江蘇省泰州市森南新村15棟103室(225300)

于志洪●

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構(gòu)造等差數(shù)列研究三角函數(shù)求值問題

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于志洪●

有時(shí)候，解一道數(shù)學(xué)題，用從條件到結(jié)論的定向性直接思維解題方法遇到困難，甚至不能解決，這時(shí)，通過聯(lián)想，把題目中的已知關(guān)系重新組合 一種新的關(guān)系，使抽象或隱含的條件清晰地顯示出來，把復(fù)雜的問題化為簡(jiǎn)單的問題，從而使問題較快地解出.這種方法稱為構(gòu)造性解題方法.

本文主要談?wù)勅绾螛?gòu)造等差數(shù)列解三角函數(shù)求值問題，供高中師生教與學(xué)時(shí)參考.

分析 若按常規(guī)平方去根號(hào)，則將陷入繁瑣運(yùn)算.注意到已知式呈現(xiàn)a+b=c兩項(xiàng)和的特征，捕捉等差中項(xiàng)信息，可構(gòu)設(shè)公差嘗試從等差數(shù)列入手.

分析 本題源于人教版《數(shù)學(xué)》第一冊(cè)(下)復(fù)習(xí)參考題四第9題.

已知tanα=3,計(jì)算:

(2)sinαcosα;

(3)(sinα+cosα)2.

由3sinα+cosα=0,表明3sinα,0,cosα成等差數(shù)列.

所以應(yīng)選A.

分析 依題設(shè)知sinα,1,3cosα成等差數(shù)列，令sinα=1-d,3cosα=1+d,將sinα,cosα同時(shí)代入sin2α+cos2α=1,求得公差d即可.

從以上各例可以看出構(gòu)造等差數(shù)列求三角函數(shù)值，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理，探究出問題中的隱藏的等差數(shù)列關(guān)系，列出符合題意的關(guān)系式，從而與等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，將三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的求值運(yùn)算，如例1，例5，或?qū)⑷呛瘮?shù)求值問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解問題，如例2、例3和例6等等.

構(gòu)造等差數(shù)列解三角函數(shù)求值問題之所以具有新穎別致、獨(dú)特創(chuàng)新的靈活性和創(chuàng)造性，是因?yàn)樵诮忸}過程中往往容易找到題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系，使原來抽象隱含的條件充分顯露出來，因而解題時(shí)，就能化繁為簡(jiǎn)，變難為易.構(gòu)造等差數(shù)列解三角函數(shù)求值問題，對(duì)于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)有一定的加強(qiáng)作用，有利于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，可使學(xué)生和教師從題海中解放出來，從而減輕教與學(xué)的負(fù)擔(dān).

通過上述專題講座的教學(xué)研究，筆者深深體會(huì)到，構(gòu)造法的應(yīng)用是極其廣泛的，這種方法通俗易懂，它既有利于學(xué)生融會(huì)貫通“基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能”，又有利于幫助學(xué)生提高綜合解題水平，對(duì)于啟迪學(xué)生思維、開拓學(xué)生視野，提高教學(xué)質(zhì)量，提高教師講課效果，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的興趣均頗有益處.

[1]馬小燕.構(gòu)造等差數(shù)列探究高考三角求值問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊(重慶)，2010(9).

[2]張君昕，尚繼慧.構(gòu)造法解三角題覽勝[J].數(shù)學(xué)通訊(武漢)，2011(11,12)(上半月).

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