陳科成, 班桂寧, 聶婷婷

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,南寧 530004)

?

中心商同構(gòu)于p6階第十九家族的一類LA-群

陳科成, 班桂寧, 聶婷婷

(廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,南寧 530004)

基于Rodney James的p6階群的完全同構(gòu)分類理論, 繼續(xù)LA-群的研究工作。利用群的擴(kuò)張理論與自由群理論，得到一類中心非循環(huán)且中心商同構(gòu)與Φ19(16)的有限p-群，最后運(yùn)用自同構(gòu)的性質(zhì)證明了此類群是LA-群。

有限p-群;群的擴(kuò)張;LA-群;自由群

群論孕育至今極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展,有限p-群是其最重要的分支之一。把滿足|G||Aut(G)且|G|=pn,n>2的有限非循環(huán)p -群定義為LA-群。在LA-群及有限p-群自同構(gòu)上班桂寧等獲得到了一些有價值的成果[1-9]。 崔艷證明中心商同構(gòu)于Φ19(16)的一類群是LA-群[10],但其中心Z(G)是循環(huán)群。本研究結(jié)合James關(guān)于p6階群的分類[11], 證明了Z(G)是非循環(huán)群的限定條件, 并證明了在此條件下這類群是LA-群。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 相關(guān)定義

定義1[12]30設(shè)G是有限群, ?a,b∈G, 規(guī)定[a,b]=a-1b-1ab,叫作元素a,b的換位子, 再令G′=〈[a,b]|a,b∈G〉, 稱為G的換位子群或?qū)骸?此外, 規(guī)定G(0)=G, G(n)=(G(n-1))′,n≥1, 稱G(n)為G的n階換位子群。

下文群的定義關(guān)系中, 形如[ai,aj]=1,(i,j=1,2,…,n)的略去不寫。

定義2[12]139設(shè)G是有限群。若G≠1, 令Φ(G)為G的所有極大子群的交; 而若G=1,Φ(G)=1, 稱Φ(G)為G的Frattini子群。

定義3[13]121設(shè)G是群,a,b∈G,i,j為正整數(shù),規(guī)定:

定義4[14]若群G是非交換且沒有非平凡交換直積因子的p -群, 則稱群G是PN-群。

本研究所用的群論符號或基礎(chǔ)定義皆可參考文獻(xiàn)[7]。

1.2 主要引理

引理1[12]130設(shè)G是群,a,b,c∈G, 則

1)ab=a[a,b];

2)[a,b]c=[ac,bc];

3)[a,b]-1=[b,a]=[a,b-1]b=[a-1,b]a;

4)[ab,c]=[a,c]b[b,c];

5)[a,bc]=[a,c][a,b]c。

引理2[13]123設(shè)G是群, a,b∈G且[a,b]∈Z(G), 又設(shè)n是正整數(shù)，則有

1)[an,b]=[a,b]n，[a,bn]=[a,b]n;

2)(ab)n=anbn[b,a]；

引理3[13]121設(shè)G是亞交換群,a,b∈G, 設(shè)m,n是正整數(shù), 則

下文提到的schreier擴(kuò)張只是表示這種循環(huán)擴(kuò)張。

引理5[15]對于群G=〈a1,a2,…,ar|fi(a1,a2,…,ar)=1,i∈I〉。

1) 如果σ∈Aut(G), 并且?i∈I,fi(σ(a1),σ(a2),…,σ(ar))=1;

如果|G|≤|H|<+∞, 則上述σ為群同構(gòu)(即H是由生成元{a1,a2,…,ar}與定義關(guān)系fi(a1,a2,…,ar)=1,?i∈I所定義的群)。

引理7[17]若G是PN-群, 則R(G)=Ac(G)Inn(G)為p -群。

引理8[18]若G是PN-群, 則|R(G)|=|G/Z2(G)|·|Ac(G)|。

設(shè)G是有限群, N≤G, AN(G)={σ|g-1gσ∈N,σ∈Aut(G)}, 則AN(G)≤Aut(G), 稱AN(G)是群G的N-自同構(gòu)。特別地, 記Ac(G)=AZ(G)(G)。

引理9 如果Z(G)≤Φ(G), 那么G為PN-群。

2 主要定理及證明

2.1 定理1的證明

通過換位子的運(yùn)算有[α,α2],[α,β]∈Z(G)，所以[α,α2]=[α,α2]β,[α,β]=[α,β]α1, 得到[α,β2]=[α,β1]=1。這些為1的換位子可以省略, 不出現(xiàn)在G的群結(jié)構(gòu)中。

因為[α,α2]=[α,α2]α1=[αβ1,α2β-1],所以[α,β-1][β1,β-1][β1,α2]=1；因為[β1,β-1]=1，得到[α,β-1][β1,α2]=1，即[β1,α2]=[β-1,α]；因為[β1,α2]∈Z(G),所以[β1,α2]β=[β,α2],由引理1得[β-1,α]β=[α,β]，從而得[β1,α2]=[α,β]。

