姜 潮 鄧青青 張 旺

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，410082

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考慮參數(shù)相關(guān)性的結(jié)構(gòu)二階可靠性分析方法

姜 潮 鄧青青 張 旺

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，410082

提出了一種基于vine copula函數(shù)的二階可靠性分析方法(VC-SORM)，為存在復(fù)雜多維相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性分析提供了有效手段。通過(guò)vine copula函數(shù)將隨機(jī)向量多維概率分布函數(shù)轉(zhuǎn)換為多個(gè)二維copula函數(shù)，基于極大似然估計(jì)法和AIC信息準(zhǔn)則對(duì)各二維copula函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化選擇，從而構(gòu)建出聯(lián)合概率分布函數(shù)，并進(jìn)行一階可靠性分析；在一階可靠性分析的基礎(chǔ)上，對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行二階近似，獲得精度更高的可靠性分析結(jié)果。最后通過(guò)兩個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

結(jié)構(gòu)可靠性；vine copula函數(shù)；二階可靠性分析方法；參數(shù)相關(guān)性

0 引言

在結(jié)構(gòu)可靠性分析領(lǐng)域，通常使用概率模型描述載荷、材料屬性、結(jié)構(gòu)尺寸等存在的不確定性?；诟怕誓Ｐ?，已發(fā)展出了一系列有效的可靠性分析方法，如一次二階矩法(first order reliability method, FORM)[1]、二次二階矩法(second order reliability method, SORM)[2]、體系可靠性分析[3]、響應(yīng)面法[4]、蒙特卡羅(Monte Carlo)方法[5]等?，F(xiàn)有可靠性方法很多時(shí)候假設(shè)各隨機(jī)變量相互獨(dú)立，并轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間進(jìn)行求解。然而，在很多實(shí)際工程問(wèn)題中，隨機(jī)變量間具有相關(guān)性[6]，且變量間的相關(guān)性可能對(duì)可靠性分析結(jié)果產(chǎn)生很大影響。目前處理相關(guān)性的可靠性方法主要有Nataf變換[7]和Rosenblatt變換[8]。Nataf變換用邊緣分布和相關(guān)系數(shù)矩陣將多維相關(guān)非正態(tài)變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立正態(tài)變量進(jìn)行處理，在可靠性領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[9-10]。然而Nataf變換僅考慮了變量間的線性相關(guān)性，只能在某些特定樣本分布的情況下較好地度量變量間相關(guān)性；當(dāng)很多樣本分布類型或者變量間的聯(lián)合分布函數(shù)不服從高斯分布時(shí)，該方法可能存在較大誤差[11]。理論上，Rosenblatt變換是一種精確的相關(guān)性處理方法，它對(duì)輸入隨機(jī)變量取條件將原相關(guān)變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立正態(tài)變量,但是，Rosenblatt變換必須基于精確的聯(lián)合概率分布函數(shù)，而實(shí)際工程中多維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)通常是未知的，所以其實(shí)際應(yīng)用受到較大限制。

