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        一類超橢圓曲線上的有理點

        2016-12-15 03:14:26楊仕椿湯建鋼
        浙江大學學報(理學版) 2016年6期
        關鍵詞:有理素數(shù)整數(shù)

        楊仕椿, 湯建鋼

        (1. 阿壩師范學院 數(shù)學與財經(jīng)系, 四川 汶川 623000; 2. 伊犁師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 新疆 伊寧 835000)

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        一類超橢圓曲線上的有理點

        楊仕椿1,2, 湯建鋼2*

        (1. 阿壩師范學院 數(shù)學與財經(jīng)系, 四川 汶川 623000; 2. 伊犁師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 新疆 伊寧 835000)

        設p為素數(shù),r≥0是整數(shù).利用廣義Fermat方程的深刻結(jié)論證明了:若3≤q<100,q≠31,則當p≥5時,超橢圓曲線yp=x(x+qr)上僅有平凡的有理點y=0;當q=5,11,23,29,41,47,59,83時,給出了該超橢圓曲線所有的有理點(x,y).特別地,當q=3且r=1時,證明了超橢圓曲線yp=x(x+3)僅在p=2時有非平凡的有理點(x,y),并給出了此時所有的非平凡有理點.

        有理點;超橢圓曲線;廣義Fermat方程

        0 引 言

        設x≥1,l≥2,k≥2,0≤d1<…

        yk=(x+d1)…(x+dl)

        (1)

        有理點的研究引人注目[1-7].1975年,ERD?S等[2]首先證明了超橢圓曲線(1)在dl=l時沒有整點.隨后,SANDER[3],LAKHAL等[4],SARADHA等[5-6]以及BENNETT[7]均對超橢圓曲線(1)進行了深入細致的探討和研究,獲得了一系列結(jié)果.

        當l較小時,曲線(1)上的有理點研究似乎會變得困難一些.SANDER[3]、LAKHAL等[4]分別研究了當l≤5時方程(1)的情形.2004年,BENNETT[7]獲得了當l=3,4,5時方程(1)的大量整數(shù)解.最近,利用Fermat方程以及廣義Fermat方程[8-9]等相關方程的深刻結(jié)論,沈忠燕等[10-11]求出了曲線yk=x(x+2),yk=x(x+2)(x+3),yk=x(x+1)(x+3),以及曲線yk=x(x+2m)上所有的有理點,任霄等[12]求出了曲線yk=x(x+1)(x+3)(x+4)上當k≥3,k≠4時的所有有理點.

        本文將運用沈忠燕等[10-11]的思路,利用廣義Fermat方程的相關結(jié)論,考慮超橢圓曲線

        yp=x(x+qr)

        (2)

        上的有理點,其中p,q均為素數(shù),r為非負整數(shù).對滿足3≤q<100的素數(shù),以及q∈{5,11,23,29,41,47,59,83}和q=3且r=1的情形分別進行研究,獲得了一些相應的結(jié)論.

        1 引 理

        引理1 令L和p均為素數(shù),r為整數(shù)且3≤L<100,p≥5,0

        xp+Lryp=zp

        (3)

        除L=31外無非零整數(shù)解(x,y,z).

        證明 見文獻[13]中的定理15.5.3.

        引理2 若p均為素數(shù),且p≥11,0

        xp+31ryp=zp

        (4)

        無非零整數(shù)解(x,y,z).

        證明 見文獻[9]定理1.

        引理3 若p均為素數(shù),且p≡2,5(mod 9),則方程

        x3+y3+cz3=0

        (5)

        在c=1,3,p,p2時(除c=2時的非零整數(shù)解(x,y,z)=(1,1,-1)外),無非零整數(shù)解(x,y,z).

        證明 見文獻[14]定理6.4.17.

        2 主要結(jié)論及證明

        定理1 設q為素數(shù),且3≤q<100,q≠31,則當p≥5時,超橢圓曲線(2)上僅有平凡有理點y=0.若q=31,p≥11,則超橢圓曲線(2)上僅有平凡有理點y=0.

        cpb2=dpa(a+qrb).

        (6)

        由于gcd(a,b)=gcd(c,d)=1,則gcd(b,a+qrb)=gcd(cp,dp)=1,因此,b2|dp且dp|b2,則b2=dp,于是方程(6)可化簡為

        cp=a(a+qrb), b2=dp.

