孔強夫，胡 松，王曉暢，李 軍，熊培祺，王 琬，劉 秘

(1.中國石化石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國石油大學(xué)，北京 102249；3.加拿大卡爾加里大學(xué)，加拿大阿爾伯塔，T2N4V7)

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基于數(shù)字巖心電性數(shù)值模擬新方法的研究

孔強夫1，胡 松1，王曉暢1，李 軍1，熊培祺2，王 琬3，劉 秘2

(1.中國石化石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國石油大學(xué)，北京 102249；3.加拿大卡爾加里大學(xué)，加拿大阿爾伯塔，T2N4V7)

基于數(shù)字巖心的巖石電性數(shù)值模擬技術(shù)可以彌補傳統(tǒng)巖石物理實驗的諸多不足，而準(zhǔn)確厘定孔隙空間流體分布是電性數(shù)值模擬的基礎(chǔ)。在對常用模擬方法進行了系統(tǒng)闡述的基礎(chǔ)上，分析了利用孔隙網(wǎng)絡(luò)模型、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及與其他模擬方法結(jié)合開展電性數(shù)值模擬研究的優(yōu)缺點，同時提出了將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)與隨機游走結(jié)合的新方法，并在圖像分析基礎(chǔ)上提出利用“等效”處理辦法表征水膜。在考慮了數(shù)字巖心的連通性、各向異性、水膜等因素的基礎(chǔ)上，對高孔、高滲砂巖巖心進行了數(shù)字模擬，模擬結(jié)果與理論計算結(jié)果吻合較好，證實了新方法的可行性，為進一步開展電性數(shù)值模擬研究奠定了基礎(chǔ)。

數(shù)字巖心；電性數(shù)值模擬；數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)；隨機游走

基于數(shù)字巖心的巖石電性數(shù)值模擬研究引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。澳大利亞國立大學(xué)、帝國理工大學(xué)、法國石油研究院和斯坦福大學(xué)自21世紀(jì)初開展了相應(yīng)的研究工作，中國石油大學(xué)也開展了相應(yīng)的研究工作[1-5]，但尚處于起步階段。

巖石電性數(shù)值模擬的首要任務(wù)就是準(zhǔn)確確定孔隙空間流體的分布，進而計算不同含水飽和度下巖石的電性參數(shù)。模擬不同含水飽和度下孔隙流體分布的方法主要有孔隙網(wǎng)絡(luò)模型和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法[5-13]。孔隙網(wǎng)絡(luò)模型不僅可以方便研究流體在孔隙中的分布規(guī)律，計算流體的傳導(dǎo)性能，而且還可以克服計算時間長的缺點。但該方法對孔隙空間進行簡化，勢必造成巖心真實孔隙信息的丟失，同時難以處理復(fù)雜的孔隙空間(如裂縫等)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基于巖心真實圖像，采用一般為球形的結(jié)構(gòu)元素對孔隙空間做開運算來模擬不同驅(qū)替壓力下的流體分布，這種方法能夠保留巖心的真實孔隙信息，使巖石電性的數(shù)值模擬結(jié)果更為準(zhǔn)確。

確定孔隙空間流體分布后，采用某種數(shù)值模擬方法開展電性模擬研究，這些方法主要有格子玻爾茲曼方法、有限元法、隨機游走方法、基爾霍夫電路節(jié)點法[4-5，20-33]。格子玻爾茲曼方法是基于流體微觀模型和細觀動理論方程的方法，該方法易于處理復(fù)雜的邊界條件，具有完全并行性，但對于多相流的模型需進一步完善，且速度分量多時模擬速度變慢；有限元法是利用分塊逼近，根據(jù)三維數(shù)字圖像中能量最小原理，確定每一個節(jié)點上的電壓分布，是電性數(shù)值模擬較為經(jīng)典的方法，但該方法求解比較困難，對于網(wǎng)格的剖分具有一定的隨機性；基爾霍夫電路節(jié)點法利用基爾霍夫定律在提取孔隙格架的基礎(chǔ)上求解每一個節(jié)點的電阻率，原理簡單，容易實現(xiàn)，但該方法本身要在孔隙網(wǎng)絡(luò)模型的基礎(chǔ)上開展模擬，結(jié)果會存在一定的誤差，另外運算量非常龐大；隨機游走方法則是利用穩(wěn)定狀態(tài)下擴散和電流傳導(dǎo)之間解相同的拉普拉斯方程，通過粒子的隨機游走計算孔隙空間的迂曲度，進而利用迂曲度來計算巖石的電性參數(shù)，該方法原理簡單易于實現(xiàn)。

