于合理，郝金明，劉偉平，田英國，鄧 科

1. 信息工程大學導(dǎo)航與空天目標工程學院，河南 鄭州 450001； 2. 北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 鄭州 450001

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附加原子鐘物理模型的PPP時間傳遞算法

于合理1,2，郝金明1,2，劉偉平1,2，田英國1,2，鄧 科1

1. 信息工程大學導(dǎo)航與空天目標工程學院，河南 鄭州 450001； 2. 北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南 鄭州 450001

傳統(tǒng)精密單點定位(PPP)時間傳遞算法通常把接收機鐘差當作相互獨立的白噪聲逐歷元進行估計，而忽略了鐘差參數(shù)歷元間的相關(guān)性。針對這一問題，本文提出了一種附加原子鐘物理模型的PPP時間傳遞算法。該算法通過利用Kalman濾波對高穩(wěn)定度的原子鐘鐘差進行建模，拓展傳統(tǒng)PPP時間傳遞模型中的接收機鐘差參數(shù)，并給出了Kalman濾波過程噪聲協(xié)方差和初始狀態(tài)向量的確定方法。試驗結(jié)果表明：該算法可以有效避免傳統(tǒng)算法時間傳遞結(jié)果需要一定收斂時間的問題，使解算結(jié)果更加符合原子鐘的物理特性，能夠顯著提高時間傳遞結(jié)果的精度和穩(wěn)定性，可將單站時間傳遞精度平均提高58%，站間時間傳遞精度平均提高51%。

原子鐘；物理模型；精密單點定位；時間傳遞

在高精度遠程時間傳遞中衛(wèi)星雙向時間頻率傳遞(two way satellite time and frequency transfer，TWSTFT)和精密單點定位(precise point positioning，PPP)時間傳遞技術(shù)是精度最高的兩種方法[1-3]。TWSTFT需要專門的中介衛(wèi)星建立通信鏈路，且參與雙方都需要專門的發(fā)射接收設(shè)備，設(shè)備價格昂貴，目前世界上只有少數(shù)較大的實驗室應(yīng)用。而PPP時間傳遞算法是單站作業(yè)，操作靈活方便，時間傳遞的精度可達亞納秒量級，其短期穩(wěn)定度甚至優(yōu)于TWSTFT技術(shù)[1-3]，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于時間傳遞領(lǐng)域。隨著國際GNSS服務(wù)組織(International GNSS Services,IGS)和國際時頻機構(gòu)的深入合作，許多實驗室已經(jīng)將PPP方法用于時間傳遞和原子時的計算[3]，國際計量局還將其用于維護協(xié)調(diào)世界時的運作[1]。文獻[1—5]對PPP時間傳遞技術(shù)進行了研究，并取得了良好效果。文獻[6—7]還對非組合PPP時間傳遞方法進行了研究，該方法能有效避免傳統(tǒng)PPP算法由于觀測值組合過程中觀測噪聲及多路徑效應(yīng)誤差被放大而造成的對接收機鐘差解算的不利影響，解算結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)PPP算法。傳統(tǒng)的PPP時間傳遞算法通常是將各歷元接收機鐘差看作相互獨立的白噪聲逐歷元進行估計，未充分發(fā)掘接收機鐘差參數(shù)在相鄰歷元間變化可能較為平穩(wěn)的約束信息。同時由于接收機鐘差、測站高程和對流層參數(shù)的高度相關(guān)，解算得到的鐘差序列往往會偏離接收機鐘差序列多項式的特性[8-9]，時間傳遞結(jié)果還會存在一定時間的收斂過程。為此，本文利用原子鐘的物理特性對接收機鐘差建模來進一步提高PPP時間傳遞的精度和穩(wěn)定性。

利用接收機鐘物理特性對鐘差進行建模的思想并不是最新提出的，美國噴氣推進實驗室(Jet Propulsion Laboratory，JPL)在20世紀80年代為了提高GNSS軌道等相關(guān)參數(shù)的精度就采用不同的隨機過程模型來對接收機鐘差和對流層進行建模[10]。但由于早期的接收機一般采用穩(wěn)定度較差的石英鐘，即使采用復(fù)雜的數(shù)學模型也無法準確描述石英鐘的運行特征，鐘差建模對解算結(jié)果的影響微乎其微。而目前許多時間實驗室都已經(jīng)配備了高穩(wěn)定度的原子鐘，這使通過鐘差物理建模提高時間傳遞精度變得可能。近年來眾多學者對鐘差建模進行了大量的研究，取得了豐碩的成果。在衛(wèi)星原子鐘建模方面，文獻[11]在顧及原子鐘物理模型的基礎(chǔ)上提出了適用于原子鐘的Kalman濾波器；文獻[12—15]進一步研究了原子鐘濾波過程中狀態(tài)矩陣和觀測噪聲矩陣的確定方法；文獻[16]利用原子鐘物理特性對鐘差建模實現(xiàn)了對銣原子鐘的狀態(tài)監(jiān)測。在接收機鐘差建模方面，文獻[17—19]對低軌衛(wèi)星星載接收機端的鐘差建模方法進行了研究；文獻[9]對高穩(wěn)定性地面接收機鐘的隨機模型進行了研究；文獻[8，20—21]對通過接收機鐘物理建模來提高定位精度和收斂速度進行了研究，并取得了一定的效果。目前針對接收機鐘差建模提高時間傳遞性能方面的研究較少，且處于起步階段。文獻[22]通過接收機鐘差建模對接收機鐘差參數(shù)估計進行了一些研究，但主要是針對石英晶振接收機，并不能有效提高時間傳遞精度。文獻[1]也對基于原子鐘鐘差模型的時間傳遞算法進行了初步的研究。