第二步，做三次擴(kuò)張。

現(xiàn)證明擴(kuò)張得到的G(1)與1)中給出的定義關(guān)系一致。

現(xiàn)證明擴(kuò)張得到的G(2)與2)中給出的定義關(guān)系一致。

令N=G(2)如上文所得，設(shè)F=〈s3〉為p循環(huán)群, 構(gòu)造群N到N的映射τ:

現(xiàn)證明擴(kuò)張得到的G與3)中給出的定義關(guān)系一致。

綜上三步證明了定理1。

2.2 定理2的證明

定理2 定理1中所得的群G是LA-群。

群G的一個自同構(gòu)群R(G),由引理7和引理8可知, |R(G)|=|G/Z2(G)|·|Ac(G)|, 從而logp|R(G)|≥4+2n+logp|Z(G)|。因為logp|G|=6+logp|Z(G)|, 所以當(dāng)n≥2時, 有l(wèi)ogp|R(G)|≥logp|G|, 即|G|||Aut(G)|, 從而此時G是LA-群。當(dāng)n=1時，logp|R(G)|≥6+logp|Z(G)|≥logp|G|, 綜上得G是LA-群。

[1] BAN G, ZHANG J, YU S X. The lower bound for the order of the automorphism groups[J].Proceedings of the Royal Irish Academy, 1996, 96A(2): 159.

[2] 班桂寧，陳立英，周宇.一系列新的LA-群(英文)[J]. 廣西師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2007, 24(4): 5.

[3] SHABANI-ATTAR M.On equality of order of a finitep-group and order of its automorphism group[J]. Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 2015，38(2):461.

[4] 班桂寧, 劉海林, 崔艷. 中心循環(huán)且中心商群的階為p6的LA-群[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)), 2014, 28(1): 120.

[5] 鐘祥貴.一類有限群的自同構(gòu)群階的上確界[J].廣西科學(xué),2002,9(1):16.

[6] 張中健，班桂寧，戴琳.一類特殊p-群的自同構(gòu)的階[J]. 云南民族大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011, 20(1): 37.

[7] 班桂寧,許永峰,陳倩,等.一類中心商同構(gòu)于第四十家族的LA-群[J].貴州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2015, 32(1): 1.

[8] 田甜.非循環(huán)中心商群同構(gòu)于若干階族群的LA-群[D].南寧:廣西大學(xué), 2016.

[9] 班桂寧,周宇,陳立英.一類特殊p-群自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2008, 40(1): 52.

[10] 崔艷.若干中心是循環(huán)的LA-群[D]. 南寧: 廣西大學(xué), 2014.

[11] JAMES R. The groups of orderp6(pan odd prime)[J]. Mathematics of Computation, 1980, 34: 630.

[12] 徐明曜. 有限群導(dǎo)引(上)[M].2版.北京: 科學(xué)出版社, 2001.

[13] 徐明曜. 有限群導(dǎo)引(下)[M].2版.北京: 科學(xué)出版社, 2001.

[14] EXARCHAKOS T. LA-groups[J]. Journal of the Mathematical Society of Japan, 1981, 33(2): 185.

[15] 班桂寧, 俞曙霞. 交換自同構(gòu)群的一個重要結(jié)論[J]. 中國科學(xué)(A輯), 1996, 26(12):1072.

[16] 班桂寧, 俞曙霞. 一類p-群的自同構(gòu)群的階[J].數(shù)學(xué)學(xué)報, 1992, 35(4): 570.

[17] OTTO A D. Central automorphisms of a finitep-group[J]. Transactions of the American Mathematical Society,1966,125(2):282.

[18] 許永峰. 一類中心非循環(huán)且中心商群的階為p6的LA-群[D]. 南寧: 廣西大學(xué), 2015:10.

A class of LA-groups with central quotients being isomorphic to the order ofp6-group of nineteenth family

CHEN Kecheng,BAN Guining,NIE Tingting

(School of Mathematics and Information Sciences, Guangxi University, Nanning 530004, China)

Based on the complete isomorphism classification theory of Rodney James’s groups of orderp6, we continue to study the LA-group. By using the extension theory of group and the theory of free group, we get a new series of finitep-groups with central non-cyclic and quotients being isomorphic to the group of Φ19(16). Eventually we prove that the groups are new LA-groups by the characteristic of their automorphisms.

finitep-group; extension theory of group; LA-group; free group

10.3969/j.issn.1671-8798.2016.05.001

2016-07-21

陳科成(1990— ),男, 浙江省寧波人,碩士研究生, 研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的有限群論。

O152.1

A

1671-8798(2016)05-0337-07