劉少剛, 程千駒, 趙丹, 馮立鋒

(哈爾濱工程大學(xué) 機電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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分段線性壓電能量收集器機電耦合建模

劉少剛, 程千駒, 趙丹, 馮立鋒

(哈爾濱工程大學(xué) 機電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

為了減小現(xiàn)有分段線性壓電能量收集器的純機械模型理論值與實驗值之間的誤差，提出了裝置的機電耦合模型，基于該模型給出了裝置發(fā)電電壓的幅頻響應(yīng)關(guān)系式，通過加工實驗裝置及搭建實驗平臺得到分段線性壓電能量收集器發(fā)電性能實驗結(jié)果。實驗值與純機械模型理論值、機電耦合模型理論值的對比表明：所提出的機電耦合模型相對于純機械模型能夠有效減小理論值與實驗值之間的誤差。在外部激振加速度為2 m/s2,撞擊間距為1 mm條件下，裝置發(fā)電最大電壓值相對誤差由15.81%減小到12.72%，工作頻率寬度的相對誤差由24.42%減小到4.41%。同時，對不同激振加速度及不同撞擊間距的研究表明，所提出機電耦合模型更適用于分段線性壓電能量收集器的進(jìn)一步參數(shù)優(yōu)化研究。

分段線性；機電耦合；振動；壓電；能量收集；頻帶寬度

隨著集成電路技術(shù)的快速發(fā)展，微電子元器件的能量損耗日益減小，同時與之相關(guān)的傳統(tǒng)電池供能所具有的壽命短及更換程序復(fù)雜等缺點，促使人們開始探索利用環(huán)境中無處不在的振動能量為微機電系統(tǒng)供能的方法[1-16]。針對振動能量收集主要有磁電轉(zhuǎn)換[7]、靜電轉(zhuǎn)換[8-10]及壓電轉(zhuǎn)換[11-16]三種轉(zhuǎn)換機制，由于具有結(jié)構(gòu)簡單、能量密度高、壽命長、無電磁干擾等優(yōu)點，基于壓電轉(zhuǎn)換機制的能量收集器受到廣泛關(guān)注。

振動壓電能量收集系統(tǒng)的前期研究主要針對懸臂梁貼附壓電片的線性模型結(jié)構(gòu)，然而隨著研究的深入發(fā)現(xiàn)類似的線性模型結(jié)構(gòu)通常只有較窄的工作頻帶，不適用于環(huán)境中振源常在一個區(qū)間內(nèi)變化的實際情況。于是，大量研究人員開始通過引入磁力、機械力等作為非線性恢復(fù)力拓寬系統(tǒng)發(fā)電頻率[16]。其中一種方法是通過引入撞塊，將懸臂梁振動由線性振動改變?yōu)榉侄尉€性振動以拓展裝置的工作頻帶寬度[7-15]。分段線性結(jié)構(gòu)已被成功引入磁電[7]與靜電[8-10]兩種轉(zhuǎn)換機制中，通過理論與試驗研究表明，分段線性結(jié)構(gòu)能夠有效拓寬能量收集器的頻帶寬度。相對于磁電與靜電兩種轉(zhuǎn)換機制而言，基于壓電轉(zhuǎn)換機制的分段線性能量收集結(jié)構(gòu)的研究仍處于起步階段，不同于線性壓電裝置中的機電耦合模型，分段線性壓電能量收集器仍忽略壓電片外接負(fù)載后產(chǎn)生的反饋于機械振動系統(tǒng)的阻尼，使用純機械模型進(jìn)行研究[12]，而近年來關(guān)于分段線性壓電能量收集器的研究只注重通過實驗探究其寬頻俘能特性，所使用的理論模型仍為多年前提出的純機械模型[13-15]。這造成了理論與實驗值之間常存在較大誤差，同時有悖于目前大多數(shù)壓電結(jié)構(gòu)開展多物理場機電耦合模型研究趨勢。