近年來(lái)，在不確定性分析領(lǐng)域已出現(xiàn)了一種處理隨機(jī)變量相關(guān)性的有效數(shù)學(xué)工具，即copula函數(shù)。copula函數(shù)最早由Sklar[12]提出，它可以被視為一種邊緣分布和聯(lián)合分布之間的連接函數(shù)[13]，可用于建立具有相關(guān)性的隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)。copula函數(shù)已經(jīng)在金融和水文等領(lǐng)域得到大量應(yīng)用[14-15]，因?yàn)槠湓谔幚黼S機(jī)相關(guān)性方面的強(qiáng)大功能，近年來(lái)被逐漸引入結(jié)構(gòu)可靠性領(lǐng)域。Lebrun等[11,16]證明了在可靠性領(lǐng)域常用的Nataf變換可等效為Gaussian copula函數(shù)，并比較了在二維copula情況下Nataf變換和Rosenblatt變換對(duì)計(jì)算結(jié)果的不同影響。Noh等[17]利用Gaussian copula函數(shù)求解了RBDO問(wèn)題。Tang等[18]研究了不同copula函數(shù)對(duì)兩變量相關(guān)模型可靠性分析結(jié)果的影響。Jiang等[19]提出了一種基于copula函數(shù)的證據(jù)理論模型，并構(gòu)建了相應(yīng)的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法。上述研究為copula函數(shù)在結(jié)構(gòu)可靠性中的拓展和應(yīng)用作出了有價(jià)值的探索和嘗試，使相關(guān)工作成為近年來(lái)結(jié)構(gòu)可靠性分析領(lǐng)域的前沿性和重要性研究方向。然而，這些工作在考慮參數(shù)相關(guān)性的同時(shí)主要是基于一階可靠性方法進(jìn)行分析的，即將原功能函數(shù)進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)并計(jì)算近似可靠性。該處理方式對(duì)于很多非線性程度不高的功能函數(shù)具有理想的分析精度，但是當(dāng)功能函數(shù)非線性程度較高時(shí)，該類方法存在傳統(tǒng)FORM的不足，即可能造成較大的可靠性分析誤差，難以滿足工程需要。為減小一階可靠性方法線性化展開(kāi)造成的誤差，建立一種基于copula函數(shù)的精度更高的高階可靠性分析方法，對(duì)于copula函數(shù)在結(jié)構(gòu)可靠性領(lǐng)域的更深入拓展以及實(shí)際復(fù)雜結(jié)構(gòu)適用能力的提升都具有重要的理論意義和工程意義。

本文基于不確定性分析領(lǐng)域近年來(lái)發(fā)展出的一種處理隨機(jī)變量相關(guān)性的新型數(shù)學(xué)模型——vine copula函數(shù)[20]，并在筆者現(xiàn)有研究[21]的基礎(chǔ)上提出了一種結(jié)構(gòu)二階可靠性分析方法(vine copula based second order reliability method,VC-SORM)，為存在復(fù)雜多維相關(guān)性的結(jié)構(gòu)可靠性問(wèn)題提供了一種高精度的分析方法。

1 vine copula函數(shù)基本原理

copula函數(shù)可視為一維邊緣分布與多維聯(lián)合分布間的連接函數(shù)。由Sklar定理[12]，若n維連續(xù)隨機(jī)向量x=(x1,x2,…,xn)的邊緣分布為F1(x1),F2(x2),…，F(xiàn)n(xn)，則存在唯一copula函數(shù)C，使得

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(1)

其中，F(xiàn)(x1,x2,…，xn)為隨機(jī)向量x的聯(lián)合概率分布函數(shù)。對(duì)式(1)求導(dǎo)可得x的概率密度函數(shù)：

f(x1,x2,…,xn)=

(2)

其中，fi(xi)為邊緣概率密度函數(shù)，c為copula函數(shù)C的密度函數(shù)：

(3)

目前常用的幾類二維copula函數(shù)見(jiàn)表1[13]，表1中θ為copula函數(shù)中的相關(guān)性參數(shù)。這類函數(shù)只能較好處地理二維變量間的相關(guān)性，但難以完整描述多個(gè)變量間的耦合相關(guān)關(guān)系。

表1 本文所用二維copula函數(shù)

對(duì)于多維相關(guān)性問(wèn)題，近年來(lái)不確定性分析領(lǐng)域出現(xiàn)了一種更為靈活的數(shù)學(xué)工具——vine copula函數(shù)[20,22-24]。vine copula函數(shù)的核心思想是通過(guò)對(duì)多維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)進(jìn)行分解，將其轉(zhuǎn)換為若干個(gè)關(guān)于原變量或其條件變量的二維copula函數(shù)進(jìn)行處理。對(duì)于隨機(jī)向量x，按照傳統(tǒng)方法，可通過(guò)Rosenblatt變換[14]將其聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x1,x2,…,xn)進(jìn)行分解：

f(x1,x2,…,xn)=f1(x1)f2|1(x2|x1)·

f3|1,2(x3|x1,x2)…fn|1,2,…,n-1(xn|x1,x2,…,xn-1)

(4)

