四川省南充市西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院(637000)

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判別式法在高中解析幾何綜合試題中的應(yīng)用

四川省南充市西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院(637000)

劉 川● 孫 ?！?/p>

解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一.這類(lèi)試題往往以解析幾何知識(shí)為載體，綜合函數(shù)或不等式等其他數(shù)學(xué)知識(shí)，因而涉及到較多的知識(shí)點(diǎn)，考查考生解題能力的綜合要求比較高，于是考生在考場(chǎng)上答題期間，經(jīng)常表現(xiàn)得無(wú)從下手.本文認(rèn)為解決這一類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于通觀全局、局部入手和整體思維,在審題和解題思路的整體設(shè)計(jì)上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運(yùn)算難關(guān).

一、問(wèn)題的提出

程.文[1]中利用橢圓的定義巧妙地將問(wèn)題進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，即在已知直線L上求一點(diǎn)使得該點(diǎn)到直線同側(cè)兩個(gè)已知點(diǎn)距離的和最小的問(wèn)題，詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn).此方法巧妙地轉(zhuǎn)化了問(wèn)題，使得轉(zhuǎn)換后的問(wèn)題看似簡(jiǎn)單多了，但是這種轉(zhuǎn)換需要很強(qiáng)的技巧或者基本功底，對(duì)于學(xué)生，尤其是高度緊張的考生而言是很難想到的，或者根本不敢想的一種數(shù)學(xué)技巧.那么，除了上述提到的方法有沒(méi)有更加一般的，或者考生自然而然地容易想到的數(shù)學(xué)方法呢？也就是說(shuō)是否還存在簡(jiǎn)化方法呢？

二、簡(jiǎn)化方法——“Δ”判別式

帶著上述問(wèn)題，下面本文將給出利用數(shù)學(xué)上常用的且最基本的“Δ”判別式法進(jìn)行簡(jiǎn)化求解上述問(wèn)題.

將直線L:x-y+9=0代入橢圓方程得(2a2-9)x2+18a2x-a4+90a2=0.

由于直線和所求橢圓有公共點(diǎn)，則Δ=(18a2)2-4(2a2-9)(-a4+90a2)≥0

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)易得(-5,4).

從上述解題過(guò)程可以看出，利用判別式法解此題顯得更加通俗，這里主要利用了判別式法在解析幾何中有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系這一類(lèi)問(wèn)題的廣泛應(yīng)用，從而可利用判別式法處理解決有關(guān)解析幾何問(wèn)題中的最值問(wèn)題及其相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

三、應(yīng)用舉例與點(diǎn)評(píng)

眾所周知，求取值范圍問(wèn)題主要有兩種思路，其一是通過(guò)引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)變量共同表示問(wèn)題中所求的每部分變量，然后根據(jù)題中條件對(duì)應(yīng)的實(shí)施；其二是構(gòu)造出題中所求問(wèn)題變量的一個(gè)不等式關(guān)系，然后進(jìn)行處理.下面本文將根據(jù)上述兩種思想并結(jié)合判別式法及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)處理上述問(wèn)題.

1. “Δ”判別式與求根公式

(9k2+4)x2+54kx+45=0.

因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮k>0的情形.

當(dāng)k>0時(shí)，

2.“Δ”判別式與韋達(dá)定理

設(shè)直線L的方程為y=kx+3，代入橢圓方程消去y得

(9k2+4)x2+54kx+45=0.

解析幾何是通過(guò)研究代數(shù)方程的性質(zhì)來(lái)研究曲線的幾何性質(zhì)，因而有關(guān)代數(shù)方程的定理以及代數(shù)運(yùn)算的一些方法，在解析幾何中有著廣泛的應(yīng)用.

當(dāng)直線與二次曲線(拋物線除外)相交、相切和相離時(shí)分別有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)和沒(méi)有交點(diǎn)，這一點(diǎn)反映在代數(shù)上就是對(duì)應(yīng)的二次方程組有兩個(gè)不等的根、兩個(gè)重根和沒(méi)有根的情況.因此，這類(lèi)問(wèn)題大多都可以利用“Δ”判別式法，當(dāng)然很多情況下都是要結(jié)合一些與判別式密切相關(guān)的其它數(shù)學(xué)知識(shí)或者數(shù)學(xué)計(jì)算技巧.

[1] 袁季春.不可忽視的圓錐曲線定義[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué), 2000(8).

[2] 姜坤崇. 解析幾何最值問(wèn)題的解法[J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué), 2015(06).

[3] 屠新躍. 直線與圓錐曲線問(wèn)題中韋達(dá)定理的應(yīng)用策略[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)(高三版)，2015(02).

[4] 曾祥紅, 夏雨良. 判別式在解析幾何中的應(yīng)用[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版), 2004(03).

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