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        數(shù)學(xué)高考中求解范圍問題常見錯誤分析

        2016-12-16 02:51:21甘肅省平?jīng)鍪腥A亭一中744000
        數(shù)理化解題研究 2016年22期
        關(guān)鍵詞:精確性錯因易錯

        甘肅省平?jīng)鍪腥A亭一中(744000)

        蹇桂花 ●

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        數(shù)學(xué)高考中求解范圍問題常見錯誤分析

        甘肅省平?jīng)鍪腥A亭一中(744000)

        蹇桂花 ●

        趙振威主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法》(第一分冊總論)中,對數(shù)學(xué)的特點歸結(jié)為三性:抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性.數(shù)學(xué)的精確性,指的是數(shù)學(xué)具有邏輯的嚴密性和結(jié)論的確定性.

        而由于數(shù)學(xué)的精確性的要求,我們在做題時,只要思維上有一丁點疏忽,便會導(dǎo)致結(jié)論大相徑庭.

        近幾年高考中,求解參數(shù)的范圍問題是熱點,幾乎年年都考,但對學(xué)生而言又是難點、易錯點,得分偏低.本文就學(xué)生在求解范圍時,常見的錯誤加以整理、分析錯因,希望對大家有警醒作用.

        一、審題粗枝大葉,致誤

        (1)求圓O的方程;

        設(shè)P(x,y),則有|PO|2=|PA|·|PB|,∴x2-y2=2.

        二、未挖掘題目中的隱含條件,致誤

        又∵∠C=2∠B且△ABC為銳角三角形,

        錯因 此時選項B、C均符合,應(yīng)由三角形內(nèi)角和定理,再求出∠A,保證∠A也為銳角.否則,只由∠B、∠C為銳角,并不能確定△ABC為銳角三角形.

        例3 設(shè)實數(shù)x,y滿足2x2-6x+y2=0,求x2+y2+2x的最大值.

        錯解 ∵2x2-6x+y2=0, ∴y2=-2x2+6x.

        令h(x)=x2+y2+2x=-x2+8x.

        而函數(shù)h(x)的對稱軸為x=4,

        ∴當(dāng)x=4時,h(x)取得最大值為h(4)=16.

        錯因 錯解只由已知條件將y2作了代換,未考慮題中隱含y2≥0這一條件,導(dǎo)致函數(shù)h(x)定義域擴大.

        正解 由y2=-2x2+6x≥0得0≤x≤3.對函數(shù)h(x)=-x2+8x而言,其定義域為[0,3].

        ∴h(x)max=h(3)=15.

        三、錯用不等式性質(zhì),擴大范圍致誤

        例4f(x)=ax2-c滿足-4≤f(1) ≤-1, -1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范圍.

        又f(3)=9a-c, ∴-7≤f(3) ≤26.

        錯因 多次用不等式的不可逆性質(zhì),造成范圍擴大,而且在求出a、c各自的范圍時,破壞了a與c之間原有的關(guān)系,把不等式完全當(dāng)做等式用了,從而導(dǎo)致錯誤.

        正解 此題解法較多,在這只以“待定系數(shù)法”為例說明.

        ∵-4≤f(1) ≤-1,-1≤f(2) ≤5

        設(shè)f(3)=λ1(a-c)+λ2(4a-c),則有9a-c=(λ1+4λ2)a-(λ1+λ2)c,

        -1≤9a-c≤20,

        ∴-1≤f(3) ≤20.

        四、對概念理解不透,導(dǎo)致范圍擴大,致誤

        錯因 只考慮了每段上的情況,未考慮分點處的情況,但題中說是在(-∞,+∞)上為減函數(shù),錯誤的本質(zhì)是對減函數(shù)概念理解不透徹.

        正解 ∵f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),

        五、未注意定理條件,致誤.

        ∴(x+y)min=16.

        錯因 學(xué)生在解題時,沒有考慮均值不等式中等號成立的條件.(Ⅰ)處取等條件為

        (Ⅱ)處取等條件為x=y,這樣兩個取等條件矛盾.

        ∴x+y的最小值不是16.

        解得x=6,y=12, ∴(x+y)min=18.

        求解范圍問題雖然是難點﹑熱點﹑易錯點,但錯因要么是審題不仔細﹑不挖掘題意,要么是對知識點理解不深刻,一知半解,模模糊糊,而數(shù)學(xué)因其精確性和思維的嚴密性而著稱,真正是失之毫厘謬以千里.我們在平時做題時,一定要養(yǎng)成認真審題,對易錯﹑易混點及時整理,分析錯因,做一個題弄懂這一類題的習(xí)慣.這樣,無論面對怎樣的考試,我們才能得心應(yīng)手,準(zhǔn)確解答.

        G632

        B

        1008-0333(2016)22-0037-02

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