李志彬,劉宏立,馬子驥,李艷福,肖小兵

(湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

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·信息科學(xué)·

斜率匹配波形延拓法抑制EMD端點(diǎn)效應(yīng)

李志彬,劉宏立,馬子驥,李艷福,肖小兵

(湖南大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

提出一種抑制EMD端點(diǎn)效應(yīng)的新方法——斜率匹配波形延拓法。該方法充分考慮了信號(hào)邊緣處的變化趨勢(shì)以及信號(hào)的內(nèi)部特征,以信號(hào)端點(diǎn)處曲線的斜率作為參考,從信號(hào)內(nèi)部尋找斜率最接近的子波進(jìn)行匹配,根據(jù)匹配子波及其前后波形對(duì)信號(hào)端點(diǎn)進(jìn)行波形延拓。仿真和實(shí)測(cè)信號(hào)的分析結(jié)果表明,該方法能夠有效地抑制端點(diǎn)效應(yīng)。關(guān) 鍵 詞：經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解;端點(diǎn)效應(yīng);斜率匹配;波形延拓

1998年,由Huang等人[1]提出的Hilbert-Huang變換(HHT)是一種信號(hào)時(shí)頻分析新方法。該方法通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical mode decomposition,EMD)，將信號(hào)分解為多個(gè)本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic mode function,IMF),對(duì)這些IMF分量進(jìn)行Hilbert變換就可以得到Hilbert譜。EMD分解是基于信號(hào)本身的自適應(yīng)分解,得到的IMF分量包含了信號(hào)真實(shí)的物理信息,其Hilbert譜反映出了信號(hào)的瞬時(shí)特征。HHT具有良好的時(shí)頻分辨率,在故障診斷和信號(hào)分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[2-3]。

EMD分解過(guò)程中,一個(gè)重要的過(guò)程就是構(gòu)造信號(hào)的上下包絡(luò)線,求出信號(hào)的瞬時(shí)平均值。通過(guò)提取信號(hào)的極大值和極小值點(diǎn),分別進(jìn)行三次樣條插值擬合來(lái)求得信號(hào)的包絡(luò)線是目前主要的處理方法。由于無(wú)法確定信號(hào)的端點(diǎn)是否為極值點(diǎn),在進(jìn)行三次樣條插值擬合的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)邊界擺動(dòng)較大的情況,并且隨著EMD的分解過(guò)程逐漸擴(kuò)散到信號(hào)內(nèi)部,最終破壞整個(gè)數(shù)據(jù),造成分解結(jié)果嚴(yán)重失真。這就是EMD存在的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題。

目前,已有多種端點(diǎn)延拓方法被提出,根據(jù)改進(jìn)原理,可分為極值延拓、數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)延拓和波形延拓。極值延拓是根據(jù)信號(hào)端點(diǎn)附近極值點(diǎn)的大小和位置,在數(shù)據(jù)兩端向外各延拓一定數(shù)量的極值點(diǎn),此類(lèi)方法有多項(xiàng)式擬合延拓法[4]、邊界局部特征尺度延拓法[5]、極值延拓法[6]、極值斜率延拓法[7]、最小二乘-鏡像延拓法[8]和極值平移法[9]等。極值延拓的算法相對(duì)簡(jiǎn)單,對(duì)抑制端點(diǎn)效應(yīng)有一定效果。但是，僅以端點(diǎn)附近的極值作為延拓依據(jù),并不能真實(shí)地反映數(shù)據(jù)本身的變化趨勢(shì)。數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)延拓的基本思路是利用信號(hào)本身的特征,采用數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)的方法來(lái)向外延拓?cái)?shù)據(jù)。此類(lèi)方法有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[10]、鏡像與支持向量機(jī)回歸延拓法[11]等。數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)延拓得到的結(jié)果比較準(zhǔn)確,但算法相對(duì)復(fù)雜,計(jì)算效率低。波形延拓,是以信號(hào)內(nèi)部的波形特征為依據(jù),尋找合適的特征波在信號(hào)兩端加以延拓。此類(lèi)方法有邊界局部特征尺度延拓法、極值延拓法和最小二乘-鏡像延拓法等[4-9]。波形延拓得到的數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)有較好的一致性,但不同延拓方法對(duì)數(shù)據(jù)的選擇標(biāo)準(zhǔn)也有很大的不同,效果也不一樣。