其中，fk|1,2,…,k-1(xk|x1,x2,…,xk-1)為條件概率密度函數(shù)，k=2,3,…,n。對(duì)于兩變量情況，由式(2)有：

c12(F1(x1),F2(x2))f2(x2)

(5)

其中，c12為變量x1、x2之間的copula密度函數(shù)。對(duì)于三變量情況，有

c13|2(F1|2(x1|x2),F3|2(x3|x2))f3|2(x3|x2)=

c13|2(F1|2(x1|x2),F3|2(x3|x2))·

c23(F2(x2),F3(x3))f3(x3)

(6)

F1|2(x1|x2)=C1|2(F1(x1)|F2(x2))=

(7)

F3|2(x3|x2)=C3|2(F3(x3)|F2(x2))=

(8)

由式(6)～式(8)，三維概率密度函數(shù)f(x1,x2,x3)可作如下分解：

f(x1,x2,x3)=

f1(x1)f2|1(x2|x1)f3|12(x3|x1,x2)=

f1(x1)f2(x2)f3(x3)c12(F1(x1),F2(x2))·

c23(F2(x2),F3(x3))c13|2(F1|2(x1|x2),F3|2(x3|x2))

(9)

上述分解過(guò)程用到了條件分布函數(shù)式(7)和式(8)，為表述方便，引入以下h方程來(lái)表示二元條件分布：

(10)

ui=Fi(xi) uj=Fj(xj)

對(duì)于四維以上概率密度函數(shù)，上述分解過(guò)程存在多種方式，為方便將多維聯(lián)合分布函數(shù)分解為二維分布，Bedford等[22-23]引入了一種樹(shù)結(jié)構(gòu)圖——vine模型來(lái)描述不同的分解方式。常用的vine模型有canonical vine和D-vine，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，本文僅考慮D-vine模型。D-vine模型由若干個(gè)樹(shù)結(jié)構(gòu)組成，對(duì)于n維D-vine模型，含n-1層樹(shù)結(jié)構(gòu)Tj,j=1,2,…,n-1 ，樹(shù)Tj有n-j+1個(gè)節(jié)點(diǎn)和n-j 條邊，每條邊代表一個(gè)二維copula密度函數(shù)，例如14|23表示copula密度函數(shù)ci,j+1，i=1,2,…,m-1，樹(shù)l(2≤l≤m)中的copula函數(shù)對(duì)為ci,i+l|i+1,i+2,…，j+l-1，i=1,2,…,n-l。一般地，隨機(jī)向量x的概率密度函數(shù)f(x1,x2,…，xm)對(duì)應(yīng)的D-vine模型如下[24]：

xi+1,xi+2,…,xi+j-1),Fi+j|i+1,i+2,…,i+j-1(xi|

xi+1,xi+2,…,xi+j-1))

(11)

其中，fk(xk)表示隨機(jī)變量的邊緣概率密度函數(shù)，k=1,2,…,m，下標(biāo)j表示樹(shù)Tj，下標(biāo)i表示樹(shù)Tj中的邊。

2 結(jié)構(gòu)二階可靠性分析方法

假設(shè)結(jié)構(gòu)中含n維隨機(jī)向量x，其功能函數(shù)g為

g(x)=g(x1,x2,…,xn)

(12)

則極限狀態(tài)面g(x1,x2,…,xn)=0將變量空間劃分為可靠域ΩR={x|g(x)>0}和失效域ΩF= {x|g(x)≤0}。設(shè)x的聯(lián)合概率密度函數(shù)為f(x1,x2,…，xn)，則結(jié)構(gòu)失效概率Pf可表示為

Pf=∫…∫g(x)≤0f(x1,x2,…,xn)dx1dx2…dxn

(13)

結(jié)構(gòu)可靠度R=1-Pf。而實(shí)際工程中，存在著大量的多維相關(guān)性問(wèn)題，即多個(gè)隨機(jī)變量(超過(guò)兩個(gè))之間具有復(fù)雜的相互影響關(guān)系。文獻(xiàn)[21]針對(duì)上述多維相關(guān)性問(wèn)題提出了一階可靠性分析方法(VC-FORM)，對(duì)于很多非線性程度不高的功能函數(shù)具有理想的精度。在該方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步構(gòu)建一二階可靠性分析方法(VC-SORM)，對(duì)于非線性程度較大且存在多維相關(guān)性隨機(jī)變量的功能函數(shù)可靠性問(wèn)題也能達(dá)到理想的精度，從而為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠性分析提供一種潛在計(jì)算工具。