本文在前人研究基礎(chǔ)上將數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法與隨機游走方法結(jié)合進行巖石電性參數(shù)的模擬嘗試，通過分析數(shù)字巖心的連通性，采用“等效”處理方法表征水膜的存在，計算了高孔、高滲砂巖三維數(shù)字巖心在巖心軸向上(z方向)的電性參數(shù)。巖石地層因素F與實驗結(jié)果吻合；在整個含水飽和度區(qū)間內(nèi)巖石電阻率指數(shù)與實驗結(jié)果吻合，證實了新方法的可行性，為進一步開展巖石電性數(shù)字模擬研究奠定了堅實的基礎(chǔ)。

1 方法原理

1.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)原理

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是由一組形態(tài)學(xué)的代數(shù)運算組成的，包括4個基本運算：膨脹(或擴張)、(腐蝕)或侵蝕、開運算和閉運算。膨脹運算和腐蝕運算是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理的基礎(chǔ)，許多數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法都是以這兩種基本運算作為基礎(chǔ)的。

設(shè)C和D是中Z2的集合，Φ為空集，C被D腐蝕，記為腐蝕算子?。腐蝕運算定義為：

C?D={x|(D)x?C≠Φ}

(1)

式中x——集合中的任意一點 。

式(1)說明集合C被集合D的腐蝕結(jié)果是所有使D被x平移后包含于C的點x的集合。圖1表示了一個腐蝕過程，圖中陰影部分為腐蝕之后的結(jié)果。

腐蝕運算的作用是去除圖像中的孤立點和毛刺，縮減區(qū)域邊界，增大內(nèi)部孔洞，斷開某些區(qū)域間的聯(lián)系。

設(shè)C和D是Z2中的集合，Φ為空集，∩為兩個集合的交集，x為集合中的任意元素，C被D的膨脹，記為膨脹算子?。膨脹運算的定義為：

C?D={x|(D)x∩C≠Φ}

(2)

式(2)說明膨脹運算過程是集合D首先做關(guān)于其原點的映射，然后平移x。C被D的膨脹運算就是D被所有的x平移后與集合C至少存在一個非零公共元素。

與其他數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法一樣，集合D在膨脹運算中被稱為結(jié)構(gòu)元素。圖2表示一個膨脹過程，圖中各參數(shù)含義與圖1相同；圖中陰影部分為膨脹之后的結(jié)果。

膨脹運算的作用是擴大圖像區(qū)域的邊界，減小區(qū)域內(nèi)的孔洞。

取結(jié)構(gòu)元素C作開運算，記為C·D,定義為：

C·D=(C?D)?D

(3)

即集合C被集合D開運算就是C被D腐蝕后的結(jié)果再被D膨脹。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中開運算有一個簡單的幾何解釋，假設(shè)把圓盤結(jié)構(gòu)元素D看作一個平面內(nèi)的“滾動球”，C·D的邊界為集合D在C中滾動所能達到的最遠處的D的邊界所構(gòu)成。集合C中所有朝外的突出部分保持不變，突出且不能容下結(jié)構(gòu)元素的部分被去掉(圖3)。

開運算能夠在保持總位置和形狀不變條件下消除比結(jié)構(gòu)元素小的特定的圖像細節(jié)、平滑圖像的輪廓、擴大縫隙、分離由細線相連的物體、消除細小的突起和孤立點。

取結(jié)構(gòu)元素D作閉運算，記為C·D,定義為：

C·D=(C?D)?D

(4)

即集合C被集合D閉運算就是C被D膨脹后的結(jié)果再被D腐蝕。

閉運算解釋為在邊界外滾動球，所有朝內(nèi)的突出部分均被圓滑了，而朝外的則沒有影響。集合C最左邊的凹入部分被大幅減弱了(圖4)。

閉運算能在保持總位置和形狀不變條件下填充目標(biāo)中的孔洞，連接相鄰目標(biāo)和小的斷點，從外部平滑邊界、填充圖像中的縫隙、融合相鄰的圖像小塊。

1.2 隨機游走模擬電學(xué)參數(shù)原理

(5)

式中 τ——相應(yīng)的迂曲度；

t——擴散時間；

D——溶質(zhì)的擴散系數(shù)；

Dbulk——溶液的擴散系數(shù)。

式中比值可以通過可溶物質(zhì)的均方位移與時間的比值在時間足夠長時取極限來表示，即：

(6)

式中 r(t)——t時刻溶質(zhì)的位置；

r(0) ——初始時刻溶質(zhì)的位置。

(7)

