顧金峰

勾股定理的起源與發(fā)展

顧金峰

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勾股定理是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本定理，是幾何學(xué)中的明珠，既重要又簡單.其簡單表述為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

關(guān)于勾股定理的起源，各國各民族都有不同的記載.據(jù)西方的文字記載，畢達(dá)哥拉斯于公元前550年發(fā)現(xiàn)了該定理.在中國，西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄的商高同周公的一段對話描述了勾股定理的由來，由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話語中，所以人們也把這個(gè)定理叫做“商高定理”.看來，我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了．

關(guān)于勾股定理的名稱，在我國，以前叫畢達(dá)哥拉斯定理，這是隨西方數(shù)學(xué)傳入時(shí)翻譯的名稱.20世紀(jì)50年代，學(xué)術(shù)界曾展開過關(guān)于這個(gè)定理命名的討論，最后用“勾股定理”，得到教育界和學(xué)術(shù)界的普遍認(rèn)同.1993年，全國自然科學(xué)名詞審定委員會(huì)公布數(shù)學(xué)名詞，確定這一定理的漢文名稱為勾股定理，其對應(yīng)的英文名是Pythagoras theorem，注釋中說：“又稱‘畢達(dá)哥拉斯定理’.曾用名‘商高定理’.”至此，“勾股定理”成為我國確立的標(biāo)準(zhǔn)名稱.

勾股定理在幾何學(xué)中，充滿著無限魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至還有國家總統(tǒng).1940年，一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯出版了，其中收集了367種不同的證明方法.實(shí)際上還不止這么多，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了20多種精彩的證法.這是任何定理無法比擬的.在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名.下面我們就來介紹一下其中的4種著名的勾股定理證法.

法1——弦圖法

用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖1所示的大正方形，這個(gè)圖形被稱為“弦圖”，最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的.弦圖中每一個(gè)直角三角形涂朱色，它們的面積叫做“朱實(shí)”，中間的一個(gè)小正方形涂黃色，它的面積叫做“中黃實(shí)”，也叫“差實(shí)”，以弦為邊的大正方形面積叫做“弦實(shí)”，“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)，亦成弦實(shí).”也就是

圖1

法2——面積剖分法

據(jù)傳這是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明.用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成圖2，也可以拼成圖3，這兩個(gè)大正方形的邊長都為（a+b），面積相等.把這兩個(gè)圖形中的四個(gè)直角三角形除去后，剩余部分的面積應(yīng)該相等，即圖2中的c2等于圖3中a2與b2的和，也就是a2+b2=c2.

圖2

圖3

法3——總統(tǒng)證法

1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭論，時(shí)而小聲探討.好奇心使然，伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么.只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形.于是伽菲爾德便問他們在干什么，那個(gè)小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀.”小男孩又問道：“如果兩條直角邊長分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方.”小男孩又說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了，心里很不是滋味.于是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題.他經(jīng)過反復(fù)思考與演算，終于弄清了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法.

如圖4，梯形由三個(gè)直角三角形組合而成，利用面積公式列出代數(shù)關(guān)系式：化簡后就是a2+b2= c2.

5年后，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他這種直觀、簡捷、易懂的證明方法，就把這一證法稱為勾股定理的“總統(tǒng)證法”，這在數(shù)學(xué)史上傳為佳話.

圖4

法4——?dú)W幾里得法

圖5是歐幾里得編纂的《幾何原本》中證明勾股定理的方法，四邊形ABFE、AJKC、BCIH分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形.過C點(diǎn)作AB的垂線，交AB于點(diǎn)D，交FE于點(diǎn)G，連接HA、CF.通過證明△ABH≌△FBC（SAS），可得△ABH與△FBC等面積，而正方形BCIH的面積=BH·HI=2△ABH的面積，矩形BFGD的面積=BF·FG=2△FBC的面積，得到正方形BCIH與矩形BFGD等面積，同理正方形AJKC與矩形DGEA也等面積，所以正方形ABFE的面積=矩形BFGD的面積+矩形DGEA的面積，即正方形ABFE的面積=正方形BCIH的面積+正方形AJKC的面積，于是推得AB2=AC2+BC2，也就是a2+ b2=c2.證明嚴(yán)謹(jǐn)，反映了勾股定理的幾何意義.

圖5

證明中的剖分法、割補(bǔ)法、拼拆法等蘊(yùn)涵著進(jìn)與退、分與合、動(dòng)與靜、變與不變、數(shù)與形、正向與逆向、直接與間接的辯證思想方法，不僅能加深我們對勾股定理的認(rèn)識(shí)，而且能引導(dǎo)大家感悟中西方數(shù)學(xué)家不同的思維特點(diǎn).從文化的角度對各種證法作比較和欣賞.這些方法不僅驗(yàn)證了勾股定理，而且豐富了人們研究數(shù)學(xué)問題的方法和策略，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.

2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，為弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)文明，大會(huì)選用了“弦圖”作為會(huì)標(biāo)的中心圖案，如圖6.

圖6

徐利治先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)美包括數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普通性，還有數(shù)學(xué)的奇異性.”勾股定理中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)美，在學(xué)習(xí)中同學(xué)們要善于發(fā)現(xiàn)美、欣賞美，并在美的指引下不斷去探索與發(fā)現(xiàn)，這也是數(shù)學(xué)文化教育的一種體現(xiàn).

勾股定理的圖形很美.“弦圖”簡潔大方，像一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，體現(xiàn)了圖形的對稱美.1995年，希臘專門為紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯定理發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票（圖7），充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)圖形和公式美的統(tǒng)一，將這一圖案不斷地延續(xù)下去，得到動(dòng)態(tài)美麗的“勾股樹”（圖8），如數(shù)學(xué)文化的生命之樹，生生不息.

數(shù)理哲學(xué)家羅素說：“數(shù)學(xué)如果正確看待它，不但擁有真理，而且具有至高的美.”數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為勾股定理可以作為人類探尋“外星人”、與“外星人”溝通的語言，因?yàn)楣垂啥ɡ淼膱D形語言是客觀存在的（圖9）.

圖7

圖8

圖9

數(shù)學(xué)文化教育在傳播數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，還傳播數(shù)學(xué)思想、方法、精神和文化，培養(yǎng)同學(xué)們求真、求善、求美、創(chuàng)新、探索的精神.揭示數(shù)學(xué)文化中所蘊(yùn)涵的哲學(xué)、美學(xué)、文學(xué)和語言學(xué)等文化基因，使大家能受到良好的文化熏陶.

(作者單位：江蘇省武進(jìn)區(qū)禮河實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

責(zé)任編輯：沈紅艷見習(xí)編輯：李詩