本文分析了EMD方法和端點(diǎn)效應(yīng),對(duì)比總結(jié)了現(xiàn)有的抑制端點(diǎn)效應(yīng)的方法,針對(duì)端點(diǎn)問(wèn)題,從信號(hào)邊緣的曲線走勢(shì)和信號(hào)內(nèi)部的波形特性入手,提出了基于斜率匹配的波形延拓法。通過(guò)仿真和實(shí)測(cè)信號(hào)的分析,與其他延拓方法進(jìn)行了對(duì)比,驗(yàn)證了本文方法能有效抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

1 EMD和端點(diǎn)效應(yīng)

1.1 EMD方法簡(jiǎn)介

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)是把一個(gè)信號(hào)分解為若干個(gè)本征模態(tài)函數(shù)(IMF)分量之和,但每個(gè)IMF分量都必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件,即信號(hào)的極值點(diǎn)與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等或只差一個(gè),并且根據(jù)信號(hào)的極大值和極小值得到的上下包絡(luò)線,其均值為零。EMD分解就是將滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的信號(hào)分量篩選出來(lái)。設(shè)原信號(hào)為x(t),具體步驟如下:

1)求出信號(hào)x(t)的所有極大值和極小值。

2)用三次樣條插值函數(shù)分別擬合x(chóng)(t)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),求出x(t)的上下包絡(luò)線。

3)求出上下包絡(luò)線的均值m11(t)，作為x(t)的局部均值,令h11(t)=x(t)-m11(t)，把h11(t)當(dāng)作原信號(hào)x(t),循環(huán)前面3步k次,得到h1,k。當(dāng)h1,k滿(mǎn)足IMF條件時(shí),則其為x(t)的第一個(gè)IMF分量,記為c1=h1,k。

4)從原信號(hào)中減去3)中求得的IMF分量,把所得的余量信號(hào)當(dāng)作原信號(hào),循環(huán)前面4個(gè)步驟,求出其他IMF分量,即r1(t)=x(t)-c1,x(t)=r1(t)。

5)當(dāng)rn(t)成為單調(diào)函數(shù)或小于某一預(yù)設(shè)值時(shí),則原信號(hào)的EMD分解完成，分解表達(dá)式為

(1)

其中，x(t)為原信號(hào),ci(t)為本征模態(tài)函數(shù),rn(t)為殘余分量。

至此,原信號(hào)被分解為若干本征模態(tài)函數(shù)和一個(gè)殘余分量之和，如式(1)所示。EMD分解是一種自適應(yīng)的分解方式,由數(shù)據(jù)本身出發(fā),將原信號(hào)分解為各種不同特征波形的疊加,每個(gè)IMF分量即代表一組具有特征尺度的數(shù)據(jù)序列。

1.2 端點(diǎn)效應(yīng)

在EMD分解過(guò)程中,需要對(duì)信號(hào)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別進(jìn)行三次樣條插值擬合來(lái)構(gòu)造上下包絡(luò)線。而信號(hào)端點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn),所以在進(jìn)行三次樣條插值擬合時(shí)容易在端點(diǎn)處出現(xiàn)較大擺動(dòng),并會(huì)伴隨著分解過(guò)程逐步向信號(hào)內(nèi)部擴(kuò)散,最后造成分解得到的信號(hào)分量嚴(yán)重失真。