式中 τe——電流迂曲度；

σ——飽和流體時物質(zhì)的電導(dǎo)率；

σbulk——導(dǎo)電流體的電導(dǎo)率。

Clennell(1997)[30]詳細論述了擴散迂曲度與電流迂曲度之間存在一個修正系數(shù)1/φ,即：

(8)

式中 F——地層因素；

ρ(t→∞)——t很大時飽和流體物質(zhì)的電阻率；

ρbulk——導(dǎo)電流體的電阻率；

φ——連通孔隙度；

τ——含水飽和度100%時孔隙空間的迂曲度。

如果考慮導(dǎo)電的水的有效擴散系數(shù)Dw，則F可以表示為：

(9)

后面擴散項的比值可通過隨機步行者的布朗運動模擬水分子的擴散來計算。FR即為阿爾奇公式中的地層因素F，是孔隙度與迂曲度的函數(shù),描述純凈的、無泥質(zhì)且100%含水的砂巖的電阻率與孔隙水的電阻率成正比。

同樣地，電阻率指數(shù)RI，其描述的是對含水飽和度小于1的純砂巖而言，其電阻率與同種砂巖在100%含水時的電阻率成正比，是含水飽和度與迂曲度的函數(shù)，即：

(10)

式中 τ′——含水飽和度小于100%時孔隙空間的迂曲度；

τ——含水飽和度100%時孔隙空間的迂曲度；

RI——電阻增大系數(shù)；

Sw=100%——含水飽和度(100%)。

2 三維孔隙空間流體分布表征

圖5a為某砂巖X射線CT掃描的原始二維圖像，尺寸為600×600像素，其中黑色代表巖石骨架，白色代表巖石孔隙。原始圖像中用0表示巖石骨架，1表示孔隙空間。選取半徑R為15個像素的圓作為結(jié)構(gòu)元素，對圖5a中的孔隙空間(白色區(qū)域)分別進行腐蝕、膨脹和開運算，運算結(jié)果如圖5b—d所示，紅色部分表示孔隙空間經(jīng)過相應(yīng)運算后的結(jié)果。從圖中可以看出膨脹運算擴大圖像，腐蝕運算收縮圖像。開運算的另一種解釋為結(jié)構(gòu)元素B在X內(nèi)滾動所能達到的邊界構(gòu)成的空間，計算結(jié)果如圖5d中紅色區(qū)域所示。從開運算的定義可以看出對孔隙空間做開運算其結(jié)果為保留所有大于結(jié)構(gòu)元素半徑R的孔隙空間。

在水潤濕巖石中，非潤濕的油相首先占據(jù)孔隙空間中的大孔隙，隨著驅(qū)替壓力的增大，油按照孔隙半徑由大到小依次侵入。對于油潤濕巖石，可采用類似方法，結(jié)構(gòu)元素半徑由大到小依次變化，開運算的結(jié)果表征的孔隙空間被地層水占據(jù)，其余空間則被油占據(jù)。假設(shè)孔隙空間開運算的結(jié)果表征油驅(qū)水過程中的油占據(jù)的空間，其余孔隙空間表征地層水占據(jù)的空間，則該過程與水潤濕巖石的排驅(qū)過程相似。因此巖石孔隙空間的開運算可以模擬水潤濕巖石的排驅(qū)過程，進而確定在不同含水飽和度下孔隙空間中油和水的分布。圖6顯示的是不同含水飽和度下孔隙流體的分布，其中藍色表示骨架，綠色表示水，紅色表示油，可以看出隨著結(jié)構(gòu)元素逐漸減小，含水飽和度逐漸降低。

3 方法驗證

在對數(shù)字巖心進行連通性分析時，通常是沿著某個方向進行分析(圖7)，對于正方形數(shù)據(jù)體的數(shù)字巖心，x、y、z方向連通孔隙的提取過程如下。

(1)對三維數(shù)據(jù)體進行26鄰域掃描，在掃描過程中對每一個獨立的連通區(qū)域進行標(biāo)記，按次序標(biāo)記為1，2，3，…，n，則此三維數(shù)據(jù)體有n個連通域。

(2)判斷x方向上兩個邊界面是否有相同的標(biāo)記符，即1，2，3，…，n，假如存在相同的標(biāo)記符i，j，…，m(1≤i，j，m ≤n)，則此數(shù)字巖心在x方向具有連通的孔隙。將標(biāo)記為i，j，…，m所代表的子數(shù)據(jù)體存放到與數(shù)據(jù)體D相同大小的三維矩陣Dx中。