2.1 多維聯(lián)合概率密度函數(shù)構(gòu)建

對(duì)于多維相關(guān)問(wèn)題，可基于vine copula將多維分布轉(zhuǎn)換為邊緣分布與多個(gè)二維copula函數(shù)的乘積，如式(11)所示。各隨機(jī)變量的邊緣分布在實(shí)際工程問(wèn)題中通常較易獲得，為此聯(lián)合分布函數(shù)的建立將最終歸結(jié)為多個(gè)二維copula函數(shù)的構(gòu)建問(wèn)題。對(duì)于兩變量問(wèn)題，通常需要基于樣本選擇最優(yōu)的copula函數(shù)來(lái)保證相關(guān)性分析的精度。下面基于極大似然估計(jì)法[25]和AIC準(zhǔn)則(Akaike information criterion)[26]對(duì)隨機(jī)變量的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，從而對(duì)變量間的最優(yōu)copula函數(shù)進(jìn)行選擇并估計(jì)相應(yīng)的相關(guān)性參數(shù)。

針對(duì)隨機(jī)向量x中的任一對(duì)隨機(jī)變量x1、x2，其邊緣累積分布函數(shù)分別為F1(x1)、F2(x2)，樣本集為{x1i,x2i}，i=1,2,…,m，其中m為樣本總數(shù)。為選擇其最優(yōu)copula函數(shù)，可對(duì)任一備選copula函數(shù)C，建立似然對(duì)數(shù)函數(shù)如下：

(14)

其中，c為C的密度函數(shù)，θ為copula函數(shù)中的相關(guān)性參數(shù)。則θ的估計(jì)值可由極大似然估計(jì)法求得：

(15)

t copula函數(shù)中的自由度v可用同樣方法獲得。對(duì)所有備選copula函數(shù)進(jìn)行上述分析，獲得參數(shù)θ(和v)后，可用AIC信息準(zhǔn)則[26]選擇最優(yōu)copula函數(shù):

(16)

其中，k為copula函數(shù)中參數(shù)數(shù)目(本文中，對(duì)于t copula函數(shù)有θ和v有兩個(gè)參數(shù)，其他copula函數(shù)只有θ一個(gè)參數(shù))。AIC值越小，則該copula對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合程度越好。綜上所述，聯(lián)合概率密度函數(shù)的構(gòu)建流程如下：

(1)基于vine copula，將聯(lián)合概率密度函數(shù)分解為若干個(gè)二維copula函數(shù)及邊緣概率密度函數(shù)的乘積。

(2)基于隨機(jī)變量的樣本數(shù)據(jù)，利用MLE方法估計(jì)樹(shù)1中各備選copula函數(shù)的參數(shù)，并由AIC準(zhǔn)則選出各最優(yōu)copula函數(shù)。

(3)利用h方程將樣本數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為樹(shù)2所需數(shù)據(jù)，并由MLE方法及AIC準(zhǔn)則選擇出樹(shù)2中的各最優(yōu)copula函數(shù)。

(4)選出樹(shù)n-1中的各最優(yōu)copula函數(shù)。

(5)基于式(11)，獲得多維聯(lián)合概率密度函數(shù)。

2.2 可靠性計(jì)算

首先，進(jìn)行如下等概率變換[8]：

(17)

其中，y=(y1,y2,…,yn)為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)向量，Φ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。則X空間中的點(diǎn)(x1,x2,…,xn)可通過(guò)如下迭代轉(zhuǎn)換至y空間中的點(diǎn)(y1,y2,…,yn)。

迭代1：

令u1=F1(x1),u2=F2(x2)，…,un=Fn(xn)；

令s1=u1，則y1=Φ-1(s1)；

h3|2,1|2(h32(u3,u2),h12(u1,u2))，則s3=Φ-1(r3)；

y4=Φ-1(s4)；

…

得到y(tǒng)空間中的點(diǎn)(y1,y2,…,yn)。

在y空間中定義以下一階可靠性指標(biāo)[1]：

(18)

