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        從混凝土歷史發(fā)展長(zhǎng)河中學(xué)習(xí)理解A定則B公式之二(Ⅰ)

        2016-12-07 14:11:04王永逵王健耿加會(huì)余春榮馮立艷
        商品混凝土 2016年6期
        關(guān)鍵詞:定則灰水水膠

        王永逵,王健,耿加會(huì),余春榮,馮立艷

        (1.上海奇齊科技開發(fā)公司,上?!?01600;2.河南舞陽(yáng)縣惠達(dá)公路工程公司,河南 舞陽(yáng) 462400;3.建筑材料工業(yè)技術(shù)情報(bào)研究所,北京 100024;4.四川德陽(yáng)明鴻商品混凝土有限公司,四川 德陽(yáng) 618099)

        從混凝土歷史發(fā)展長(zhǎng)河中學(xué)習(xí)理解A定則B公式之二(Ⅰ)

        王永逵1,王健1,耿加會(huì)2,余春榮3,馮立艷4

        (1.上海奇齊科技開發(fā)公司,上海201600;2.河南舞陽(yáng)縣惠達(dá)公路工程公司,河南舞陽(yáng)462400;3.建筑材料工業(yè)技術(shù)情報(bào)研究所,北京100024;4.四川德陽(yáng)明鴻商品混凝土有限公司,四川德陽(yáng)618099)

        阿勃萊姆斯的A定則是在費(fèi)雷特普適公式基礎(chǔ)上的發(fā)展和提高,對(duì)混凝土強(qiáng)度理論具有里程碑的意義。保羅米的B公式是在A定則基礎(chǔ)上的簡(jiǎn)化,使數(shù)理統(tǒng)計(jì)對(duì)混凝土中的應(yīng)用進(jìn)入新階段。但與A定則沒(méi)有質(zhì)的區(qū)別,都是對(duì)混凝土強(qiáng)度期望值估計(jì)值的計(jì)算,其結(jié)果應(yīng)該很接近。A定則-B公式成了現(xiàn)代混凝土的基礎(chǔ)理論之一,有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)指導(dǎo)意義。

        A定則-B公式;期望值;預(yù)報(bào);控制

        1 B 公式是 A 定則的簡(jiǎn)化

        A 定則的公式擬合與應(yīng)用運(yùn)用起來(lái)仍顯得有點(diǎn)不方便。20余年后,在滿足強(qiáng)度和水灰比估算值要求的前提下,1930年瑞典科學(xué)家的保羅米﹙Bolmy﹚通過(guò)大量試驗(yàn)和計(jì)算,把阿勃萊姆斯的雙曲線部份線段﹙W/B=0.4~0.8﹚,用一元回歸的方法建立了“在標(biāo)準(zhǔn)條件下,對(duì)給定原材料,混凝土強(qiáng)度與灰水比(C/W)近似成正比” 關(guān)系的 B 公式。在 B 公式中,強(qiáng)度只與灰水比(C/W)近似成正比的關(guān)系,但并非否認(rèn)混凝土強(qiáng)度與水泥、砂石質(zhì)量等其它因素的因果關(guān)系,而是基于數(shù)學(xué)原理,在標(biāo)準(zhǔn)條件下,對(duì)給定原材料,大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明因變量混凝土強(qiáng)度﹙Y﹚只能與可檢測(cè)控制的自變量灰水比(C/W)建立近似的線性關(guān)系。而除灰水比(C/W)以外的其它影響因素都因其是隨機(jī)變量,只能在因變量﹙yi﹚中得以反應(yīng)。同時(shí),B 公式的建立不是從天上掉下來(lái)的,而是在大量試驗(yàn)基礎(chǔ)上的。散點(diǎn)圖的趨勢(shì)表明,混凝土強(qiáng)度﹙Y﹚與自變量﹙X﹚有明顯的線性特征,它符合“認(rèn)識(shí)來(lái)源于實(shí)踐”的辯證唯物主義哲學(xué)原理。水泥、砂石質(zhì)量等其它因素對(duì)強(qiáng)度影響,是通過(guò)大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)我們稱其為樣本中的子樣﹙xi,yi﹚數(shù)據(jù)來(lái)體現(xiàn)其不可缺失的影響。正是由于除水灰比以外其它眾多因素的影響,才使因變量混凝土強(qiáng)度﹙Y﹚具有不確定性數(shù)據(jù)隨機(jī)變量特性。如再將水泥和砂石等列入多元回歸方程也是重復(fù)因子,無(wú)益于估計(jì)值準(zhǔn)確性的提高。這里可以用“此處無(wú)聲勝有聲”來(lái)形容。這一數(shù)理統(tǒng)計(jì)的回歸分析方法,不僅是依據(jù)最小二乘法的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理,也是源于幾千年的混凝土反復(fù)實(shí)踐-認(rèn)識(shí)-再實(shí)線-再認(rèn)識(shí),同時(shí)也亦經(jīng)200余年來(lái)的工程應(yīng)用所證實(shí)?!皩?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”,B 公式的可信度不僅是過(guò)去,在現(xiàn)在或可見(jiàn)的未來(lái)也能經(jīng)得起實(shí)踐檢驗(yàn)。

