江蘇省姜堰中學(xué)(225500)

周 鵬●

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數(shù)形結(jié)合，妙解數(shù)學(xué)難題

江蘇省姜堰中學(xué)(225500)

周 鵬●

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，不僅在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中也是一種十分必要的數(shù)學(xué)工具，因此老師要盡自己最大的努力教好數(shù)形結(jié)合的使用方法，給同學(xué)們的學(xué)習(xí)生活帶來便利.

高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；妙解難題

數(shù)形結(jié)合是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，它對(duì)學(xué)生解題能力的提升具有十分重要的意義.數(shù)形結(jié)合的使用大致可以分為兩種情況.一是利用數(shù)的精確準(zhǔn)確性質(zhì)來表現(xiàn)形當(dāng)中的某些特征或?qū)傩?，這就是用“數(shù)”來解釋“形”；二是利用形的直觀性簡(jiǎn)潔明了的特征來描述數(shù)與數(shù)之間的某種特定聯(lián)系，這就是用“形”來幫助“數(shù)”.筆者結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)如何在課堂教學(xué)中以及習(xí)題訓(xùn)練中鍛煉學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想具有一定的研究與探索，下面簡(jiǎn)要介紹幾點(diǎn)心得體會(huì)，希望對(duì)大家有所幫助.

一、韋恩圖解，元素分析

數(shù)形結(jié)合思想在解決集合問題中的體現(xiàn)就在于韋恩圖的使用，而集合問題又是學(xué)生最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以老師一定十分關(guān)注，幫助學(xué)生打好高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).集合部分的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較龐雜，題型又較多，涉及到很多典型的問題，并且在歷年高考中都有所體現(xiàn)，而解好集合問題大都需要借助韋恩圖，所以老師在課堂教學(xué)中一定要強(qiáng)化韋恩圖的訓(xùn)練，使學(xué)生能夠輕松拿下基礎(chǔ)分.例如，很多同學(xué)在習(xí)題訓(xùn)練中都做過這樣的題目：某個(gè)班級(jí)有48名同學(xué)，每個(gè)人至少都要參加一個(gè)活動(dòng)小組，其中參加數(shù)理化小組的人數(shù)分別是28、25、15，而同時(shí)參加數(shù)理小組的人數(shù)是8人，同時(shí)參加數(shù)化小組的人數(shù)是6人，同時(shí)參加理化小組的人數(shù)是7人，問同時(shí)參加數(shù)理化小組的人數(shù)是多少？這是一道典型的集合問題，如果僅僅采用數(shù)字的方式去求解會(huì)顯得十分困難，很多學(xué)生都會(huì)找不到解題思路，但是如果采用韋恩圖法來解決，就會(huì)覺得十分簡(jiǎn)單.

二、形中覓數(shù)，巧求個(gè)數(shù)

高中方程在高中數(shù)學(xué)體系中占據(jù)大部分內(nèi)容，老師可能需要很多的課時(shí)才能夠?qū)⒄n本上所涉及的知識(shí)都講解透徹，所以大部分老師都會(huì)選擇通過習(xí)題訓(xùn)練強(qiáng)化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度.而對(duì)于習(xí)題的選擇，也需要老師多多留心，盡可能地選擇一些具有代表性的題目，讓同學(xué)能夠做到觸類旁通.例如，在這部分學(xué)習(xí)完成之后，我都會(huì)向同學(xué)們布置這樣的任務(wù)：求方程lgx-sinx=0的解的個(gè)數(shù).這道題通過一般的算術(shù)方法是很難求出解的個(gè)數(shù)的，因此我們就要借助于形的力量.對(duì)問題再次分析，這個(gè)方程的解的個(gè)數(shù)就是y=lgx的圖象與y=sinx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因此只要我們畫出規(guī)范的圖象然后再進(jìn)行個(gè)數(shù)查找即可.因?yàn)閟inx≤1，lgx≤1，所以0≤x≤10.據(jù)此，我們可以在平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示.

形中覓數(shù)，通過觀察圖象，我們就可以清晰地看出兩條曲線的交點(diǎn)為三個(gè)，所以本題的答案為3.通過這種方法，根本不需要進(jìn)行計(jì)算就能夠?qū)栴}解決，是一種十分方便的求解方法，由此也可以看出數(shù)形結(jié)合思想在解題中的妙處.

三、數(shù)中思形，解析不等

四、立體幾何，變相分析

立體幾何的題型種類繁多，學(xué)生在進(jìn)行高考之前一定都進(jìn)行過大量的習(xí)題訓(xùn)練，都會(huì)一定的解題經(jīng)驗(yàn).其中有一部分疑難雜題可以利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決，例如，若三棱錐A-BCD的其中一個(gè)側(cè)面ABC中存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,它到底面BCD的距離與到棱AB的距離是相等的，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是( ).

這道題巧妙地將立體幾何與解析幾何相聯(lián)系，屬于一道創(chuàng)新題目.對(duì)于這種題目我們就可以選擇特殊圖形來解決，即當(dāng)AC⊥平面BCD時(shí)，那么問題就會(huì)得到轉(zhuǎn)化，P到AB的距離和BC的距離相等的點(diǎn)的軌跡，很明顯P點(diǎn)的軌跡就是∠ABC的角平分線.如果這道題目出現(xiàn)在高考中并且是選擇題目的話，僅僅通過這樣的分析就可以確定正確答案是選項(xiàng)D，但是如果出現(xiàn)在平時(shí)訓(xùn)練中，老師還要對(duì)AC不垂直于平面BCD的一般情況作出討論，擴(kuò)大學(xué)生的視野.

總之，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用有很多，老師可以在多個(gè)方面進(jìn)行擴(kuò)展，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解更加透徹，從而對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)，形成正確的思維習(xí)慣，為解題提供便利.

[1]周濤. 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的滲透[J]. 數(shù)理化學(xué)習(xí)(高三版)， 2015(10)

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