其中，G表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的功能函數(shù)，最優(yōu)解y*稱為最可能失效點(diǎn)(most probable point, MPP)，β為可靠度指標(biāo)。

本文采用改進(jìn)的HL-RF算法(improved HL-RF algorithm, iHL-RF)搜索MPP，研究結(jié)果表明iHL-RF算法在求解式(18)中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)具有較高的計(jì)算效率及穩(wěn)健的收斂性[27]。iHL-RF由一系列迭代完成，第k迭代步算法可描述為

(19)

yk+1=yk+αdk

(20)

(21)

通過(guò)求解以下優(yōu)化問(wèn)題確定步長(zhǎng)t：

(22)

式中，c為一常數(shù)。

,

(23)

采用傳統(tǒng)二階可靠性方法(SORM)的分析思路，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，對(duì)功能函數(shù)G(y)在MPP點(diǎn)y*處進(jìn)行二階泰勒展開(kāi)：

(24)

其中，α、B、βF為一階可靠性指標(biāo)。

MPP點(diǎn)處功能函數(shù)主曲率為

(25)

其中，bjj為B的對(duì)角元素。則式(24)中的功能函數(shù)可進(jìn)一步表示為[28]

(26)

其中，R為二次曲面平均主曲率半徑：

(27)

式(26)對(duì)應(yīng)的二階經(jīng)驗(yàn)可靠度指標(biāo)為[28]

(28)

綜上所述，本文所提出的VC-SORM算法流程如下：

(1)運(yùn)用D-vine模型將聯(lián)合概率密度函數(shù)分解為若干個(gè)二維copula函數(shù)及邊緣概率密度函數(shù)的乘積；

(2)由隨機(jī)變量的樣本推斷出各最優(yōu)二維copula函數(shù)類型及其相關(guān)性參數(shù)；

(3)建立多維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)；

(4)給定初始迭代點(diǎn)x0和迭代步k=0；

(5)用迭代1將隨機(jī)向量xk轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立正態(tài)向量yk；

(7)令k←k+1,由式(20)得到y(tǒng)k+1；

(8)基于迭代1，反推得到y(tǒng)k+1在原空間上的點(diǎn)xk+1；

(9)如果‖xk+1-xk‖≤ε(ε為容差)，則程序終止，否則轉(zhuǎn)到步驟(6)；

(10)計(jì)算一階可靠度指標(biāo)βF=‖yk+1‖。

(11)由式(28)計(jì)算二階可靠度指標(biāo)βS和失效概率Pf=Φ(-βS)。

3 算例分析與應(yīng)用

3.1 算例一

考慮如下功能函數(shù)[29]：

(29)

其中，g0為常數(shù)；x1服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；x2服從極值Ⅰ型分布；x3服從Weibull分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為ux1=1，σx1=0.16，ux2=20，σx2=2，ux3=48，σx1=3。

隨機(jī)向量x具有500組樣本，其分布如圖1所示。由圖1可知，各變量之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，且x2與x3之間具有明顯的下尾部相關(guān)性。

采用本文方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析，即使用vine copula函數(shù)將多維概率分布分解為多個(gè)二維copula函數(shù)，并基于變量樣本對(duì)各二維copula函數(shù)類型進(jìn)行最優(yōu)選擇及參數(shù)估計(jì)。由樣本可計(jì)算出隨機(jī)變量之間各備選copula函數(shù)的AIC值，見(jiàn)表2。因?yàn)锳IC越小表示樣本擬合越好，故可知x1與x2，x2與x3，x1|x2與x3|x2對(duì)應(yīng)的最優(yōu)copula函數(shù)類型分別為t copula、Clayton copula、Frank copula，其相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)值在表2最后兩列中給出。

