王 昊

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

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·數(shù)理科學(xué)·

Dullin-Gottwald-Holm淺水波系統(tǒng)中具橢圓對(duì)稱的自相似解

王 昊

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127)

運(yùn)用橢圓對(duì)稱和分離變量法研究了二分量Dullin-Gottwald-Holm淺水波系統(tǒng),得到了具有橢圓對(duì)稱和drift結(jié)構(gòu)的自相似解以及一般形式的自相似解。通過構(gòu)造Emden方程,研究了解的全局存在性以及有限時(shí)間的爆破現(xiàn)象。

DGH淺水波系統(tǒng);橢圓對(duì)稱;分離變量法;自相似解

在數(shù)學(xué)物理研究中,精確解的構(gòu)造可以有效幫助刻畫系統(tǒng)的一些非線性現(xiàn)象。1993年,Makino用分離變量法得到了Euler方程和Navier-Stokes方程的徑向?qū)ΨQ解[1]。在徑向?qū)ΨQ中,所有流體粒子的速度方向均指向或遠(yuǎn)離原點(diǎn)且距原點(diǎn)等距的粒子速度大小相同。與徑向?qū)ΨQ不同的是,橢圓對(duì)稱中沿不同坐標(biāo)軸方向,速度分量的變化可以各不相同。受文獻(xiàn)[2]的啟發(fā),本文主要研究如下的二分量Dullin-Gottwald-Holm (DGH)系統(tǒng):

(1)

該系統(tǒng)描述了具有非零旋度的淺水波運(yùn)動(dòng),可以從二維Euler方程中利用漸進(jìn)展開的方法得到。其中u=u(t,x)表示x方向的流體速度,ρ=ρ(t,x)刻畫了自由表面[3-4]。當(dāng)ρ=0時(shí),二分量DGH系統(tǒng)(1)退化為DGH方程:

ut-utxx+γ uxxx+3u ux=σ(2uxuxx+u uxxx)。

該方程由Dullin, Gottwald和Holm在2001年所得到[5],同時(shí)指出DGH方程具有哈密頓結(jié)構(gòu),并給出了DGH方程的物理解釋。更重要的是說明了DGH方程是一類非常重要的淺水波方程,可以描述淺水波運(yùn)動(dòng)。它和KdV方程一樣存在光滑孤子解,也支持和Camasa-Holm方程類似的尖峰孤立子解[6-9]。

利用分離變量法,我們構(gòu)造了二分量DGH系統(tǒng) (1) 的具有橢圓對(duì)稱和drift結(jié)構(gòu)的自相似解。此外,通過研究相應(yīng)的Emden方程,我們分析了自相似解的存在性和有限時(shí)間爆破現(xiàn)象[10-11]。

1 具有橢圓對(duì)稱及drift結(jié)構(gòu)的自相似解

構(gòu)造DGH系統(tǒng)(1)的自相似解可分為以下幾步,首先對(duì)(1)中連續(xù)性方程關(guān)于解(ρ(t,x), u(t,x)),我們有如下結(jié)論。

引理1 對(duì)連續(xù)性方程ρt+(ρ u)x=0,存在如下形式的解

(2)

其中α,β為任意常數(shù),f(η)≥0∈C1(R),d∈R,η=(x+d)2/a2(t)。

證 明 由自相似解的形式及橢圓對(duì)稱的性質(zhì),設(shè)連續(xù)性方程的解為

(3)

將式(3)代入連續(xù)性方程左端可得:

顯然當(dāng)α=1,β=1時(shí),ρt+u ρx+ρ ux=0。

引理得證。

定理1 設(shè)函數(shù)a(t)是Emden方程

(a) 如果ξ>0,

(4)

(b) 如果ξ<0,a0>0,

(5)

(c) 如果ξ<0,a0<0,

(6)