        我國(guó)對(duì)保羅米的 B 公式介紹,可見(jiàn)于1981年中國(guó)建筑出版社出版的高校試用教材《混凝土學(xué)》[1],表達(dá)如下:

        式中:

        K1,K2——經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

        C/W——灰水比。

        R——規(guī)定齡期的混凝土抗壓強(qiáng)度。

        由于 R 是一個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)值估算值,具有不確定性,對(duì)給定灰水比的28d 強(qiáng)度只是期望值的估計(jì)值標(biāo)示為R28,以示與一般確定性的設(shè)計(jì)強(qiáng)度或配制強(qiáng)度的 R28區(qū)別。因此式(1)也可表示為:

        在配合比設(shè)計(jì)中利用式(1),給定配制強(qiáng)度 R28,可計(jì)算出試配時(shí)所需要的水灰比估計(jì)值;也可已知 W/C估算,這對(duì)混凝土配合比設(shè)計(jì)和施工技術(shù)管理有重要的應(yīng)用價(jià)值。

        在《混凝土學(xué)》一書中并未介紹式(1)是誰(shuí)發(fā)明的,上述瑞典料學(xué)家保羅米1930年發(fā)明了 B 公式,在我國(guó)可能是蘇聯(lián)專家上世紀(jì)50年代末來(lái)華講學(xué)時(shí)介紹的。另在和唐明述等譯英國(guó)科學(xué)家 F.M. 李著《水泥和混凝土化學(xué)》[4]和張綬慶譯日本笠井芳夫著的《材料科學(xué)導(dǎo)論》[2]中,也有類似的式(1)表達(dá)式:S=X+Y﹙C/W﹚,按他們的說(shuō)法該線性公式是英格·利塞﹙Inge lyse﹚發(fā)明的,式中 X 和 Y 是回歸系數(shù),這種表達(dá)式除用不同的字符外,與式(1)式?jīng)]有區(qū)別??磥?lái)“在標(biāo)準(zhǔn)條件下,對(duì)給定原材料,混凝土強(qiáng)度可與 C/W近似成正比”的關(guān)系不只是保羅米一人,在當(dāng)時(shí)除瑞典、前蘇聯(lián)等北歐國(guó)家以外,國(guó)際混凝土界己有較為廣泛的認(rèn)知。嚴(yán)格的說(shuō),B 公式中 R 并非與 C/W 完全成比,它還有一常數(shù)項(xiàng)“K1”影響,只是近似而已。后來(lái)在 B 公式中引入混凝土強(qiáng)度等級(jí)(Rc)和水泥實(shí)測(cè)強(qiáng)度(fce)后,回歸系數(shù)“K1、 K2”演變成“A、B”或“aa、ab”,只是兩回歸系數(shù)值的變化,強(qiáng)度與灰水比的近似關(guān)系并沒(méi)有變化。這種把強(qiáng)度簡(jiǎn)化為與灰水比成正比的線形近似關(guān)系,是保羅米在阿勃萊姆斯基礎(chǔ)上的進(jìn)步。