不同常數(shù)g0下，使用本文二次二階矩法(VC-SORM)方法和蒙特卡羅方法(VC-MCS)[21]、一次二階矩法(VC-FORM)[21]三種算法可靠性分析結(jié)果見(jiàn)表3。由結(jié)果可知，隨著g0的增大，結(jié)構(gòu)的失效概率逐漸增大，同時(shí)與蒙特卡羅方法相比，不同常數(shù)g0下，本文提出的VC-SORM方法誤差均小于VC-FORM方法誤差。如當(dāng)g0=0時(shí)，VC-FORM方法相對(duì)于VC-MCS的誤差為19.35%，而VC-SORM方法相對(duì)誤差僅為3.23%。同時(shí)也分析了不同的變量相關(guān)性對(duì)可靠性結(jié)果的影響，分析過(guò)程中常數(shù)g0設(shè)置為4。假定二維變量間的Kendall相關(guān)系數(shù)τ相同，并且沿用上一步分析中的最優(yōu)copula函數(shù)類型，令τ從0.1到0.9變化并使用不同方法進(jìn)行分析，結(jié)果見(jiàn)表4。首先，由結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，在不同的相關(guān)系數(shù)下本文提出的VC-SORM方法誤差均小于VC-FORM方法誤差。在所有9種情況中，VC-FORM的最大誤差達(dá)到56.44%，發(fā)生在τ=0.1時(shí)；VC-FORM的最大誤差僅為16.59%，發(fā)生在τ=0.3時(shí)。另外，對(duì)于該問(wèn)題，隨著Kendall相關(guān)系數(shù)的變大，失效概率整體上也呈現(xiàn)衰減趨勢(shì)。如τ=0.9時(shí)，VC-MCS方法得到的失效概率為0.001 89，而τ=0.1時(shí)失效概率變?yōu)?.007 76，后者是前者的4.1倍。這表明，對(duì)于該問(wèn)題，隨機(jī)變量相關(guān)性對(duì)可靠性結(jié)果的影響較為顯著，如果單純將其假設(shè)為獨(dú)立變量進(jìn)行處理，有可能造成較大的可靠性分析誤差。

圖1 隨機(jī)變量樣本分布圖(算例1)

copula函數(shù)參數(shù)GaussiantClaytonGumbelFrankθvx1，x2-171．924-184．877-151．429-164．622-153．9530．5934．310x2，x3-799．938-916．365-1202．714-651．739-953．2837．706-x1|x2，x3|x2-106．722-105．361-75．895-96．413-117．5643．123-

表3 不同g0下的可靠性分析結(jié)果(算例1)

表4 不同相關(guān)系數(shù)τ下的可靠性分析結(jié)果(算例1)

3.2 算例二

近年來(lái)，人們對(duì)車身耐撞性的設(shè)計(jì)要求不斷提升。在側(cè)碰工況下，B柱最大加速度是衡量車身耐撞性的重要指標(biāo)。考慮圖2所示的汽車側(cè)碰問(wèn)題，可移動(dòng)壁障以50 km/h的速度從側(cè)面撞向車身。影響車身耐撞性的因素較多，Hou等[30]運(yùn)用因子篩選法(factor screening method)篩選出圖2所示的4個(gè)車身板厚作為關(guān)鍵設(shè)計(jì)變量t=(t1,t2,t3, t4)進(jìn)行分析。為滿足側(cè)碰耐撞性要求，B柱最大加速度a不能超過(guò)許可值a0，則可建立以下功能函數(shù)：

g(t)=a0-a(t1,t2,t3,t4)

(30)

因?yàn)橹圃煺`差t1,t2,t3,t4均為隨機(jī)變量，其均值分別為μt1=0.9 mm，μt2=2.1 mm，μt3=1.0 mm，μt4=1.4 mm，變異系數(shù)均為0.1，且均服從正態(tài)分布。通過(guò)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，運(yùn)用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)方法在設(shè)計(jì)空間選取41個(gè)樣本點(diǎn)，并調(diào)用有限元模型(FEM)進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建出最大加速度a的響應(yīng)面函數(shù)[30]:

a(t1,t2,t3,t4)=14.5324-0.6917t1+2.4961t2+

0.4466t1t2-0.0473t1t4+0.126t2t3+

0.0621t2t4-0.7866t3t4

(31)