引用文獻(xiàn)[14]中的仿真信號(hào)如式(2)所示，圖1中實(shí)線為該信號(hào)原始波形,兩條虛線分別為該信號(hào)的上下包絡(luò)線。從圖1中可以看出,由于EMD的端點(diǎn)效應(yīng),在擬合過(guò)程中信號(hào)的包絡(luò)線在數(shù)據(jù)兩端出現(xiàn)了嚴(yán)重的發(fā)散,上下包絡(luò)線不能包含全部數(shù)據(jù),由此求得的信號(hào)瞬時(shí)平均值出現(xiàn)誤差,導(dǎo)致分解結(jié)果嚴(yán)重失真。由此可見(jiàn),在進(jìn)行EMD分解之前對(duì)信號(hào)進(jìn)行端點(diǎn)處理是很有必要的。

圖1 信號(hào)及其上下包絡(luò)Fig.1 Signal and its up and down envelope

(2)

2 斜率匹配波形延拓法

對(duì)端點(diǎn)處的數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓,關(guān)鍵就是要確定原始數(shù)據(jù)在端點(diǎn)處的變化趨勢(shì),因此端點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)是非常重要的參考。對(duì)于一個(gè)單調(diào)的曲線,其兩端連線的斜率可以大致反映該曲線的走勢(shì),取信號(hào)端點(diǎn)和第一個(gè)極值點(diǎn)這兩點(diǎn)間連線的斜率,可作為信號(hào)端點(diǎn)處變化的參考趨勢(shì)。在原始信號(hào)的內(nèi)部,以同類(lèi)極值點(diǎn)為基準(zhǔn),取同方向且等長(zhǎng)的一段單調(diào)曲線進(jìn)行對(duì)比,找到與端點(diǎn)處的參考斜率最為接近的子波作為匹配到的波形,取該段子波前(后)端的一段數(shù)據(jù)對(duì)信號(hào)端點(diǎn)進(jìn)行延拓,達(dá)到抑制端點(diǎn)效應(yīng)的目的。基于此提出斜率匹配波形延拓法。

圖2是基于斜率匹配波形延拓法的過(guò)程，以信號(hào)左邊第一個(gè)極值點(diǎn)是極大值為例,S1，M1和N1分別為信號(hào)的左端點(diǎn)、第一個(gè)極大值點(diǎn)和第一個(gè)極小值點(diǎn)。如圖2(a)所示，當(dāng)S1-M1這段曲線足夠長(zhǎng)，即其包含的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)大于某個(gè)閾值tl時(shí)，則將其作為參考曲線；如圖2(b)所示，當(dāng)S1-M1這段曲線包含的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)小于閾值tl時(shí)，則其取M1-N1這段曲線的一半,即M1-Z1作為參考曲線。取M1-Z1是考慮到它既包含了原信號(hào)的趨勢(shì),又能增加匹配到斜率最接近子波的概率。利用參考曲線的斜率,從信號(hào)內(nèi)部尋找匹配波形并取其前一段包含兩個(gè)極大值和兩個(gè)極小值的波形,將其延拓到S1左端。考慮到三次樣條插值過(guò)程中需要用到前后各兩個(gè)臨近點(diǎn)[4],延拓兩對(duì)極值點(diǎn)效果較好。下面以左端延拓為例,詳細(xì)步驟如下:

1)求極值。設(shè)原始信號(hào)為x(t),求出所有極大值和極小值,設(shè)Emax為極大值合集,Emin為極小值合集,不妨設(shè)第一個(gè)極值點(diǎn)為極大值點(diǎn)M1。

2)提取參考曲線。計(jì)算S1-M1包含的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)length(S1-M1)，tl表示閾值，若length(S1-M1)>tl,則取S1-M1作為參考曲線;若length(S1-M1)≤tl,則取M1-Z1作為參考曲線，計(jì)算參考曲線的斜率,記為k1。

