新疆巴州庫爾勒市石化路華山中學(xué)(841000)

馬宏云●

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關(guān)于一道“基本不等式問題”的解法討論

新疆巴州庫爾勒市石化路華山中學(xué)(841000)

馬宏云●

本文通過對一道“基本不等式問題”解法的探究展現(xiàn)高中數(shù)學(xué)解題方法的多元性，注重解題通法，拓寬解題思路.

基本不等式；解法；基本不等式法；消元法；換元法

例 已知a,b為實數(shù)，且a2-ab+b2=1，求a+b的最大值.

方法一 基本不等式法

點評 此法關(guān)注了須知的形式，巧妙地對已知進(jìn)行了配湊.

方法二 二次使用基本不等式法

點評 在解題中，一般我們不會使用兩次基本不等式，因為取等條件若不同，直接會錯解，但是此題中由于“加號”兩邊的項系數(shù)均為1，所以兩個基本不等式的取等條件一致，皆為a=b時取“等號”，因此，解法有效.這需要我們在解題中冷靜分析，靈活處理.

方法三 消元法

點評 消元法也即函數(shù)法，它指將兩個有關(guān)系的變元的其中一個用另外一個表示出來，來達(dá)到將兩個變元求最值問題轉(zhuǎn)化為一個變元求最值問題，于是上升到函數(shù)問題，考慮到該題有根式，所以想到了三角換元，該題用求導(dǎo)的方法亦可解出.

方法四 消元法(配湊消元)

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2+2(a2+b2-1)=3(a2+b2)-2≤4,

∴-2≤a+b≤2.

點評 此法是將a2+b2整體作為解題的橋梁和紐帶，在已知中將ab借助重要不等式消去，再將欲求平方，再次消去ab，來達(dá)到解題的目的，這種整體代換的思想在一般解決數(shù)學(xué)問題中也比較常用.

方法五 換元法(整體代換)

設(shè)a+b=t，則b=t-a，于是原式即為a2-a(t-a)+(t-a)2=1，也即3a2-3at+t2-1=0.

∵a∈R，∴方程有解，∴Δ≥0,

∴即9t2-12(t2-1)≥0,∴-2≤t≤2.

點評 此法意為求什么就先設(shè)什么，在解題時用的比較多，比如在求函數(shù)解析式、求函數(shù)的值域、圓錐曲線問題、求復(fù)數(shù)等多個領(lǐng)域都會使用到，先設(shè)出欲求為t，將其看成已知，再借助其它已知構(gòu)造方程或不等式，最終解決問題.另外，學(xué)習(xí)三角函數(shù)時我們求過sinθ+cosθ+sinθcosθ這個式子的最值，也是利用了換元法，設(shè)sinθ+cosθ=t，用t將sinθcosθ表示出來，從而突破了該題.

方法六 換元法(三角換元)

點評 該法難點是對已知進(jìn)行配湊以便更好地剝離兩個字母達(dá)到簡單換元的目的，不宜普遍學(xué)習(xí)使用.

下面的幾道題都可采取以上六種方法之一進(jìn)行求解，屬一類問題：

1.(2010重慶理7)已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是____.

2.(2011浙江文16)若實數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是____.

3.(2012浙江文9)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是____.

4.(2015全國高一數(shù)學(xué)聯(lián)賽)已知x,y為實數(shù)，且滿足2x2+3xy+2y2=1，求x+y+xy的最小值.

總之，基本不等式中的題目解題具有相當(dāng)大的靈活性，我們只有吃透解法，挖掘形式，注重思維的遷移、發(fā)散和聯(lián)想，大膽嘗試，巧妙轉(zhuǎn)化，才可以輕松解決，也才可以使自己在數(shù)學(xué)的道路上越走越遠(yuǎn).

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1008-0333(2016)22-0041-01