        在 B 公式擬合中,K1、K2兩回歸系數(shù)取決于樣本中的“子樣”﹙xi,yi﹚的具體數(shù)據(jù)。條件不同、時(shí)代不同,由公式擬合時(shí)的樣本子樣的﹙xi,yi﹚自然會(huì)有變化,B 公式的K1、K2也應(yīng)有變化,W/B 的估算結(jié)果也不會(huì)一樣,如表1介紹的美國(guó) ACI211.1推薦的引氣型與非引氣型的 W/C 值就有明顯的差別。因此,要求普通混凝土配合比設(shè)計(jì)的 W/B 估算適用于一切類型混凝土是不妥的。同時(shí),隨著混凝土科技的進(jìn)步,“規(guī)程”每隔幾年就需要修訂。要遵循不同質(zhì)的問(wèn)題,用不同的方法解決,一把鑰匙開一把鎖。

        表1 水灰比與混凝土抗壓強(qiáng)度的相互關(guān)系

        2 B 公式的擬合

        上述討論強(qiáng)調(diào)了 B 公式應(yīng)用必須注意使用條件,生產(chǎn)中都希望找到更切合自已公司生產(chǎn)實(shí)際的 B 公式。那么,根據(jù)積累的樣本數(shù)據(jù)﹙xi,yi﹚運(yùn)用最小二乘法理論上的回歸分析,求得 B 公式中 K1、K2兩回歸系數(shù),建立 B 公式的過(guò)程,稱之為 B 公式擬合。

        2.1什么是回歸分析?什么是最小二乘法?

        在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,用最小二乘法,處理量與量之間非確定性關(guān)系問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法稱之為回歸分析。根據(jù)所研究的自變量個(gè)數(shù)的多少,分一元回歸分析和多元回歸分析兩類,在每一類中又以自變量與考核標(biāo)﹙因變量﹚之間呈線性和非線性關(guān)系,有線性回歸分析和非線性回歸分析兩種。其中一元線性回歸是回歸分析中最常用,同時(shí)也是最基本的回歸分析方法。

        研究?jī)蓚€(gè)變量 X 和 Y 之關(guān)系的問(wèn)題稱為一元回歸分析。這里 X 是自變量,它的值是事先給定的或可以控制、可精確觀察的普通變量[3,4],如混凝土配合比設(shè)計(jì)中根據(jù)已知配制強(qiáng)度要求的 W/B,或已知混凝土早期強(qiáng)度求R28等,都是自變量(X),而 W/B 混凝土強(qiáng)度 R28(Y)是因變量,是事件發(fā)生前不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的隨機(jī)變量,是我們要考查的指標(biāo)稱之為期望值的估計(jì)值、平均值。如本例中的混凝土的灰水比(X)與強(qiáng)度(Y)之間建立的近似正比線性關(guān)系,研究它們之間關(guān)系建立相關(guān)公式的方法稱之為一元線性回歸分析。

        現(xiàn)暫以筆者在從事商品混凝土技術(shù)工作中,積累的27組部份普通商品混凝土自變量水膠比(Xi)和因變量強(qiáng)度(Yi)數(shù)據(jù)(表2)用列表計(jì)算的方法擬合 B 公式,重在學(xué)習(xí)體驗(yàn)前人發(fā)明最小二乘法的計(jì)算過(guò)程的艱辛,進(jìn)而體會(huì)現(xiàn)代電腦比人腦計(jì)算的便捷。