3)求匹配子波斜率。依次從Emax中取出極大值點(diǎn)Mi,從Mi開(kāi)始截取一段與參考曲線同方向且等長(zhǎng)的子波,即Si-Mi或Mi-Zi。待匹配子波必須是單調(diào)曲線,否則直接判斷該段子波不匹配。計(jì)算出此段子波的斜率,記為ki。求出所有匹配子波的斜率,記為集合{ki},i=2,3,…。

4)波形延拓。令kx=min(abs(k1-ki)),則第x段子波的斜率匹配成功。取Mx-2-Sx(不含Sx),將其延拓到S1左端。如果Sx左端只有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),則將這對(duì)極值點(diǎn)延拓兩次,左端延拓完畢，否則轉(zhuǎn)(5)。

5)沒(méi)找到斜率匹配的子波,則參考信號(hào)邊緣的極值點(diǎn)直接進(jìn)行延拓。取信號(hào)左端兩個(gè)極大值的平均值作為左端點(diǎn)的極大值,即M-1=M0=(M1+M2)/2;由于第一個(gè)極值點(diǎn)是極大值點(diǎn),左端點(diǎn)可能比極小值還小,為了保證信號(hào)的包絡(luò)線能完全覆蓋信號(hào),取信號(hào)左端兩個(gè)極小值的平均值和信號(hào)左端點(diǎn)二者中較小的一個(gè)作為左端延拓的極小值,即N-1=N0=min(X(1),(N1+N2)/2)，左端延拓完畢。第一個(gè)極值點(diǎn)是極小值點(diǎn)的情況類(lèi)似。

右端延拓方法和左端類(lèi)似。在實(shí)驗(yàn)中,閾值tl取3的效果較好,在工程應(yīng)用中可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整,tl取越大,越趨向于取到第二段曲線來(lái)進(jìn)行斜率匹配。

圖2 基于斜率匹配的波形延拓法Fig.2 The border slope matching process

3 仿真信號(hào)分析

為了方便分析比較,引用文獻(xiàn)[17]中的調(diào)頻調(diào)幅非線性仿真信號(hào),其表達(dá)式為

x(t)= sin(2π120t)+

(1+0.2sin(2π7.5t))×

cos(2π30t+0.5sin(2π15t))。

(3)

式中采樣頻率為1 000Hz,采樣點(diǎn)數(shù)為250點(diǎn),原信號(hào)及其組成分量的波形如圖3所示。

圖4是式(3)中的信號(hào)沒(méi)有進(jìn)行端點(diǎn)處理直接進(jìn)行EMD分解的對(duì)比圖,上圖和中圖的實(shí)線是分解得到的IMF分量,虛線是原信號(hào)分量。下圖是兩個(gè)IMF分量和對(duì)應(yīng)原信號(hào)分量的絕對(duì)誤差?？梢钥闯?沒(méi)有進(jìn)行端點(diǎn)處理得到的IMF分量,在數(shù)據(jù)兩端出現(xiàn)了大幅度擺動(dòng),相比原信號(hào)分量已經(jīng)有較大誤差。

圖4 無(wú)延拓的EMD分解結(jié)果和誤差Fig.4 No extension of EMD decomposition results and error

圖5是用斜率匹配波形延拓法處理之后的EMD分解結(jié)果與原信號(hào)進(jìn)行對(duì)比。相比之前沒(méi)有延拓直接分解的情況,延拓后的分解結(jié)果,其IMF分量在端點(diǎn)附近的擺動(dòng)大幅度減小,與原信號(hào)分量相比也基本吻合,誤差很小,說(shuō)明本文方法對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)有很好的抑制作用。

圖5 斜率匹配法EMD分解結(jié)果和誤差Fig.5 The EMD decomposition of slope matching and error

為了評(píng)價(jià)抑制效果的好壞,參考文獻(xiàn)[18-19]，采用以下兩個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)端點(diǎn)效應(yīng)的處理效果:

