云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)
蘇保明●
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一道向量題的解法研究
云南省蒙自市蒙自一中(新校區(qū))(661100)
蘇保明●
平面向量是高考命題的重要內(nèi)容之一,常以填空題或選擇題呈現(xiàn).由于高考向量題內(nèi)容新穎、解法眾多,導致同學們有時難以入手.為了幫助同學們更好掌握解題思路和方法,現(xiàn)舉一例剖析如下.
題目 已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是( ).
此題是一道具有很強的靈活性與挑戰(zhàn)性的名題,雖然題目的表達簡潔平淡,卻給人以輕車熟路之感.
方法一 利用公式x2+y2≥2xy
解法1 由題意可知,向量a、b是一對單位正交基底,所以建立平面直角坐標系xOy,并設a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),則c-a-b=(x-1,y-1).
因為x2+y2≥2xy,所以2(x2+y2)≥x2+2xy+y2=(x+y)2,
解法2 由解法1知,2(x+y)=x2+y2+1.
方法三:三角法
設x-1=cosα,y-1=sinα,其中α∈R,則x=1+cosα,y=1+sinα.
所以x2+y2=(1+cosα)2+(1+sinα)2
評注 由(x-1)2+(y-1)2=1聯(lián)想到公式sin2α+cos2α=1,故設x-1=cosα,y-1=sinα.本題通過構造三角函數(shù),把較為復雜的代數(shù)問題轉化為簡單的三角問題,從而利用三角函數(shù)的有界性求出|c|的取值范圍.
方法四 向量法
解法4 由解法1知2(x+y)=x2+y2+1.
設m=(x,y),n=(1,1),則由m·n≤|m||n|得
方法五:柯西不等式法
解法5 由解法1知2(x+y)=x2+y2+1,
根據(jù)柯西不等式,得
方法六:構造圓
如圖1,因為圓(x-1)2+(y-1)2=1與圓x2+y2=R2有公共點,
方法七 利用EX2≥(EX)2
解法8 由解法1知2(x+y)=x2+y2+1,
構造離散型隨機變量X的分布列:
XxyP1212
評注 用此法解決問題的關鍵就是正確構造離散型隨機變量的分布列,能使EX2≥(EX)2中出現(xiàn)所需要的式子x2+y2和x+y之間的關系.故此法帶有很強的靈活性和技巧性,必須熟練掌握才能運用自如.
方法八:極坐標法
由極坐標,得x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ(ρ>0),則
(ρcosθ-1)2+(ρsinθ-1)2=1
化簡,得2ρ(sinθ+cosθ)=ρ2+1.
評注 利用平面直角坐標(x,y)與極坐標(ρ,θ)之間的相互轉化公式x2+y2=ρ2、x=ρcosθ、y=ρsinθ(ρ>0,θ∈R),可把原問題轉化為極坐標問題進行求解,這樣使解題思路直觀明朗,容易掌握.
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1008-0333(2016)22-0025-02