系統(tǒng)極點的估計標(biāo)準(zhǔn)方差如圖4所示.

圖1 系統(tǒng)設(shè)定輸入激勵為白噪聲的系統(tǒng)極點估計平均值Fig.1 Mean value of estimated poles for white noise setpoint excitation

圖2 系統(tǒng)設(shè)定輸入激勵為白噪聲的系統(tǒng)極點估計標(biāo)準(zhǔn)方差Fig.2 Standard deviation of estimated poles for white noise setpoint excitation

圖3 系統(tǒng)設(shè)定輸入激勵為相關(guān)序列的系統(tǒng)極點估計平均值Fig.3 Mean value of estimated poles for correlated quasi-stationary setpoint excitation

圖4 系統(tǒng)設(shè)定輸入激勵為相關(guān)序列的系統(tǒng)極點估計標(biāo)準(zhǔn)方差Fig.4 Standard deviation of estimated poles for correlated quasi-stationary setpoint excitation

從以上結(jié)果可以看出,當(dāng)系統(tǒng)設(shè)定輸入為單位方差白噪聲系列時,SIMPCAwc算法得出有偏估計結(jié)果;只有當(dāng)系統(tǒng)設(shè)定輸入激勵為相關(guān)序列時,SIMPCAwc算法才能保證無偏估計結(jié)果.本文CSIMIEOP算法對系統(tǒng)設(shè)定輸入激勵為無關(guān)序列和相關(guān)序列時均可得到一致無偏結(jié)果,并且估計精度優(yōu)于SIMPCAwc算法.

4 結(jié)論

本文提出一種基于新息估計和正交投影的閉環(huán)子空間辨識算法,對系統(tǒng)設(shè)定點輸入激勵為白噪聲無關(guān)序列和相關(guān)序列的情況均可得到一致無偏估計結(jié)果,并且相對于近期有關(guān)文獻(xiàn)給出的方法如SIMPCAwc算法[6],能進(jìn)一步提高辨識精度.同時,嚴(yán)格分析和證明了本文算法保證一致估計的條件.最后通過仿真實例驗證了本文方法的有效性和優(yōu)越性.

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侯 杰 大連理工大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院博士研究生.主要研究方向為系統(tǒng)辨識. E-mail:jiehou.phd@hotmail.com

(HOU Jie Ph.D.candidate at the School of Control Science and Engineering,Dalian University of Technology.His main research interest is system identification.)

劉 濤 大連理工大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院教授.2012年入選國家青年千人計劃,德國洪堡基金學(xué)者.主要研究方向為工業(yè)過程辨識建模,魯棒過程控制,批量生產(chǎn)過程控制優(yōu)化,過程質(zhì)量監(jiān)測.本文通信作者.E-mail:liurouter@ieee.org

(LIU Tao Professor at the School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology.He was a recipient of National Thousand Talents Program of China in 2012,and a Humboldt research fellow of Germany.His research interest covers industrial process identification and modeling, robust process control,batch process control and optimization,and process quality monitoring.Corresponding author of this paper.)

Closed-loop Subspace Model Identification Using Innovation Estimation and Orthogonal Projection

HOU Jie1LIU Tao1

In this paper,a closed-loop subspace model identification method using innovation estimation and orthogonal projection is proposed for closed-loop control systems.Firstly,a least-squares algorithm is adopted to estimate the innovation matrix via the vector autoregressive with exogenous inputs(VARX)model.Then,by performing an orthogonal projection of the observed input-output Hankel matrix onto the orthogonal complement space of innovation Hankel matrix to eliminate the influence from noise,the extended observability matrix and lower triangular block Toeplitz matrix are derived from the parity space of noise-free input-output data.Finally,the system matrices are retrieved by using a shiftinvariant approach.The consistent estimation conditions are analyzed with a strict proof.A simulation example is shown to demonstrate the effectiveness and merit of the proposed method.

Subspace identification,closed-loop identification,parity space,innovation estimation,orthogonal projection,consistent estimation

侯杰,劉濤.基于新息估計和正交投影的閉環(huán)子空間模型辨識.自動化學(xué)報,2016,42(11):1657?1663

Hou Jie,Liu Tao.Closed-loop subspace model identification using innovation estimation and orthogonal projection.Acta Automatica Sinica,2016,42(11):1657?1663

2016-01-19 錄用日期2016-03-10

Manuscript received January 19,2016;accepted March 10,2016

國家自然科學(xué)基金(61473054),第三批國家青年千人計劃,中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)重點培育基金(DUT15ZD108)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China (61473054),National Thousand Talents Program of China,and Fundamental Research Funds for the Central Universities of China(DUT15ZD108)

本文責(zé)任編委方海濤

Recommended by Associate Editor FANG Hai-Tao

1.大連理工大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院大連116024

1.School of Control Science and Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024

DOI 10.16383/j.aas.2016.c160050