1)EMD分解所得的各個(gè)IMF分量和對(duì)應(yīng)原信號(hào)分量之間的相似系數(shù)ρ,通過(guò)與原信號(hào)分量比較相似度來(lái)評(píng)價(jià)抑制效果，

ρi(xi(t),IMFi(t))=

(4)

式中，cov()表示協(xié)方差;σ()表示方差;IMFi表示信號(hào)EMD分解的第i個(gè)分量;xi為相應(yīng)的原始信號(hào)分量。ρ的值越接近于1,則說(shuō)明端點(diǎn)效應(yīng)的抑制效果越好。

2)EMD分解所得的各個(gè)IMF分量和對(duì)應(yīng)原信號(hào)分量之間的平均誤差為

error_IMFi=

(5)

式中，N表示信號(hào)的總個(gè)數(shù);xi(k)表示原信號(hào)的第i個(gè)分量;IMFi(k)表示EMD分解后得到的對(duì)應(yīng)分量。error_IMFi越接近于0,則說(shuō)明端點(diǎn)效應(yīng)的抑制效果越好。

采用前文提到的其他延拓方法分別對(duì)式(3)進(jìn)行端點(diǎn)延拓和EMD分解,計(jì)算出各自的評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比分析,對(duì)比結(jié)果如表1所示。

表1 端點(diǎn)效應(yīng)抑制效果評(píng)價(jià)表

由表1中的參數(shù)可以看出,波形匹配延拓法對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)的抑制效果最好,其次是斜率匹配波形延拓法和極值延拓法,這3種方法得到的相似系數(shù)相對(duì)較大,分解誤差較小,能夠有效地抑制端點(diǎn)效應(yīng)。最小二乘-鏡像延拓法、鏡像延拓法和邊界局部特征尺度延拓法對(duì)本例的處理效果并不是很理想,相似系數(shù)不高,分解誤差相對(duì)較大,如果要在實(shí)際工程中應(yīng)用還需要加以改進(jìn)。

4 實(shí)際信號(hào)分析

對(duì)于現(xiàn)實(shí)中的非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào),使用本方法進(jìn)行延拓也能有效地抑制端點(diǎn)效應(yīng)。圖6(a)是一段電力線載波信號(hào),數(shù)據(jù)來(lái)源于湖南大學(xué)13舍實(shí)驗(yàn)樓七樓配電箱A相的一段測(cè)量記錄,使用的示波器型號(hào)為T(mén)ektronix-DPO3034,采樣頻率為250kHz。電力線載波信號(hào)[20]中存在各種電力噪聲,是一種非平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào),對(duì)該信號(hào)使用本文方法進(jìn)行端點(diǎn)延拓和EMD分解,得到的結(jié)果如圖6(b)所示,而圖6(c)則是無(wú)端點(diǎn)延拓直接進(jìn)行EMD分解的結(jié)果。

對(duì)比圖6(b)和圖6(c)可以看出,沒(méi)有進(jìn)行端點(diǎn)處理的EMD分解得到了一些沒(méi)有意義的分量,信號(hào)的發(fā)散現(xiàn)象嚴(yán)重,部分IMF分量的幅值還超過(guò)了原信號(hào)數(shù)倍。而采用了基于斜率匹配波形延拓法的EMD分解結(jié)果則很好地抑制了端點(diǎn)效應(yīng),成功將信號(hào)分解成從高頻到低頻的多個(gè)IMF分量。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性,采用前文提到的其他延拓方法對(duì)該信號(hào)進(jìn)行端點(diǎn)延拓和EMD分解。由于端點(diǎn)效應(yīng)對(duì)高頻IMF分量的影響不明顯,為了便于比較,只取分解結(jié)果的最后4個(gè)IMF分量進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖7所示。