        試以表2的 Xi和 Yi數(shù)據(jù)做的散點(diǎn)圖1,初步判斷 Xi和 Yi存在近似的直線性關(guān)系式(3),因變量 yi任意一點(diǎn)與直線的關(guān)系存在有誤差 εi式(4):

        式(4)中:

        β0和 βi——回歸系數(shù)。

        εi——第 i 次試驗(yàn)中的誤差(i=1,2····,n)。

        圖1 散點(diǎn)圖

        假定 εi是一相互獨(dú)立、且服從正態(tài)分布 N(0,σ2)的隨機(jī)變量。問(wèn)題是如何求得 b0、b1這兩個(gè)回歸系數(shù)的問(wèn)題,有了它們就可建立回歸方程式了了。根據(jù)式 (4)每個(gè) xi都可以算出變量 yi對(duì)應(yīng)的估計(jì)值 ,與觀察值 yi之間的偏差 εi為:

        表2 列表計(jì)算 b0和b1數(shù)據(jù)表

        一個(gè)很自然的想法是,如果在 n 次試驗(yàn)中,y的觀測(cè)值與估計(jì)值之間的偏差總和 ε1+ε2+·····+εn愈小,則可認(rèn)為回歸直線與觀測(cè)值擬合得愈好。又由于 εi中有正有負(fù),如直接將它們的和作為衡量 y 和 x 之間的總偏差程度,就可能因 εi正負(fù)相消而使偏差總和為零作出錯(cuò)誤的判斷,這顯然是不合理的。因此,通常用每個(gè)偏差平方和的方法,即

        Q 值的大小取決于 b0和 b1,如果能找到一組 b0、b1值使Q 達(dá)到最小,這時(shí)的 b0、b1值為系數(shù)的必將是與觀測(cè)值擬合得最好線性回歸。求得這樣一組 b0、b1值的方法可以用最小二乘法求得。所謂最小二乘法就是使得 Q 值達(dá)到最小的一種計(jì)算回歸系數(shù)(b0,b1)值的方法[4]。

        根據(jù)數(shù)學(xué)上求極值的原理,要使 Q 達(dá)到最小,應(yīng)使 b0和b1偏導(dǎo)數(shù)為0。

        將 Q 的表達(dá)式代入,可得

        式(8)為一二元一次方程,其求解如下:

        2.2計(jì)算 b0和 b1

        根據(jù)式(13)列表計(jì)算 b0和 b1,詳見(jiàn)表2。

        2.3一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

        一元回歸的顯著性檢驗(yàn)有三種方法,它們是:相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)、方差分析檢驗(yàn)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差檢驗(yàn)。三種相關(guān)性檢驗(yàn)的方法都是從數(shù)學(xué)上說(shuō)明用一元線性回歸與實(shí)際強(qiáng)度與膠水比直線相關(guān)的程度。在這里只利用現(xiàn)有公式,對(duì)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的方法來(lái)檢驗(yàn)與實(shí)際線性相關(guān)的程度,不介紹另兩種檢驗(yàn)方法和公式推導(dǎo)。

        2.4相關(guān)系數(shù) r 值計(jì)算與判斷步驟

        2.4.1由變量 X 和 Y 的觀察值計(jì)算 r 值

        相關(guān)系數(shù)是衡量?jī)蓚€(gè)變量(X,Y)之間線性相關(guān)程度的一個(gè)量,用r表示。對(duì) X、Y 兩個(gè)變量進(jìn)行 n 次觀測(cè),如第i 次的觀測(cè)為(Xi,Yi), 則它們之間的相關(guān)系數(shù) r 用下式計(jì)算:

        2.4.2臨界值

        給定檢驗(yàn)水平a,在相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表中查自由度ν=n-2時(shí)的臨界值 r0(n 是對(duì)變量 x 和 y 的觀察次數(shù),即數(shù)據(jù)對(duì)子樣的個(gè)數(shù));本例給定檢