因此，本文利用原子鐘的物理特性，采用Kalman濾波方法對接收機鐘差進行建模，給出了Kalman濾波過程噪聲協(xié)方差矩陣、初始狀態(tài)向量及其協(xié)方差矩陣的確定方法，并重點分析了附加原子鐘物理模型對單站時間傳遞及站間時間同步結(jié)果的影響。

1 附加原子鐘物理模型的PPP時間傳遞算法

1.1 基本觀測模型

對于雙頻接收機，PPP時間傳遞算法一般采用消電離層組合觀測量[1]，觀測方程如下

(1)

(2)

1.2 附加原子鐘物理模型

原子鐘具有較高的頻率穩(wěn)定度，其鐘差通常采用簡單的一次多項式或二次多項式進行描述[23]。限于篇幅，本文僅以二次多項式為例進行分析

x(t)=a0+a1(t-t0)+a2(t-t0)2+εx(t)

(3)

式中，x(t)為t時刻的接收機鐘差；a0、a1、a2為確定性分量，分別表示參考時刻t0的初始鐘差、鐘速、鐘漂，當a2=0時，式(3)可簡化為線性模型；εx(t)為隨機變化的不確定性分量。

PPP時間傳遞算法通常采用Kalman濾波進行參數(shù)估計，一般是將接收機鐘差當作獨立的白噪聲，逐歷元估計鐘差參數(shù)，未充分發(fā)掘接收機鐘差參數(shù)在相鄰歷元間變化可能較為平穩(wěn)的約束信息。若考慮接收機鐘差歷元間的關(guān)系，可附加原子鐘的物理模型進行約束，拓展傳統(tǒng)PPP模型中的接收機鐘差參數(shù)，使解算的鐘差序列仍然體現(xiàn)原子鐘的物理特性。具體做法是在PPP時間傳遞基本觀測方程式(1)與式(2)估計接收機鐘差參數(shù)的基礎(chǔ)上，同時估計鐘速和鐘漂參數(shù)。此時觀測方程中未知參數(shù)為測站三維坐標參數(shù)、鐘差、鐘速、鐘漂、對流層和模糊度參數(shù)。為了便于推導(dǎo)和直觀地顯示附加鐘差模型的方法，公式推導(dǎo)過程僅考慮鐘差模型參數(shù)，觀測方程簡化為

Lk=AkXk+Δk

(4)

式中，Lk為觀測量；Ak=[100]為設(shè)計矩陣；Xk=[x(t+τ)y(t+τ)z(t+τ)]T為tk時刻的三維狀態(tài)向量，x(t)、y(t)、z(t)為接收機鐘差(時差)、鐘速(頻率)和鐘漂(頻漂)，τ為tk時刻與tk-1時刻的時間間隔；Δk為觀測噪聲。

Kalman濾波三維狀態(tài)空間方程為

(5)

令

(6)

可得狀態(tài)空間方程的簡化形式

Xk=Φk,k-1Xk-1+Wk

(7)

式中，Φk,k-1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Wk為三維過程噪聲向量，其協(xié)方差矩陣Q可以表示成過程噪聲參數(shù)的函數(shù)[13]

(8)

式中，q1、q2和q3分別可用調(diào)頻白噪聲、調(diào)頻隨機游走噪聲和調(diào)頻隨機奔跑噪聲來描述。

若原子鐘線性頻漂不明顯，可采用二維狀態(tài)模型來描述接收機的動態(tài)過程，此時狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和協(xié)方差陣需要根據(jù)三維狀態(tài)模型進行相應(yīng)的調(diào)整。

2 過程噪聲協(xié)方差矩陣的確定

系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差矩陣的確定是Kalman濾波的關(guān)鍵，可由原子鐘的濾波過程噪聲參數(shù)來表示。過程噪聲參數(shù)可以通過哈達瑪總方差或阿倫方差進行估計。