圖6 電力線載波信號(hào)EMD分解Fig.6 Power line carrier signal EMD decomposition

從6種延拓方法的分解結(jié)果對(duì)比可以看出,斜率匹配波形延拓法、鏡像延拓法、最小二乘-鏡像延拓法和自適應(yīng)波形匹配延拓法都得到了比較理想的分解波形,較好地抑制了端點(diǎn)效應(yīng)的產(chǎn)生;而極值延拓法等其他幾種方法的分解效果并不理想,比較明顯的是出現(xiàn)了部分IMF分量的幅值超過(guò)原信號(hào)數(shù)倍的情況,可見(jiàn)端點(diǎn)問(wèn)題已經(jīng)影響到了信號(hào)內(nèi)部,分解結(jié)果已經(jīng)失真。表2列出了幾種延拓方法EMD分解所用時(shí)間，從表2可以看出,本文方法所用的時(shí)間最少,算法效率相對(duì)較高。

綜合分析3類(lèi)延拓法,極值延拓法只關(guān)注信號(hào)邊緣附近的極值點(diǎn),沒(méi)有考慮信號(hào)內(nèi)部的特性,實(shí)際應(yīng)用中計(jì)算精度較低,適應(yīng)性較差;諸如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)法的算法復(fù)雜,計(jì)算效率較低,實(shí)際工程應(yīng)用很少,因此本文沒(méi)做比較;波形延拓法在考慮了原始信號(hào)的特征趨勢(shì)后對(duì)數(shù)據(jù)加以延拓,對(duì)于抑制端點(diǎn)效應(yīng)的效果較好。通過(guò)仿真和實(shí)測(cè)信號(hào)分析,斜率匹配波形延拓法在保證EMD分解結(jié)果正確的同時(shí),能節(jié)省更多時(shí)間和資源,計(jì)算精度和效率較高,適應(yīng)性強(qiáng),優(yōu)于其他方法。

圖7 不同方法的電力線載波信號(hào)EMD部分分解結(jié)果Fig.7 Part of the power line carrier signal EMD decomposition with different methods

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于斜率匹配波形延拓法的抑制EMD端點(diǎn)效應(yīng)的方法。通過(guò)計(jì)算信號(hào)端點(diǎn)處曲線的斜率作為信號(hào)端點(diǎn)的趨勢(shì),從信號(hào)內(nèi)部找到斜率最為接近的子波作為匹配波形,通過(guò)該子波對(duì)信號(hào)端點(diǎn)進(jìn)行波形延拓,有效抑制了三次樣條插值擬合時(shí)出現(xiàn)的發(fā)散問(wèn)題。同時(shí),本方法充分考慮了數(shù)據(jù)邊緣處的發(fā)展趨勢(shì)及其與數(shù)據(jù)內(nèi)部存在的聯(lián)系,從而最大限度地保證延拓后的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)具有最接近的趨勢(shì)。不論是仿真信號(hào)還是實(shí)際信號(hào),通過(guò)斜率匹配延拓后的波形都能得到較好的EMD分解結(jié)果,計(jì)算效率和效果也優(yōu)于其他延拓方法,符合工程應(yīng)用的要求。

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(編 輯 李 靜)

Slope matching waveform extension method suppressing the EMD end effect

LI Zhibin, LIU Hongli, MA Ziji, LI Yanfu, XIAO Xiaobing

(College of Electrical and Information Engineering, Hunan University, Changsha 410082， China)

A new method is proposed to inhibit the end effect——slope matching wave extension method. The method takes the endpoint slope of signal as reference and finds the closest matching wavelet from the signal, then it extends the wave of signal endpoint according to the matching wavelet. Analysis of the simulation signal and measured signal showed that the method can effectively inhibit the end effect.

EMD; end effect; slope matching; wave extension

2016-03-11

中央國(guó)有資本經(jīng)營(yíng)預(yù)算項(xiàng)目(財(cái)企[2013]470號(hào))；中央高?；究蒲谢鹳Y助項(xiàng)目(2014-004)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61172089)

李志彬，男，福建漳州人，從事數(shù)字信號(hào)處理研究。

TN911.7

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-05-010