        驗(yàn)水平 a=0.01,n=27,查“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表”中査自由度 ν=n-2=25時(shí)的臨界查得r0=0.4869

        2.4.3判斷規(guī)則

        當(dāng) |r|>r0時(shí),認(rèn)為變量 x 和 y 之間的線性關(guān)系是顯著的,建立的回歸方程是合理的;當(dāng) |r|<r0時(shí),認(rèn)為變量和y之間的線性關(guān)系是不顯著的,建立的回歸方程沒(méi)有實(shí)際意義。

        當(dāng) |r| 愈接近1.0,則相關(guān)性愈好,|r|=0為完全相關(guān),方程為一直線。

        現(xiàn)查得r0=0.4869。

        ∵ |r| =0.9800>>r0=0.4869;

        ∴ 所擬合的——元回歸線性方程相關(guān)性特別顯著。

        3 B 公式的預(yù)報(bào)與控制

        3.1預(yù)報(bào)

        預(yù)報(bào)與控制是在 B 公式的一元回歸方程建立與顯著性檢驗(yàn)合格后才進(jìn)行的。所謂“預(yù)報(bào)” 是指已知膠水比(X= X0)時(shí),利用建立的 B 公式來(lái)預(yù)報(bào)與 X0對(duì)應(yīng)的值在一個(gè)什么置信度范圍出現(xiàn)以及在驗(yàn)收要求下,R28能否滿足驗(yàn)收要求,達(dá)到“預(yù)防在先,事預(yù)則立”的目的。其依據(jù),正如以開始就強(qiáng)調(diào)的,我們現(xiàn)在討論的 和 R28都是屬于不確定性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)值,它有一定的分布規(guī)律。大量的實(shí)踐證明,灰水比(X0)一定,強(qiáng)度的分布服從正態(tài)分布,于是得到以下三個(gè)置信度的預(yù)報(bào)區(qū)間:

        公式預(yù)報(bào)示意圖見(jiàn)圖2。

        圖2 公式預(yù)報(bào)示意圖

        3.2普通商品混凝土 C30的預(yù)報(bào)與控制實(shí)例

        普通商品混凝土 C30的預(yù)報(bào)與控制實(shí)例,詳見(jiàn)表3。根據(jù)問(wèn)題的要求,選擇式(19)~式(21)中的置信度區(qū)間作為預(yù)報(bào) X=X0時(shí),對(duì)應(yīng)觀測(cè)值 Y0出規(guī)的機(jī)率區(qū)間。如圖2。 一般要求置信度95% 時(shí),b0+b1X±2S 認(rèn)為經(jīng)濟(jì)技術(shù)合理。即:則回歸直線的兩平行線。

        表3 普通商品混凝土 C30配合比實(shí)例

        表4 混凝土強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差

        以表3普通 C30商品混凝土為例:

        已知:W/B=0.46,X0=B/W=2.169,質(zhì)量控制水平S=3.5MPa

        代入公式:

        混凝土‘預(yù)測(cè)’置信度的有關(guān)規(guī)則對(duì)我們的啟示是:強(qiáng)度是一個(gè)隨機(jī)變量,在生產(chǎn)中由于受到許多難以控制因素的影響,強(qiáng)度值的波動(dòng)不可避免。既使是在置信度68% 范圍內(nèi),C30混凝土的在生產(chǎn)檢驗(yàn)中強(qiáng)度的波動(dòng)可能在34.7~41.7MPa 之間,高低之差在20% 以上。在置信度95% 范圍內(nèi),波動(dòng)也可能在31.4~45.4MPa 之間,可能出現(xiàn)的高低之差,將達(dá)到30% 以上。由此,我們?cè)诨炷翆?duì)比試驗(yàn)中根據(jù)取值的判斷應(yīng)慎重,不能僅跟據(jù)一組試驗(yàn)的取值結(jié)果,就判斷其優(yōu)劣。不同條件下的對(duì)比,更不能簡(jiǎn)單下結(jié)論。數(shù)據(jù)的取值應(yīng)遵循一定的條件和一定的取值法則,否則可能得出錯(cuò)誤的結(jié)論。關(guān)于數(shù)據(jù)的合理取值,需另在專項(xiàng)討論中論述,這里只是提醒關(guān)注非確定性數(shù)據(jù)隨機(jī)變量的特點(diǎn)。

        3.3控制

        (1)控制什么?控制的許可范圍有多大?