針對上述問題，本文在考慮壓電片產(chǎn)生的阻尼基礎(chǔ)上，建立分段線性能量收集系統(tǒng)的機電耦合模型，通過加工實驗裝置及搭建實驗平臺得到實驗與理論值對比，驗證了機電耦合模型相對于純機械模型的精度及分段線性裝置拓寬頻帶的能力。

1 機電耦合建模

分段線性壓電能量收集器的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。裝置由一個主懸臂梁和一個撞擊梁組成，主梁上貼附的壓電片作為能量轉(zhuǎn)換部件，主梁頂端作為振動質(zhì)量的質(zhì)量塊與撞擊梁之間有距離為d的撞擊間隙。當(dāng)質(zhì)量塊的振動幅值足夠大時，其每個周期內(nèi)都將與撞擊梁發(fā)生碰撞，系統(tǒng)的振動將從線性狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性振動中一種特殊的分段線性振動狀態(tài)[10]。

圖1 分段線性壓電能量收集器結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Geometric construction of the piecewise-linear piezoelectric energy harvester

圖2 純機械等效集中參數(shù)模型Fig.2 Mechanical spring-mass-damper model

目前，關(guān)于分段線性壓電能量收集器的純機械等效集中參數(shù)模型如圖2所示。圖中，參數(shù)m表示主梁上的振動質(zhì)量，系數(shù)k1、c1分別為主梁的等效剛度和等效阻尼。由于撞擊梁的質(zhì)量相對振動質(zhì)量m，可忽略不計，因此撞擊梁等效為彈性系數(shù)k2及阻尼系數(shù)c2。當(dāng)裝置基座受到諧波信號u0(t)作用時，振動質(zhì)量m振動位移表示為u1(t)。設(shè)y0=u0及y=u1-u0，當(dāng)y的幅值大于間隙距離d時，y的每個周期運動分為兩個階段：第一階段，y值小于間隙距離d時，系統(tǒng)的剛度與阻尼保持為k1及c1不變；第二階段，y值大于間隙距離d時，質(zhì)量塊與撞擊梁將發(fā)生碰撞。由于碰撞所經(jīng)歷時間極其短暫，同時也為了便于對系統(tǒng)的運動過程進(jìn)行建模與求解，可假設(shè)此處碰撞為完全非彈性碰撞[7-9]，即碰撞過程中，質(zhì)量塊將帶動撞擊梁一起運動，系統(tǒng)的剛度與阻尼變?yōu)閗1+k2和c1+c2。圖2對應(yīng)的非線性運動方程為

(1)

式中：u0(t)=Ucos(ωt),U表示激勵信號位移的振幅，ω表示激勵信號頻率，非線性項可以表示為

目前針對該裝置的研究常在計算出方程(1)的位移運動表達(dá)式后，再通過壓電片發(fā)電電壓幅值與運動位移的關(guān)系求出裝置的輸出電壓。該模型完全忽略了裝置結(jié)構(gòu)中壓電片外接負(fù)載后產(chǎn)生的反饋于機械振動系統(tǒng)的阻尼，這與實際情況不符，從而也造成了實驗值與理論值之間較大的誤差。

為了更準(zhǔn)確地研究分段線性壓電能量收集器的發(fā)電及拓寬頻帶的能力，本文提出新的機電耦合等效集中參數(shù)模型如圖3所示。

圖3 機電耦合等效集中參數(shù)模型Fig.3 Electromechanical coupling spring-mass-damper model

其對應(yīng)的非線性運動方程為

(2)

式中的非線性項與方程(1)中相同，式中新出現(xiàn)的參數(shù)v表示負(fù)載電阻RL兩端的電壓值。當(dāng)負(fù)載電阻RL的值無限接近于無限大時，v表示壓電片產(chǎn)生的開路電壓。參數(shù)Cp表示壓電片的電容量，Θ表示系統(tǒng)的電能轉(zhuǎn)換系數(shù)，其值大小與壓電片的壓電常數(shù)d31呈正比。

2 電壓幅頻曲線求解

為了得到分段線性壓電能量收集器輸出電壓的幅頻特性曲線，本文將通過平均法對模型進(jìn)行求解[17]。通過引入新的參數(shù)F表示運動方程中相對于線性項而言對系統(tǒng)的影響可忽略的項包括機械阻尼項，非線性項，外部激勵項及壓電阻尼項，非線性運動方程(2)可轉(zhuǎn)化為

