李嵩松

(南昌師范學(xué)院 物理系，江西 南昌，330032)

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單軸扭曲哈密頓量系統(tǒng)中的量子糾纏

李嵩松

(南昌師范學(xué)院 物理系，江西 南昌，330032)

利用兩種壓縮參數(shù)研究單軸扭曲哈密頓量系統(tǒng)中的量子糾纏．通過解析求解和數(shù)字計算，發(fā)現(xiàn)可以通過增加系統(tǒng)的粒子數(shù)和適當(dāng)減弱線性相互作用強(qiáng)度提高系統(tǒng)的糾纏程度．

量子糾纏；單軸扭曲哈密頓量；壓縮參數(shù)

量子糾纏[1]是一種極其重要的量子效應(yīng)，是量子信息處理[2-4]的基石．如今，量子糾纏態(tài)作為一種物理資源已廣泛地應(yīng)用于量子通信[2]，量子計算[3]和量子信息[4]．可以說，沒有量子糾纏就沒有量子信息處理．二十多年來，量子信息研究得到了空前的發(fā)展，優(yōu)秀的理論研究和實驗研究成果層出不窮．尤其是量子通信，從無到有，已開始進(jìn)入實用階段．

要實現(xiàn)量子信息處理，首先要制備出量子糾纏態(tài)．近年來，人們提出了各種各樣的方案來制備量子糾纏態(tài)[5-7]，其中不少在實驗上得到了驗證．有了糾纏態(tài)，還要能正確、方便地度量其糾纏程度．為此，人們提出了諸多定義度量量子糾纏態(tài)的糾纏程度，如相對熵[8]，糾纏見證[9]，量子discord[10]，自旋壓縮參數(shù)[11-13]等．

本文利用新近提出的兩種壓縮參數(shù)研究單軸扭曲哈密頓量[14]系統(tǒng)中的量子糾纏．通過解析求解和數(shù)字計算，發(fā)現(xiàn)可以通過增加系統(tǒng)的粒子數(shù)和適當(dāng)減弱線性相互作用強(qiáng)度提高系統(tǒng)的糾纏程度．

1 系統(tǒng)模型

單軸扭曲哈密頓量是研究自旋壓縮的一種重要物理模型，在玻色-愛因斯坦凝聚和光學(xué)系統(tǒng)中都可以實驗這種物理模型[15]，其形式可以寫為

(1)

其中參數(shù)χ描述系統(tǒng)中的非線性相互作用，Ω描述系統(tǒng)中的線性相互作用．假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為Jx的最低能量本征態(tài)|j,-j〉x．研究系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)，既可以在Schr?dinger 表象中，也可以在Heisenberg 表象中，本文在Heisenberg表象研究系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)．為此，首先求解角動量算符Jy，Jz的Heisenberg運動方程：

(2)

(3)

通常情況下，由于粒子數(shù)很大，并不能得到方程的解析解．但是，如果線性相互作用遠(yuǎn)大于非線性相互作用(一般情況下只要滿足條件Ω>5χ)，就可以采用冷凍自旋近似，即在上述Heisenberg運動方程中用實數(shù)-j代替角動量算符Jx,這也就意味著平均自旋方向固定在x方向而不隨時間演化．利用冷凍自旋近似，可以得到

(4)

(5)

(6)

求得了Jy，Jz的含時解，就可以在Heisenberg表象研究系統(tǒng)的糾纏特性．

2 量子糾纏

本文利用兩種壓縮參數(shù)研究量子系統(tǒng)的糾纏特性，一種是由Vitagliano等人定義的壓縮參數(shù)[16]

(7)

(8)

上式中，角標(biāo)k，l，m是指三個相互垂直的任意方向．如果參數(shù)ξ<1，那么系統(tǒng)就處于量子糾纏態(tài)．與η相反，ξ的值越小越好.

從(7)式可以看出，要使η>0，就必須使〈ΔJn〉和〈Jn〉取最小值，如果這兩個值都取0，那么系統(tǒng)就處于最大糾纏態(tài)．由于平均自旋方向沿x方向，在(y,z)平面引入一個任意的自旋分量[11]

(9)

(10)

(11)

將(11)式代入(7)式得到最佳壓縮參數(shù)

(12)