        所謂控制,就是在生產(chǎn)過(guò)程中對(duì)給定的原材料,對(duì)混凝土強(qiáng)度影響最大的水膠(灰)比在置信度95% 即范圍內(nèi),應(yīng)控制在什么范圍?才能滿足抗壓強(qiáng)度合格95% 的要求。工程實(shí)踐告訴我們對(duì)混凝土的質(zhì)量控制,對(duì)給定原材料,影響最大的是水膠(灰)比,在生產(chǎn)過(guò)程中必須時(shí)刻關(guān)注砂石含水量的變化,即時(shí)采取應(yīng)對(duì)措施并嚴(yán)格禁止現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)加水,始終將水膠比控制在一個(gè)許可范圍,做到預(yù)防在先確?;炷临|(zhì)量。如3.2章節(jié)實(shí)例 C30混凝土,原設(shè)定的水膠比期望值 W/B=0.46

        計(jì)算結(jié)果表明:在95% 的置信度內(nèi),以 W/B=0.46為中心,水膠比應(yīng)控制在0.41~0.52范圍內(nèi)。既不能大于0.52,也不必低于0.41。此一要求正好與“規(guī)程”中除按配制強(qiáng)度計(jì)算得到的 W/B 估算值進(jìn)行試配外,還須另外(W/ B±0.05)做三個(gè)配合比試配是一致的。如 C30的 W/B 估算值,W/B=0.46,它的 ±0.05,與要求質(zhì)量控制的 W/B 在(0.41~0.52≈0.46±0.05=0.41~0.51)基本一致。合格的混凝土抗壓強(qiáng)度可有95% 的大概率將出在這個(gè)范圍。水膠比必須<0.52,否則混凝土抗壓強(qiáng)度有可能低于30MPa,出現(xiàn)不合格。

        (2)實(shí)際生產(chǎn)中水膠比不變是相對(duì)的,變是絕對(duì)的。我們目標(biāo)只能是控制在一個(gè)許可范圍內(nèi)。

        (未完待續(xù))

        [1] 重慶建筑工程學(xué)院,南京工學(xué)院合編.混凝土學(xué)[M].北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社,1981,7

        [2] [美]戴維·達(dá)爾文﹙Darid Darwid﹚著.混凝土[M].吳科如,張雄,姚武,等譯,北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2005,1.

        [3] [日]笠井芳夫著材料科學(xué)導(dǎo)論[M].張綬慶譯,北京:中國(guó)建筑出版社,1981,2.

        [4] 浙江大學(xué)盛驟,謝式千,潘承毅著.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版) [M].北京:高等教育出版社1989,8.

        [5] 王永逵,陸吉祥,著.材料試驗(yàn)與質(zhì)量管理的數(shù)學(xué)方法[M].北京:中國(guó)鐵道出版社,1990.

        [6] [英]F·M·李著.水泥和混凝土化學(xué)(第三版)[M].唐明述等譯.北京:中國(guó)建工出版社,1980.

        [7] 王元.減水劑的應(yīng)用對(duì)使用水灰比定則的影響[J].商品混凝土,2013(3):1-6.

        [通訊地址]上海松江區(qū)榮樂(lè)中路228弄北九峰小區(qū)152號(hào)302室(201600)

        王永逵(1934—),前蘭州鐵道學(xué)院土木系建材室主任。

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