(3)

其中

忽略運動方程(3)中第一式的參數(shù)F，可求得其對應(yīng)派生線性系統(tǒng)的解為

(4)

(5)

(ω-λ)sinθ

(6)

同時，將式(4)中解的形式代入非線性方程(3)中的第一式中可以得到等式：

(ω-λ)cosθ

(7)

(8)

(9)

將系統(tǒng)的解及v的表達(dá)式代入?yún)?shù)F中可以求得φ和φ*的表達(dá)式：

(10)

(11)

同時為了求得參數(shù)φ及φ*在一個完整周期的平均值，需要對非線性部分表達(dá)式f(A,θ)進(jìn)行傅里葉變換。由于表達(dá)式f(A,θ)傅里葉變換式中的高階諧波項相對于一階諧波項而言，大小可忽略不計，f(A,θ)保留一階諧波項的傅里葉表達(dá)式為

(k2cosθ-λc2sinθ)H]

將參數(shù)φ的表達(dá)式(10)代入平均值式(9)中可得到

?-δe(A)A

(12)

新引入的參數(shù)δe(A)表示幅值A(chǔ)的等效衰減系數(shù)，其表達(dá)式為

同理將參數(shù)φ*的表達(dá)式(11)代入平均值式(9)中,可得到

?+λe(A)-ω

(13)

新引入的參數(shù)λe(A)表示系統(tǒng)的等效線性固有頻率，其表達(dá)式為

Uω2sin?=-2λδe(A)A

(14)

Uω2cos?=2λ(λe(A)-ω)A

(15)

由于主梁是在共振區(qū)間內(nèi)振動，等式(14)中的參數(shù)2λ可近似替換為2ω，同時等式(15)中的參數(shù)2λ可近似替換為λe(A)+ω。對方程組兩邊進(jìn)行平方求和，可以得到幅值A(chǔ)相對于激振頻率ω的幅頻響應(yīng)關(guān)系表達(dá)式：

(16)

根據(jù)v定義可以求得電壓v幅值V與位移幅值A(chǔ)的關(guān)系式為

(17)

(18)

3 實驗裝置與實驗測試

3.1 實驗裝置

分段線性壓電能量收集實驗裝置如圖4所示，其中主懸臂梁的尺寸參數(shù)為40 mm×20 mm×0.5 mm，主懸臂梁上等效振動質(zhì)量為9.6 g，撞擊梁的尺寸參數(shù)為55 mm×12 mm×1.5 mm，主懸臂梁與撞擊梁間的間隔距離d分別取0.8 mm,1.0 mm及1.2 mm，主梁上貼附的壓電片參數(shù)由廠家給出，包括等效電容Cp大小為25.7 nF，壓電常數(shù)d31大小為170 pm/V,相對介電常數(shù)ε33大小為1 560。裝置的主梁與撞擊梁均由鋁片加工而成，主梁上貼有一片由Smart Material公司制造的型號為M-2814-P2壓電纖維片作為電能轉(zhuǎn)換部件。主梁頂端處由螺栓組固定幾片鋁制質(zhì)量片與梁一起作為等效振動質(zhì)量。能量收集器實驗裝置的基座分為內(nèi)基座與外基座兩部分，主梁與撞擊梁分別通過螺栓固定于外基座與內(nèi)基座上，內(nèi)外基座之間也由螺栓組連接，內(nèi)基座可以通過調(diào)節(jié)螺栓組帶動撞擊梁上下移動，用以調(diào)整振動質(zhì)量m與撞擊梁間隙距離d。本實驗中，通過調(diào)節(jié)內(nèi)基座，控制間隙距離d分別為0.8 mm，1 mm及1.2 mm以研究撞擊間距對系統(tǒng)輸出電壓影響。

