浙江省春暉中學(xué)(312353)
孟方明●
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優(yōu)化直線與圓運算的若干策略
浙江省春暉中學(xué)(312353)
孟方明●
直線與圓問題看起來似乎沒有圓錐曲線高大上,但是,不少學(xué)生在解答這類問題時也常常陷入繁雜的運算而不能自拔,究其原因還是解法處理不當(dāng).因此,探求優(yōu)化直線與圓運算的策略,有利于提高學(xué)生解決此類問題的運算能力,對處理圓錐曲線等更復(fù)雜的解幾問題也有所啟示,不可小覷.
策略一:借助幾何直觀
例1 已知圓C:(x-5)2+y2=16以及點P(2,1),直線l過點P且與圓C相交于點A,B,求|AB|的最小值.
(1)若直線l不存在斜率,d=3.
思路2 要使|AB|最小,則應(yīng)使C到直線l的距離為d最大,如圖1,當(dāng)直線l與線段PC垂直時,l記為l1,此時d=|CP|.任取不同于l1的一條直線l,記為l2,作CQ⊥l2于Q,此時d=|CQ|.由于△CPQ是直角三角形,則|CQ|<|CP|,
策略二:挖掘隱含條件
例2 已知直線l:y=kx+1,圓C:(x-1)2+(y+1)2=12,證明l與C總有兩個交點.
思路2 研究直線l:y=kx+1的方程,注意到l經(jīng)過定點(0,1),而(0-1)2+(1+1)2<12,所以點(0,1)在圓C內(nèi),從而顯然有l(wèi)與C相交.
評注 思路1從宏觀層面擇優(yōu)選擇“形”的方法,利用分析法證明不等式d 策略三:回歸基本定義 例3 過點P(0,3)作圓x2+y2+4x-2y+4=0的切線,切點分別為A,B,求直線AB方程. 思路2 注意到AP⊥AC,BP⊥BC,則A,B落在以CP為直徑的圓(記為圓D)上,如圖3所示,從而AB是已知圓C與圓D的公共弦所在直線,因此,求直線AB方程只要將兩圓方程相減即可。易求得圓D方程是(x+2)x+(y-1)(y-3)=0,于是直線AB方程是x2+y2+4x-2y+4-[(x+2)x+(y-1)(y-3)]=0,化簡即2x+2y+1=0. 評注 思路1首先由圖形的對稱性得到AB斜率,再將目標(biāo)聚焦于Rt△PAC,根據(jù)射影定理解出點E坐標(biāo),避免了求切點的復(fù)雜過程.但憑心而論,射影定理方法要求學(xué)生儲備較強(qiáng)的平幾知識,有一定難度;而思路2著眼于直線與圓的基本知識,平易近人的知識,卻是立竿見影的效果.由此可見,樸素的知識運用得當(dāng),就是一種合理的方法. G632 B 1008-0333(2016)22-0016-01