圖2 汽車側(cè)碰有限元模型

對(duì)4個(gè)厚度變量的樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，可確定各變量間的最優(yōu)copula函數(shù)類型及相關(guān)性參數(shù)，見(jiàn)表5。利用本文的VC-SORM方法及現(xiàn)有的VC-MCS、VC-FORM方法分別對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行可靠性分析，分析過(guò)程中調(diào)用式(31)中的響應(yīng)面函數(shù)而非原FEM模型，從而大大提高了計(jì)算效率，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6。由結(jié)果可知，當(dāng)B柱最大侵入量許可值設(shè)定為一個(gè)較嚴(yán)格的指標(biāo)a0=19.50g時(shí)，側(cè)碰失效概率超過(guò)90%，該情況下車身耐撞性存在較大失效風(fēng)險(xiǎn)，說(shuō)明該車身結(jié)構(gòu)難以滿足給定的最大加速度設(shè)計(jì)指標(biāo)。當(dāng)a0由19.50g增加到19.90g時(shí)，車身側(cè)碰失效概率均迅速降低；而當(dāng)a0達(dá)到19.90g時(shí)，失效概率已經(jīng)降低到10-3數(shù)量級(jí)，說(shuō)明在該最大加速度的設(shè)計(jì)指標(biāo)下車身結(jié)構(gòu)可滿足車身側(cè)碰耐撞性的可靠性要求。另外，在不同a0值下，本文提出的VC-SORM算法精度均高于VC-FORM算法精度。當(dāng)側(cè)碰失效概率較大時(shí)，VC-FORM和VC-SORM所得失效概率誤差均較小，如當(dāng)a0=19.50g時(shí)，兩種方法的誤差分別僅為2.15%和1.05%；失效概率較小時(shí)，VC-SORM方法誤差明顯小于VC-FORM方法誤差，如當(dāng)a0=19.50g時(shí)，VC-FORM方法誤差達(dá)到118.21%，而VC-SORM方法誤差僅為16.28%，前者是后者的7.26倍。

表5 各最優(yōu)copula函數(shù)及參數(shù)估計(jì)(算例2)

表6 不同a0下的可靠性分析結(jié)果(算例2)

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于vine copula函數(shù)，提出了一種處理多維相關(guān)性的結(jié)構(gòu)二階可靠性分析方法?；贒-vine模型，可將多維隨機(jī)分布轉(zhuǎn)換為多個(gè)二維copula函數(shù)的乘積，從而最終轉(zhuǎn)換為常規(guī)的二維copula函數(shù)構(gòu)建問(wèn)題；進(jìn)行一階可靠性分析，并在此基礎(chǔ)上對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行二階近似，獲得精度更高的可靠性分析結(jié)果。數(shù)值算例分析結(jié)果表明：與現(xiàn)有的一階可靠性分析方法VC-FORM方法相比，本文方法具有更高的精度，更適用于處理功能結(jié)構(gòu)函數(shù)非線性程度較高的可靠性分析問(wèn)題。

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(編輯 陳 勇)

Second Order Reliability Method of Structures Considering Parametric Correlations

Jiang Chao Deng Qingqing Zhang Wang

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

A vine copula based second order reliability method(VC-SORM) was proposed to deal with reliability analysis problems with complex multidimensional correlated variables. The multidimensional probability distribution function was converted into two-dimensional copula functions using vine copula function. The maximum likelihood estimation method and the AIC information criterion(Akaike information criterion) were used to identify the optional two-dimensional copulas. Then the joint probability distribution function was built and the first order reliability results were obtained. Based on the first order reliability results, a reliability results with higher accuracy were obtained using the second order approximation. Finally, two numerical examples were provided to verify the effectiveness of the method.

structural reliability; vine copula(VC) function; second order reliability method; parametric correlation

2016-01-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51222502,11172096)；湖南省杰出青年基金資助項(xiàng)目(14JJ1016)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.22.015

姜 潮，男，1978年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及理論、汽車CAE技術(shù)。鄧青青，男，1990年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生。張 旺，男,1990年生。湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室碩士研究生。