圖4 實驗裝置Fig.4 The experimental prototype

3.2 實驗測試方法

實驗裝置的連接簡圖如圖5所示。實驗裝置固定于型號為JZK-5的電磁激振器上，激振器由型號為DH1301的信號發(fā)生器提供激振信號進(jìn)行振動。通常由信號發(fā)生器產(chǎn)生的激振信號需要通過功率放大器后才能驅(qū)動激振器振動，由于DH1301信號發(fā)生器自帶一個小型功率放大器，因此其產(chǎn)生的信號可直接驅(qū)動激振器工作。通過D1301信號發(fā)生器調(diào)節(jié)激振頻率從40 Hz逐步增大到60 Hz，進(jìn)行掃頻實驗，在掃頻過程中，固定于基座上的加速度測量儀DH151及與其相連接的動態(tài)信號分析儀DH5939D和PC端對激振信號的加速度大小進(jìn)行實時監(jiān)控， 通過反饋控制，保持激振信號的加速度大小在掃頻過程中不變。本實驗中，分別設(shè)定激振加速度值為1.8m/s2，2m/s2及2.2m/s2，來研究外部激振強度變化對系統(tǒng)輸出電壓的影響。系統(tǒng)的輸出電壓由數(shù)字示波器DS5202CA測量，電信號通過外接10MΩ信號探針替代負(fù)載，可近似測量系統(tǒng)的開路輸出電壓值。

圖5 實驗裝置圖Fig.5 The entire experiment setup

4 結(jié)果及討論

分段線性壓電能量收集器及其對應(yīng)的線性能量收集器發(fā)電電壓幅頻曲線的理論計算結(jié)果與實驗結(jié)果如圖6所示。對比線性能量收集器的理論值與實驗值可知得到的共振頻率分別為46.9 Hz、44.9 Hz，兩者之間存在4.26%的誤差，造成誤差的原因主要分兩方面，一方面是由于實驗測量尺寸與計算數(shù)據(jù)存在誤差，另一方面是由于集中參數(shù)模型在計算過程中對實際裝置的簡化。同時線性能量收集器發(fā)電電壓最大理論值與實驗值分別為22.4 V和20.98 V，兩者之間存在6.34%誤差主要是由于壓電片與懸臂梁之間存在粘結(jié)介質(zhì)。

圖6 系統(tǒng)輸出電壓幅頻曲線Fig.6 The voltage amplitude-frequency response curve of the system

由圖6可知，分段線性壓電能量收集器發(fā)電電壓基于純機械模型與機電耦合模型的理論值幅頻曲線與實驗值幅頻曲線都具有相同的變化趨勢。當(dāng)外部激勵頻率逐漸增大時，裝置的發(fā)電電壓幅值先沿著對應(yīng)線性裝置的電壓幅頻曲線軌跡逐漸變大。當(dāng)外部激勵頻率增大到某一點位，使系統(tǒng)振動質(zhì)量m的位移大于其與從動梁之間的距離d時，分段線性裝置的電壓幅值將不同于原線性系統(tǒng)先變大后急劇減小的變化趨勢，而是隨著外部激勵頻率增大呈緩慢上升變化，這一上升變化持續(xù)到當(dāng)外部激振頻率增加到某一點位結(jié)束。此時電壓幅值發(fā)生跳躍現(xiàn)象，直接由高點位值急劇下降至線性系統(tǒng)對應(yīng)的低點位值，之后再次沿著線性系統(tǒng)電壓幅頻曲線減小。對比幅頻曲線變化可以清楚的觀察到，相對于線性系統(tǒng)，分段線性裝置能夠在較寬的頻率范圍內(nèi)輸出較大的電壓幅值。