從上式可以看出，壓縮參數(shù)依賴于總粒子數(shù)N，非線性相互作用χ，線性相互作用Ω，以及系統(tǒng)在哈密頓量作用下的演化時間t，因此，其大小也就取決于這些參數(shù)．為了更清楚地看出它們之間的依賴關(guān)系，圖1畫出了在不同線性相互作用強(qiáng)度下，壓縮參數(shù)η隨ωt變化的關(guān)系，其中N=1000．從圖中可以看出，初始時刻，系統(tǒng)處于自旋壓縮態(tài)，隨著時間的演化，η從0開始變成一個大于0的正數(shù)，說明系統(tǒng)在單軸扭曲哈密頓量的作用從一個自旋壓縮態(tài)演變成一個糾纏態(tài)，并且線性相互作用越強(qiáng)，系統(tǒng)演化成糾纏態(tài)的速度就越快，η的值就越小，即較弱的線性相互作用能產(chǎn)生糾纏程度更高的糾纏態(tài)，從圖中還可以看出，除了少數(shù)特殊情況，壓縮參數(shù)總是大于0，即系統(tǒng)大多數(shù)情況下都是糾纏的，此外，η隨ωt作周期變化，線性相互作用越強(qiáng)，系統(tǒng)隨ωt演化就越快，其周期也就越小．圖2畫出了對于總粒子數(shù)不同的量子系統(tǒng)，壓縮參數(shù)隨ωt變化的關(guān)系，可以看出，粒子數(shù)越大，系統(tǒng)演化成糾纏態(tài)的速度越慢，產(chǎn)生的糾纏態(tài)其糾纏程度也越高．因此，對于單軸扭曲哈密頓模型，可以通過增加系統(tǒng)的粒子數(shù)和適當(dāng)減弱線性相互作用強(qiáng)度提高系統(tǒng)的糾纏程度．

圖1 不同Ω情況下，η隨χt變化的關(guān)系,其中N=1000Fig.1 η versusχt for various Ω with N=1000

圖2 不同N情況下,η隨χt變化的關(guān)系，其中Ω=20χFig.2 η versusχt for various N with Ω=20χ

在Vidal定義的壓縮參數(shù)中，可以將k取為z方向，l取為平均自旋方向x，與這兩個方向相互垂直的方向則定為m方向，在這個方向上，自旋漲落具有最大值.通過計算可以將壓縮參數(shù)寫成

(13)

其中

(14)

(15)

從上式可以看出，壓縮參數(shù)ξ同樣依賴于N，χ，Ω，t幾個參數(shù)．圖3和圖4畫出了參數(shù)ξ隨ωt變化的關(guān)系．從圖中可以得出與圖1和圖2相類似的結(jié)果．因此，可以通過適當(dāng)減小線性相互作用強(qiáng)度和增多系統(tǒng)的總粒子數(shù)來產(chǎn)生糾纏程度更高的量子糾纏態(tài)．

圖3 不同Ω情況下，ξ隨χt變化的關(guān)系,其中N=1000Fig.3 ξ versusχt for various Ω with N=1000

圖4 不同N情況下,ξ隨χt變化的關(guān)系,其中Ω=20χ.Fig.4 ξ versusχt for various N with Ω=20χ.

小 結(jié)

利用新近提出的兩種壓縮參數(shù)研究單軸扭曲哈密頓量系統(tǒng)中的量子糾纏．利用冷凍自旋近似得到了角動量算符的含時解析解，通過解析求解和數(shù)字計算兩種壓縮參數(shù)，可以看出，壓縮參數(shù)的大小由系統(tǒng)的總粒子數(shù)，非線性相互作用強(qiáng)度，線性相互作用強(qiáng)度和演化時間決定，通過增加系統(tǒng)的粒子數(shù)和適當(dāng)減弱線性相互作用強(qiáng)度可以提高系統(tǒng)的糾纏程度．

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Quantum entanglement in one-axis twisting Hamiltonian system

LI Songsong

(Department of Physics，Nanchang Normal University，Nanchang 330032，China)

We investigate quantum entanglement in one-axis twisting Hamiltonian system with two squeezing parameters．By analytical and numerical calculation,we see that one may enhance the entangled degree of the system by adding the total number of particles and appropriately decreasing the strength of the nonlinear interaction．

quantum entanglement;one-axis twisting Hamiltonian;squeezing parameter

1672-7010(2016)02-0016-05

2016-02-26

國家自然科學(xué)基金資助項目(31460055)；江西省自然科學(xué)基金資助項目(2015ZBAB201011)；江西省教育廳科技項目(GJJ151251)；南昌師范學(xué)院重點學(xué)科資助項目(NSXK2014001)

李嵩松(1972-)，男，江西豐城人，博士，副教授，主要從事量子信息研究；E-mail:mphysics@163.com

O413.1

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