江蘇省泰州市森南新村15棟103室(225300)
于志洪●
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構(gòu)造等差數(shù)列研究三角函數(shù)求值問題
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于志洪●
有時候,解一道數(shù)學(xué)題,用從條件到結(jié)論的定向性直接思維解題方法遇到困難,甚至不能解決,這時,通過聯(lián)想,把題目中的已知關(guān)系重新組合 一種新的關(guān)系,使抽象或隱含的條件清晰地顯示出來,把復(fù)雜的問題化為簡單的問題,從而使問題較快地解出.這種方法稱為構(gòu)造性解題方法.
本文主要談?wù)勅绾螛?gòu)造等差數(shù)列解三角函數(shù)求值問題,供高中師生教與學(xué)時參考.
分析 若按常規(guī)平方去根號,則將陷入繁瑣運算.注意到已知式呈現(xiàn)a+b=c兩項和的特征,捕捉等差中項信息,可構(gòu)設(shè)公差嘗試從等差數(shù)列入手.
分析 本題源于人教版《數(shù)學(xué)》第一冊(下)復(fù)習(xí)參考題四第9題.
已知tanα=3,計算:
(2)sinαcosα;
(3)(sinα+cosα)2.
由3sinα+cosα=0,表明3sinα,0,cosα成等差數(shù)列.
所以應(yīng)選A.
分析 依題設(shè)知sinα,1,3cosα成等差數(shù)列,令sinα=1-d,3cosα=1+d,將sinα,cosα同時代入sin2α+cos2α=1,求得公差d即可.
從以上各例可以看出構(gòu)造等差數(shù)列求三角函數(shù)值,其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā),根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征經(jīng)過合理的推理,探究出問題中的隱藏的等差數(shù)列關(guān)系,列出符合題意的關(guān)系式,從而與等差數(shù)列的有關(guān)知識聯(lián)系起來,將三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的求值運算,如例1,例5,或?qū)⑷呛瘮?shù)求值問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解問題,如例2、例3和例6等等.
構(gòu)造等差數(shù)列解三角函數(shù)求值問題之所以具有新穎別致、獨特創(chuàng)新的靈活性和創(chuàng)造性,是因為在解題過程中往往容易找到題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系,使原來抽象隱含的條件充分顯露出來,因而解題時,就能化繁為簡,變難為易.構(gòu)造等差數(shù)列解三角函數(shù)求值問題,對于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)及數(shù)學(xué)方法的培養(yǎng)有一定的加強作用,有利于提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力,可使學(xué)生和教師從題海中解放出來,從而減輕教與學(xué)的負(fù)擔(dān).
通過上述專題講座的教學(xué)研究,筆者深深體會到,構(gòu)造法的應(yīng)用是極其廣泛的,這種方法通俗易懂,它既有利于學(xué)生融會貫通“基礎(chǔ)知識和基本技能”,又有利于幫助學(xué)生提高綜合解題水平,對于啟迪學(xué)生思維、開拓學(xué)生視野,提高教學(xué)質(zhì)量,提高教師講課效果,對于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的興趣均頗有益處.
[1]馬小燕.構(gòu)造等差數(shù)列探究高考三角求值問題[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊(重慶),2010(9).
[2]張君昕,尚繼慧.構(gòu)造法解三角題覽勝[J].數(shù)學(xué)通訊(武漢),2011(11,12)(上半月).
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