雖然圖6中實驗值曲線與兩種模型理論曲線的變化趨勢相同，但是各幅頻曲線的最大電壓值與工作頻率寬度值并不完全相同。實驗曲線、機電耦合模型曲線與純機械模型曲線對應(yīng)的最大電壓值分別為16.67 V、19.1 V及19.8 V，可以計算得出，實驗結(jié)果與機電耦合模型和純機械模型理論結(jié)果在最大電壓值上的相對誤差分別為12.72%和15.81%，顯而易見，相對于純機械模型，機電耦合模型能夠求得更準(zhǔn)確的最大電壓值。分析最大電壓值誤差的減小，主要是機電耦合模型考慮了壓電片外接負(fù)載后產(chǎn)生的反饋于機械振動系統(tǒng)的阻尼，而在實際實驗過程中，壓電片產(chǎn)生的阻尼確實降低了振動能轉(zhuǎn)化為電能的效率。另外，對比線性能量收集器與分段線性能量收集器的輸出電壓峰值的理論值與實驗值誤差可發(fā)現(xiàn)，線性系統(tǒng)的誤差由6.34%擴大到分段線性的12.27%和15.81%。分析可知，分段線性能量收集器除了壓電片與懸臂梁之間存在粘結(jié)介質(zhì)造成的能量損失外，質(zhì)量塊與撞擊梁之間碰撞也造成了能量損失，但在對分段線性系統(tǒng)建模時，對質(zhì)量塊與撞擊梁之間碰撞所作假設(shè)忽略了碰撞所造成的損失，從而造成此處的輸出電壓峰理論值與實驗值誤差增加。

圖6中實驗曲線、機電耦合模型曲線與純機械模型曲線對應(yīng)工作頻率寬度分別為6.5 Hz、6.8 Hz與8.6 Hz，工作頻率寬度的相對誤差分別為4.41%和24.42%，由此可知機電耦合模型能夠求得的頻率拓寬值誤差較小。分析其減小的原因，需要結(jié)合最大電壓值誤差的減小與分段線性能量收集器的性質(zhì)。在對分段線性能量收集器的研究中，研究人員已得出外部激振加速度的減小能夠降低裝置的發(fā)電最大電壓，從而使裝置工作頻率寬度減小[9-10]，相對于純機械模型而言，機電耦合模型能夠求得更接近與實驗的發(fā)電電壓值，即求得較小的發(fā)電電壓最大值，因此，相對應(yīng)的工作頻率寬度自然減小，從而更接近實驗工作頻率寬度。

保持與圖6相同的實驗參數(shù)不變，僅改變質(zhì)量塊與撞擊梁之間的間隙，研究其對系統(tǒng)輸出電壓的影響，所得理論與實驗的電壓幅頻曲線如圖7所示。當(dāng)撞擊間距分別為0.8 mm、1 mm及1.2 mm時，對應(yīng)系統(tǒng)輸出電壓幅頻曲線峰值的實驗值分別為14.92 V、16.72 V及18.49 V，對應(yīng)頻帶寬度分別為12.4 Hz、6.5 Hz及2.3 Hz。理論值與實驗值均表明，減小質(zhì)量塊與撞擊梁之間的距離，有助于增大系統(tǒng)的工作頻率寬度，但在一定程度上減小了系統(tǒng)輸出電壓值。同樣由圖7可知，撞擊間距為0.8 mm時，實驗結(jié)果與機電耦合模型和純機械模型在峰值電壓值上的相對誤差分別為12.29%和14.35%，工作頻率寬度的相對誤差分別為3.88%和15.65%。撞擊間距為1.2 mm時，實驗結(jié)果與機電耦合模型和純機械模型在峰值電壓值上的相對誤差分別為13.23%和16.25%，工作頻率寬度的相對誤差分別為11.54%和37.84%。這表明，在不同的撞擊間距下，相對于純機械模型，本文所提出的機電耦合模型均能求得更準(zhǔn)確的電壓值與頻率值。

圖7 系統(tǒng)在不同間隙距離下的輸出電壓幅頻曲線Fig.7 The voltage amplitude-frequency response curves of the system with different gap distance

圖8 系統(tǒng)在不同激振加速度下的輸出電壓幅頻曲線Fig.8 The voltage amplitude-frequency response curves of the system with different excitation acceleration

