洪 晨 李棟泓

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院,廣東 廣州 510640)

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隨機(jī)地震作用下三維桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

洪 晨 李棟泓

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院,廣東 廣州 510640)

建立了以結(jié)構(gòu)體積最小為目標(biāo)、指定節(jié)點(diǎn)響應(yīng)方差為約束的優(yōu)化模型，采用時(shí)域顯式法分析了隨機(jī)地震作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)及其靈敏度，并結(jié)合全局收斂的移動(dòng)漸進(jìn)線法(GCMMA)求解了結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，最后通過(guò)三維桁架結(jié)構(gòu)數(shù)值算例驗(yàn)證了該拓?fù)鋬?yōu)化的可行性。

拓?fù)鋬?yōu)化，三維桁架結(jié)構(gòu)，時(shí)域顯式法，隨機(jī)地震作用

0 引言

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中具有良好的實(shí)用性，已經(jīng)成為當(dāng)今結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。目前，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究大多集中在靜力領(lǐng)域，動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的研究成果相對(duì)較少；而在實(shí)際工程中，結(jié)構(gòu)不僅承受靜荷載，而且還受到地震、氣流等產(chǎn)生的隨機(jī)動(dòng)力作用的影響。因此，開(kāi)展隨機(jī)荷載作用下的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

近年來(lái)，蘇成,徐瑞[1]從時(shí)域角度出發(fā)，提出了非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析的時(shí)域顯式法，該方法在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析過(guò)程中表現(xiàn)出良好的計(jì)算效率[2]。Z.Q.Hu,C.Su等[3]采用直接微分法求解靈敏度方程，提出了非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)靈敏度分析的時(shí)域顯式法。

因此，本文建立以結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)為約束、結(jié)構(gòu)體積最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，并采用上述時(shí)域顯式法分析結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)及其靈敏度，最后結(jié)合全局收斂的移動(dòng)漸近線法(GCMMA)[4]求解結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。

1 優(yōu)化模型的建立及求解

以結(jié)構(gòu)體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，指定節(jié)點(diǎn)位移方差最大值不超過(guò)預(yù)定限值為約束條件，分別以桿件截面面積及節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量，則其優(yōu)化模型可以表達(dá)為如下形式：

(1)

2 結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)及其靈敏度分析

2.1 動(dòng)力響應(yīng)分析的時(shí)域顯式法

考慮n維自由度的線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，地震作用下的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

(2)

由文獻(xiàn)[1]可得，當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)V0為零向量時(shí)，第i時(shí)刻結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)Vi在時(shí)域內(nèi)可顯式表達(dá)為：

Vi=BiRi

(3)

其中，

(4)

在分析過(guò)程中，通常并不需要求解所有響應(yīng)向量，從而第i時(shí)刻結(jié)構(gòu)某自由度的響應(yīng)方差可表示為：

cov(vi,vi)=φBicov(Ri,Ri)(φBi)T

(5)

其中，φ為某自由度響應(yīng)的定位向量，其元素由0和1組成。

2.2 動(dòng)力響應(yīng)靈敏度分析的時(shí)域顯式法

基于以上動(dòng)力響應(yīng)時(shí)域顯式表達(dá)的基本思路，同理可得動(dòng)力響應(yīng)靈敏度的時(shí)域顯式表達(dá)。設(shè)θ代表線性結(jié)構(gòu)的某設(shè)計(jì)變量，動(dòng)力學(xué)方程式兩端對(duì)θ求偏導(dǎo)，且假設(shè)地震加速度與設(shè)計(jì)變量無(wú)關(guān)，整理可得：

(6)

對(duì)比上式發(fā)現(xiàn)，兩式僅荷載項(xiàng)不同，因此，當(dāng)系統(tǒng)初始狀態(tài)靈敏度?V0/?θ為零向量時(shí)，由文獻(xiàn)[3]可得第i時(shí)刻結(jié)構(gòu)響應(yīng)靈敏度的時(shí)域顯式表達(dá)為：

(7)

其中，

(8)

(9)

將公式整理可得第i時(shí)刻結(jié)構(gòu)某自由度響應(yīng)方差靈敏度的計(jì)算表達(dá)式：

(10)

3 數(shù)值算例

g(t)=δ(e-β1t-eβ2t)

(11)

(12)

其中，ωg為地基土卓越頻率，取14 rad/s；ζg為地基土阻尼比，取0.6;S0為地面水平運(yùn)動(dòng)加速度的譜強(qiáng)度因子，均取0.05 m2/s3，Δt為計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)，取0.05 s。

表1 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的位移方差及總體積

參數(shù)σ2Axmax/m2σ2Aymax/m2總體積/m3優(yōu)化前6．06×10-106．06×10-10242．4優(yōu)化后4．91×10-114．91×10-11164．3

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立以結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)為約束、結(jié)構(gòu)體積最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，采用時(shí)域顯式法求解結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)及其靈敏度，并結(jié)合全局收斂的移動(dòng)漸近線法(GCMMA)求解優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證該方法可以很好的推廣到空間桁架結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中。從上述的圖表中可得，空間桁架結(jié)構(gòu)在滿(mǎn)足位移方差約束的條件下，結(jié)構(gòu)材料總用量得到了節(jié)省，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)拓?fù)洳季州^為合理，對(duì)工程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義。

[1] 蘇 成,徐 瑞.非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域分析法[J].工程力學(xué),2010,27(12):77-83.

[2] 蘇 成,徐 瑞,劉小璐,等.大跨度空間結(jié)構(gòu)抗震分析的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)時(shí)域顯式法[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào),2011,32(11):169-176.

[3] Z.Q.Hu,C.Su,T.C.Chen,et al.An explicit time-domain approach for sensitivity analysis of non-stationary random vibration problems[J].Journal of Sound and Vibration，2016(382)：122-139.

[4] K.Svanberg.A class of globally convergent optimization methods based on conservative convex separable approximations[J].SIAM J.Optim，2002(12)：555-573.

[5] Cacciola P,Colajanni P,Muscolino G.A modal approach for the evaluation of the response sensitivity of structural systems subjected to non-stationary random Processes[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2005(194):4344-4361.

Topology optimization of 3D truss structures under random seismic excitations

Hong Chen Li Donghong

(SchoolofCivilEngineeringandTransportation,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510640,China)

The optimization model of 3D truss structures is formulated by taking volume minimization with displacement constraints. Then, the time-domain explicit method is applied to solve the stochastic response and the sensitivity with respect to the design parameters, and combined with the Global Converged Method of Moving Asymptotes(GCMMA) to solve the topology optimization problem. Finally, the numerical example illustrates the computational efficiency of the proposed topology optimization.

topology optimization, 3D truss structures, time-domain explicit method, random seismic excitations

1009-6825(2016)30-0055-02

2016-08-16

洪 晨(1991- )，男，在讀碩士; 李棟泓(1990- )，男，在讀碩士

TU311

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