李寶麟,張珍珍,張?jiān)?/p>

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

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Carathéodory方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性

李寶麟,張珍珍,張?jiān)?/p>

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

Carathéodory方程能轉(zhuǎn)化為廣義常微分方程的形式,利用廣義常微分方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性證明了Carathéodory方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性定理。

Carathéodory方程;廣義常微分方程;Kurzweil積分;連續(xù)依賴性

Kurzweil[1]在1957年首次提出了廣義常微分方程,并對(duì)廣義常微分方程進(jìn)行了研究,得出了許多有用的結(jié)果。而且很多其他形式的方程都能轉(zhuǎn)化為廣義常微分方程,包括脈沖微分方程、測(cè)度微分方程[2]、時(shí)間軸上的動(dòng)力微分方程[3]和一些其他方程等。眾所周知,在適當(dāng)?shù)臈l件下,廣義常微分方程的解關(guān)于參數(shù)具有連續(xù)依賴性[1]。研究借助廣義常微分方程解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性[4-8]得到Carathéodory方程的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性。

考慮Carathéodory方程:

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹廣義常微分方程與Kurzweil積分的相關(guān)理論。

定義1 函數(shù)F∶[a,b]×[a,b]→Rn在區(qū)間[a,b]上稱為Kurzweil可積的[6],如果存在向量I∈Rn,對(duì)任意的ε>0,在區(qū)間[a,b]上存在正值函數(shù)δ,使得對(duì)區(qū)間[a,b]上的任何δ-精細(xì)分劃D,都有

(2)

定義2 一個(gè)函數(shù)x∶[a,b]→Rn,如果對(duì)所有的s∈[a,b],有

則稱函數(shù)x為廣義常微分方程

(3)

的解[2]。

定義3 設(shè)函數(shù)F∶G→Rn,如果F屬于函數(shù)族F(G,h,ω)[2],則對(duì)所有的(x,s2),(x,s1)∈G,有‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|,

(4)

且對(duì)所有的(x,s2),(x,s1),(y,s2),(y,s1)∈G有‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤ ω(‖x-y‖)|h(s2)-h(s1)|,

(5)其中:h∶[a,b]→R為不減函數(shù);ω∶[0,+)→R為連續(xù)的增函數(shù),且ω(0)=0。

(6)

引理4 假設(shè)F∶G→Rn滿足條件(4)。如果[α,β]?[a,b]且x:[α,β]→Rn是方程(3)的解,則對(duì)任意的s1,s2∈[α,β],不等式

‖x(s1)-x(s2)‖≤|h(s2)-h(s1)|

成立[2],其中h∶[a,b]→R為不減函數(shù)。

進(jìn)一步,我們很自然地可以假設(shè)

(7)

(8)

引理7 假設(shè)Fk∶G→Rn屬于函數(shù)族F(G,h,ω),k=0,1,…,且對(duì)(x,t)∈G,有

(9)

成立。令xk∶[α,β]→Rn,k=1,2,…是廣義常微分方程

(10)

在區(qū)間[α,β]?[a,b]上的解,并且使得

(11)

和(x(s),s)∈G,s∈[α,β]。則x∶[α,β]→Rn在區(qū)間[α,β]上是有界變差的并且是廣義常微分方程

(12)

在區(qū)間[α,β]上的解[3]。

證明 類似于文獻(xiàn)[2]中相關(guān)引理的證明。

2 主要結(jié)論

借助于廣義常微分的方法證明Carathéodory方程的解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性定理。

(13)

(14)

則對(duì)足夠大的k∈N,方程

(15)