同樣，保持與圖6相同的實驗參數(shù)不變，僅改外部激振加速度大小，研究其對系統(tǒng)輸出電壓的影響，所得理論與實驗的電壓幅頻曲線如圖8所示。當(dāng)外部激振加速度分別為1.8 m/s2、2 m/s2及2.2 m/s2時，對應(yīng)系統(tǒng)輸出電壓幅頻曲線峰值的實驗值分別為15.58 V、16.72 V及18.15 V，對應(yīng)頻帶寬度分別為2.9 Hz、6.5 Hz及10.4 Hz。理論值與實驗值均表明，增大外部激振加速度，有助于增大系統(tǒng)的工作頻率寬度及輸出電壓值。由圖8可知，外部激振加速度為1.8 m/s2時，實驗結(jié)果與機電耦合模型和純機械模型在峰值電壓值上的相對誤差分別為12.42%和16.24%，工作頻率寬度的相對誤差分別為9.38%和34.09%。外部激振加速度為2.2 m/s2時，實驗結(jié)果與機電耦合模型和純機械模型在峰值電壓值上的相對誤差分別為10.59%和13.98%，工作頻率寬度的相對誤差分別為3.70%和15.45%。這表明，在不同的外部激振加速度下，相對于純機械模型，本文所提出的機電耦合模型同樣能減小純機械模型的理論誤差。

5 結(jié)論

針對現(xiàn)有分段線性壓電能量收集器的純機械模型理論值與實驗值存在較大誤差，本文提出了該裝置的機電耦合模型，基于平均法給出了裝置發(fā)電電壓的幅頻響應(yīng)關(guān)系式，通過加工實驗裝置和搭建實驗平臺得到裝置能量收集性能的實驗值，通過對比實驗值、純機械模型與機電耦合模型理論值可知：

1)相對于線性能量收集系統(tǒng)，分段線性能量收集器能夠有效拓寬工作頻率寬度；

2)減小撞擊間距，增大外部激振加速度均能增大系統(tǒng)的工作頻帶寬度；

3)針對不同的撞擊間距及外部激振加速度，分段線性壓電能量收集器的機電耦合模型均能夠有效減小理論值與實驗值之間的誤差，因此，機電耦合模型更適用于裝置的進(jìn)一步參數(shù)優(yōu)化研究。

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Electromechanical coupling modeling research on the piecewise-linear piezoelectric energy harvester

LIU Shaogang, CHENG Qianju, ZHAO Dan, FENG Lifeng

(College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

In this study, we propose an electromechanical coupling model to reduce the errors between the theoretical and experiment values of the pure mechanical model of the present piecewise-linear piezoelectric energy harvester. The amplitude-frequency response equation of voltage is provided on the basis of the electromechanical coupling model. The experiment results on the generating performance of the piecewise-linear piezoelectric energy harvester are obtained by processing the experimental unit and constructing the experiment platform. The comparison between the experimental and theoretical values of the pure mechanical model and the theoretical value of the electromechanical coupling model shows that the electromechanical coupling model can effectively reduce the errors between the experimental and theoretical values in comparison with the pure mechanical model. The relative errors of the voltage peak value decreased from 15.8% to 12.72% with an external excitation acceleration of 2 m/s2and the impact distance of 1 mm. Accordingly, the relative errors of the frequency bandwidth reduced from 24.42% to 4.41%. Moreover, the investigations on different excitation accelerations and strike intervals show that the proposed electromechanical coupling model is more applicable to further research on the parameter optimization of the piecewise-linear piezoelectric energy harvester.

piecewise-linear; electromechanical coupling; vibration; piezoelectric; energy harvesting; frequency bandwidth

2015-11-16.

日期：2016-09-28.

國防技術(shù)基礎(chǔ)科研項目(Z192013B001).

劉少剛(1962-)， 男，教授，博士生導(dǎo)師，博士.

劉少剛，E-mail: liushaogang@hrbeu.edu.cn.

10.11990/jheu.201511034

TB123;TN384;O322

A

1006-7043(2016) 11-1573-07

劉少剛, 程千駒, 趙丹, 等. 分段線性壓電能量收集器機電耦合建模[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報, 2016, 37(11): 1573-1579. LIU Shaogang, CHENG Qianju, ZHAO Dan, et al. Electromechanical coupling modeling research on the piecewise-linear piezoelectric energy harvester[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(11): 1573-1579.

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