證 明 將式(3)代入式(1)中第一個(gè)方程,成立

ut-utxx+3u ux-σ(2uxuxx+u uxxx)+

γ uxxx+ρ ρx=ut+3u ux+ρ ρx=

至此,已證得解(4),(5),(6) 滿足DGH系統(tǒng)(1)?，F(xiàn)可將原偏微分方程轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題,即

(7)

(8)

此外,因?yàn)閍 (t)是Emden方程的解,我們可根據(jù)參數(shù)ξ, a0和a1的取值不同,對(duì)a (t)的性質(zhì)做如下分類:

(9)

(10)

即a(t)存在下界。

(1.2)當(dāng)a1<0,存在以下兩種可能:

由瑕積分性質(zhì)可知,等式右邊的瑕積分收斂,但是當(dāng)t→+∞時(shí)左邊無界,出現(xiàn)矛盾,所以a (t)無界。

由不等式(10)可得a (t)≤-(ξ/2E)1/2<0,即a (t)存在上界。我們同樣可以分為a1>0和a1<0兩種情形,采用類似于情形(1)中的分析,可得相應(yīng)結(jié)論。

(3.1)當(dāng)E>0時(shí),由能量守恒方程(9)可得

即

或

且

由假設(shè)ξ<0, E>0可知ainf<0。

(3.2)當(dāng)E<0時(shí),由能量守恒方程(9)可得

即-ξ a-2(t)/2≥-E>0,則00。

令b (t)=-a (t),可構(gòu)造Emden方程

證法與情形 3) 類似。

證畢。

由能量守恒方程 (9),我們分別令ξ=1>0和ξ=-1<0,可以描繪出勢能ξ a-2(t)/2的變化趨勢。

圖1 當(dāng)ξ=1時(shí)，勢能曲線圖Fig.1 Curve for potential energy with ξ=1

圖2 當(dāng)ξ=1時(shí)，勢能曲線圖Fig.2 Curve for potential energy with ξ=-1

2 一般形式的自相似解

在這一節(jié)中,我們主要研究二分量DGH系統(tǒng)(1)中具有一般形式的自相似解。

引理2 對(duì)連續(xù)性方程ρt+(ρ u)x=0,存在如下形式的解

(11)

其中α,β為任意常數(shù)且α·β=1,f(η)≥0∈C1(R),d∈R,η=(x+d)/aα(β t)。

證 明 將式(11)代入式(1)中連續(xù)性方程，可得

由α·β=1,則ρt+u ρx+ρ ux=0。

引理得證。

定理2 設(shè)函數(shù)a(s)是Emden方程

(a) 如果ξ<0時(shí),

(12)

(b) 當(dāng)ξ>0, a0>0時(shí),

(13)

(c)當(dāng)ξ>0, a0<0時(shí),

(14)

證 明 將式(11)代入式(1)中DGH方程的左端,可得

ut-utxx+3uux-σ(2uxuxx+uuxxx)+γuxxx+

ρρx=ut+3uux+ρρx=

當(dāng)β=3時(shí),上式中間兩項(xiàng)可以消去,可化為

那么我們可將原偏微分方程轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的初值問題,即

(15)

(16)

對(duì)Emden方程

中ξ, a0, a1的不同取值進(jìn)行討論,可得到解的存在性及爆破現(xiàn)象。分析方法與定理1類似。

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(編 輯 亢小玉)

Self-similar solutions with elliptic symmetry for the Dullin-Gottwald-Holm shallow water system

WANG Hao

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

In this paper, elliptic symmetry and separation method are employed to study the two-component Dullin-Gottwald-Holm shallow water system, from which the self-similar solutions are obtained admitting the elliptic symmetry with a drift structure and self-similar solutions with general form. By constructing the Emden equation, investigations are given to show the global existence and finite-time blowup phenomenon.

Dullin-Gottwald-Holm shallow water system; elliptic symmetry; separation method; self-similar solutions

2016-03-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11471260)

王昊，男，陜西咸陽人，從事數(shù)學(xué)物理和可積系統(tǒng)的研究。

O175.2

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-05-003