證明 首先證明Carathéodory方程能轉(zhuǎn)化為廣義常微分方程,令

由假設(shè)可得(y,a)∈G且

因?yàn)?/p>

且

‖F(xiàn)k(yk,a+)-Fk(x(a),a+)-Fk(yk,a)+ Fk(x(a),a)‖≤ω(‖yk- x(a)‖)(h(a+)-h(a))。

因此可得,存在k1∈N使得對(duì)k>k1有(yk,a)∈G,也就是說

(yk+Fk(yk,a+)-Fk(yk,a),a)∈G。

所以存在r>a使得,若t∈[a,r]且

‖x-(yk+Fk(yk,a+)-Fk(yk,a)‖≤ h(t)-h(t+),

則(x,t)∈G,k>k1。由引理5可得方程(10)存在解xk∶[a,r]→Rn使得xk(a)=yk,k>k1。

因此可得,對(duì)t∈[a,r]都有

而且可以驗(yàn)證,和方程(10)右端的函數(shù)Fk類似,r>a的取值僅與函數(shù)h有關(guān)。

根據(jù)引理7和方程(12)的解的唯一性假設(shè)可知,若函數(shù)列xk在區(qū)間[a,r]上包含一個(gè)逐點(diǎn)收斂的子序列,則對(duì)t∈[a,r],這個(gè)子序列的極限一定是x(t)。進(jìn)一步,再由引理4可知,區(qū)間[a,r]上的函數(shù)列xk,k>k1,在這個(gè)區(qū)間上等度有界并且一致有界變差,由引理7可知,序列xk對(duì)每個(gè)t∈[a,r]都有逐點(diǎn)收斂的子序列xk(t)。

上面的證明說明了這個(gè)結(jié)論在區(qū)間[a,r],r>a上成立?，F(xiàn)在,假設(shè)這個(gè)結(jié)論在整個(gè)區(qū)間[a,b]上都不成立。由假設(shè)可知,存在r*∈(a,b)使得對(duì)于任意的r

但卻在區(qū)間[a,r],r>r*上是不成立的。由引理4,有

‖xk(t2)-xk(t1)‖≤|h(t2)-h(t1)|, t1,t2∈[a,r*),

其中k∈N是足夠大的。因此,xk(r*-)的極限存在,又因?yàn)榉匠痰慕鈞是左連續(xù)的,故有

令xk(r*)=xk(r*-),可得

這也就是說,這個(gè)定理在閉區(qū)間[a,r*]上是成立的。類似地,我們也可以用同樣的方法證明這個(gè)結(jié)論在閉區(qū)間[r*,r*+Δ]上依然成立,其中Δ>0。這與原假設(shè)矛盾,即結(jié)論在整個(gè)閉區(qū)間[a,b]上是成立的。

[1] Kurzweil J.Generalized Ordinary Differential Equations and Continuous Dependence on a Parameter[J].Czechoslovak Math.J,1957,82:418-448.

[3] Slavík A.Dynamic Equations on Time Scales and Generalized Ordinary Differential Equations[J].J.Math.Anal.Appl,2012,385:534-550.

[5] 李寶麟,呂衛(wèi)東.廣義Carathéodory系統(tǒng)有界變差解的存在性[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2007,19(4):1-3.

[7] Halas Z.Continuous Dependence of Solutions of Generalized Linear Differential Equations on a Parameter[J].Mathematica Bohemica,2007,132(2):205-218.

[8] Krasnoselskij M A,Krein S G.On the Averaging Principle in Nonlinear Mechanics[J].Uspehi Mat.Nauk,1955,10(3):147-152.

Continuous Dependency of Solution of Carathéodory Equation on Parameter

Li Baolin,Zhang Zhenzhen,Zhang Yuande

(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)

Carathéodory equation can be transformed into the type of generalized ordinary differential equation,this paper uses the continuous dependency of solution of generalized ordinary differential equation to prove the continuous dependency theorem of solution of Carathéodory equation on parameter.

Carathéodory equation;Generalized ordinary differential equation;Kurzweil integration;Continuous dependency

Li Baolin,Zhang Zhenzhen,Zhang Yuande.Continuous Dependency of Solution of Carathéodory Equation on Parameter[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(6):1-4.[李寶麟,張珍珍,張?jiān)?Carathéodory方程解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(6):1-4.]

10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.06.001.

2016-01-30;

2016-04-27.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11061031).

李寶麟(1963-),男,甘肅天水人,博士,教授,研究方向?yàn)閼?yīng)用微分方程.E-mail:libl@nwnu.edu.cn.

張珍珍.E-mail:zhang151007@yeah.net.

O175.12

A

1004-0366(2016)06-0001-04