(3)在y、z方向進行同樣操作，提取出Dy、Dz。

如圖7所示，對三維數(shù)據(jù)體掃描后標(biāo)記有1、2、3、4共4個獨立的連通域，在x方向的前后兩個面都有標(biāo)記為3的像素點，則Dx就只有標(biāo)記3的這個連通域被記錄下來，Dy只包含2，Dz只包含1。標(biāo)記為4的連通域不參與后續(xù)模擬計算。為了驗證連通性算法分析的有效性，以NO2巖心的300×300×300數(shù)據(jù)體為例，孔隙連通性分析如圖8所示。

本次研究共選取5塊南堡油田高孔、高滲砂巖巖心(NO1、NO2、NO15、NO17、NO19)做X射線CT掃描構(gòu)建三維數(shù)字巖心，其圖像掃描分辨率均為12μm,分割像素尺寸均為300×300×300。在分析數(shù)字巖心連通性的基礎(chǔ)上利用隨機游走法公式(5)、公式(6)分別模擬計算了這5塊巖心在完全飽和水狀態(tài)下3個軸向上的連通孔隙度和迂曲度，結(jié)果如表1所示。

表1 5塊巖心孔隙度與迂曲度計算結(jié)果表

在利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法確定不同含水飽和度下孔隙空間油、水的分布以后，對于水潤濕巖石，孔隙空間被油侵入以后，會在孔隙壁上存在一層水膜，這些水膜的存在為電流的傳導(dǎo)提供了一條附加路徑。在中、高含水飽和度時這種傳導(dǎo)作用并不是十分明顯；但是在低含水飽和度時，這種傳導(dǎo)作用變的十分重要。因此，要在整個三維數(shù)字巖心含水飽和度范圍內(nèi)準(zhǔn)確模擬巖石的電性參數(shù)，水膜的傳導(dǎo)作用必須考慮。但由于一般實驗測量的水膜厚度有限，在現(xiàn)有的CT掃描分辨率下無法被識別，因此不能直接將油侵孔隙的最外面一層像素視為水膜，在圖像分析的基礎(chǔ)上采用一種“等效”處理方法，將油相的最外一層像素與水膜的厚度相乘累加之后在油相與骨架的接觸位置設(shè)置水膜。水膜的表征圖如圖10所示。本次研究水膜的厚度參考向陽[34]實驗室的測量結(jié)果，給定的水膜厚度為0.057μm，用0.6μm的巖心掃描圖像分辨率得到含水飽和度為26.9%。

4 結(jié) 論

(1)在圖像分析基礎(chǔ)上提出利用“等效”處理辦法表征水膜。

(2)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法在保證圖像真實孔隙信息方面具有一定優(yōu)勢，隨機游走模擬電性參數(shù)原理簡單，易于實現(xiàn)，本文利用兩種方法的結(jié)合進行了電性數(shù)值模擬的探索。

(3)對高孔、高滲巖心的模擬結(jié)果與理論計算結(jié)果基本吻合，證實了新方法的可行性，為進一步開展電性數(shù)字模擬研究奠定了堅實的基礎(chǔ)。

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New Numerical Simulation Method of Electrical Properties of Rock Based on Digital Cores

Kong Qiangfu1,Hu Song1，Wang Xiaochang1,Li Jun1, Xiong Peiqi2,Wang Wan3，Liu Mi2

(1.PetroleumExplorationandProductionResearchInstitute,SINOPEC,Beijing100083,China；2.ChinaUniversityofPetroleum,Beijing,102249,China；3.UniversityofCalgary,Calgary,AlbertaT2N4V7,Canada)

Based on the digital core, rock electrical numerical simulation technology can make up for the deficiencies of traditional rock physics experiment. Determining the fluid distribution in the pore accurately is the basis of the numerical simulation of the electrical. After carry out a wide range of literature research for the various methods, the advantages and disadvantages of combining pore-network model or mathematical morphology with other simulation methods to do the electrical numerical simulation research are analyzed. A new method that combined mathematical morphology with random walk was been put forward, and on the basis of image analysis, method of “equivalent treatment” was to characterize water-film. Connectivity of digital core, anisotropy, water film and other factors were considered, the simulation results of core with high porosity-permeability was match well with the experiment, which confirmed the feasibility of new method, laid a foundation for the electrical digital simulation study.

Digital core; Numerical simulation of electrical properties; Mathematical morphology; Random walk

國家科技重大專項“不同類型縫洞儲集體測井精細評價”(2016ZX05014-002-001)。

孔強夫(1989年生)，男，碩士，主要從事測井巖石物理數(shù)值模擬研究。郵箱：kongqf.syky@sinopec.com。

TE319

A