        (7)

        令gcd(a,a+qrb)=gcd(a,qr)=qδ,顯然0≤δ≤r.由方程(7)可得,當p≥3時,存在互素的整數(shù)x1,z1以及整數(shù)y1,k,使得

        (8)

        其中,當δ=0時,k=0,當δ>0時,k≥0.

        若δ=0,令r=pl+s,0≤s

        (9)

        由引理1,可得當p≥5時,除q=31外,方程(9)無非零整數(shù)解(x2,y2,z2).若q=31,p≥11,由引理2,可得此時方程(9)也無非零整數(shù)解.因此,x1=y1=0,即a=c=0,代入式(2),可得y=0.

        若0<δ≤r,且pk-δ>0,令r=pl+s,0≤s

        (10)

        定理1得證.

        定理2 設q∈{5,11,23,29,41,47,59,83},則超橢圓曲線(2)在p≥3時僅有平凡有理點y=0,在p=2時曲線(2)的所有有理點(x,y)滿足

        其中c1,c2為整數(shù),且c1≠±c2.

        證明 由定理1可知,如果q∈{5,11,23,29,41,47,59,83},則超橢圓曲線(2)在p≥5時僅有平凡有理點y=0.

        當p=3時,令r=3l+s,0≤s<3,l,s為整數(shù),由方程(8),可得

        (11)

        其中0≤δ≤r,且當δ=0時,k=0,當δ>0時,k≥0.若δ=0,由于q≡2,5(mod 9),則由引理3,可得該方程沒有非零整數(shù)解(x,y,z).若0<δ≤r,則采用與定理1類似的討論方法,通過比較方程兩邊q的指數(shù),利用引理3,同理可得方程(11)無非零整數(shù)解.

        定理2得證.

        采用與定理1、2類似的證明方法,利用引理1以及引理3中c=3的結(jié)論,同理可得:

        3 問 題

        問題1 設p為素數(shù),則超橢圓曲線yp=x(x+9)僅在p=2,3時有非平凡的有理點(x,y)?

        問題2 設素數(shù)p≥3,則超橢圓曲線yp=x(x+14)僅在p=5時有非平凡的有理點(x,y)=(2,2)?

        問題3 設p為素數(shù),a為任意整數(shù),則超橢圓曲線yp=x(x+a)上有哪些非平凡的有理點(x,y)?

        以上問題有待進一步探索!

        作者衷心感謝審稿專家的寶貴建議!

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        [13] COHER H. Analytic and Modern Tools[M]//Number Theory. New York: Springer,2007:511-514.

        [14] COHER H. Tools and Diophantine Equations[M]//Number Theory. New York: Springer, 2007:373-376.

        YANG Shichun1,2, TANG Jiangang2

        (1.DepartmentofMathematicsandFinance,AbaTeachersUniversity,Wenchuan623000,SichuanProvince,China; 2.CollegeofMathematicsandStatistics,YiliNormalUniversity,Yinning835000,theXinjiangUygurAutonomousRegion,China)

        Rational points on a class of super elliptic curve. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(6):676-678

        Letpbe a prime, andr≥0 be a integer. Using the deeply result of generalized Fermat equation, we prove that if 3≤q<100 andq≠31, then the superelliptic curveyp=x(x+qr) has only ordinary rational pointy=0 whenp≥5. Ifq=5,11,23,29,41,47,59,83, we give all of the rational points (x,y) in the superelliptic curve. Furthermore, ifq=3 andr=1, the superelliptic curveyp=x(x+3) has a non-trivial rational point (x,y) only whenp=2.

        rational point; super elliptic curve; generalized Fermat equation

        2015-09-03.

        新疆維吾爾自治區(qū)普通高等學校重點學科經(jīng)費資助項目(2012ZDXK21);四川省高等教育人才培養(yǎng)質(zhì)量教學改革項目(14-156-711);四川省教育廳自然科學研究項目(15ZA0337, 15ZB0348, 15ZB0350).

        楊仕椿(1969-),ORCID:http://orcid.org/0000-0001-5692-7479,男,教授,主要從事數(shù)論、組合與編碼研究.

        *通信作者,ORCID:http://orcid:org/0000-0001-7662-0394,E-mail:tjg@ylsy.edu.cn.

        10.3785/j.issn.1008-9497.2016.06.009

        O 156.1

        A

        1008-9497(2016)06-676-03

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