2.1 基于哈達瑪總方差的過程噪聲估計

原子鐘頻漂較明顯時，可采用哈達瑪總方差來估計過程噪聲參數(shù)?；跁r差數(shù)據(jù)的哈達瑪總方差計算公式為[5,24]

(9)

當同時考慮調(diào)相白噪聲和狀態(tài)方程中存在的3種調(diào)頻噪聲，且假設(shè)調(diào)相白噪聲與其他3種噪聲不相關(guān)時，可推導(dǎo)出公式[5]

(10)

式中，q0為對應(yīng)于調(diào)相白噪聲的測量噪聲參數(shù)。

2.2 基于阿倫方差的過程噪聲估計

原子鐘頻漂不明顯時，可以采用阿倫方差來估計過程噪聲參數(shù)?；跁r差數(shù)據(jù)阿倫方差計算公式為[5,24-25]

(11)

當同時考慮調(diào)相白噪聲和狀態(tài)方程中存在的3種調(diào)頻噪聲時，可推導(dǎo)出公式[5]

(12)

設(shè)定不同的采樣間隔，就可以得到不同的哈達瑪總方差(或阿倫方差)公式，聯(lián)立各式利用最小二乘算法即可解得過程噪聲參數(shù)q0、q1、q2和q3，進而確定系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差矩陣。

3 初始狀態(tài)向量及協(xié)方差確定

Kalman濾波算法需要給定初始狀態(tài)向量及其協(xié)方差矩陣。在無先驗信息時，通常令初始狀態(tài)向量為零向量，協(xié)方差矩陣為aI，其中a為很大的正數(shù)，I為單位矩陣，以確保濾波結(jié)果的無偏性。但在沒有先驗信息時，濾波器初始化會比較困難，且會影響濾波器的穩(wěn)定性。在進行連續(xù)解算或已知先驗信息時，若已知3個時差測量值l(0)、l(1)、l(2)，τ1、τ2為這3個觀測量的采樣間隔，則根據(jù)式(13)—式(21)即可確定狀態(tài)向量初值X(2)=[x(2)y(2)z(2)]以及協(xié)方差矩陣P(2)，其中協(xié)方差矩陣為對角陣[15-16]

x(2)=l(2)

(13)

(14)

(15)

P11(2)=q0

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

4 試驗分析

由JPL發(fā)布的“l(fā)oglist.txt”文件可知，截至2016年6月2日，IGS已經(jīng)有超過130個跟蹤站配備了高頻穩(wěn)度的原子鐘，其中71個配備了氫原子鐘[26]，這為本文算法性能的驗證提供了很大的便利。為了驗證附加原子鐘物理模型的PPP時間傳遞算法的應(yīng)用效果，選取2015年1月5日配備了氫原子鐘的WAB2、CRO1、PTBB、NRC1和MDVJ 5個IGS跟蹤站的觀測數(shù)據(jù)進行試驗分析。觀測數(shù)據(jù)采樣間隔為30 s，采用偽距和載波相位消電離層組合觀測量，偽距與載波相位的權(quán)比為1/10 000，高度截止角設(shè)為10°。試驗采用靜態(tài)模式進行處理，利用卡爾曼濾波估計三維坐標、接收機鐘差、鐘速、對流層延遲和模糊度參數(shù)。衛(wèi)星軌道和鐘差采用IGS提供的事后精密星歷和鐘差產(chǎn)品，為了避免衛(wèi)星和接收機硬件延遲偏差對接收機鐘差造成的系統(tǒng)性偏差影響，利用CODE發(fā)布的DCB產(chǎn)品對其進行改正[27]。分別采用以下兩種方案進行PPP解算。

方案1：將接收機鐘差當作白噪聲，采用傳統(tǒng)的逐歷元估計一維鐘差參數(shù)的方法。

方案2：顧及接收機鐘差歷元間的相關(guān)性，采用附加原子鐘物理模型的方法進行解算，過程噪聲由阿倫方差根據(jù)IGS事后精密產(chǎn)品解算得到。

目前IGS提供的事后接收機鐘差產(chǎn)品精度為75 ps，可將其作為真值進行比對。由于IGS事后精密鐘差產(chǎn)品的采樣間隔為5 min，因此本文以5 min為采樣間隔對方案1和方案2的時間傳遞精度進行分析。限于篇幅，僅給出了WAB2和CRO1兩跟蹤站采用兩種方案得到的結(jié)果與IGS時間序列對比，分別如圖1與圖2所示。同時將兩種方案的鐘差結(jié)果分別與IGS最終結(jié)果作差可以得到對應(yīng)的差值序列，圖3與圖4分別給出了WAB2和CRO1兩跟蹤站單站時間傳遞結(jié)果的差值序列。

從圖1—圖4可知：

(1) 方案2的收斂速度明顯快于方案1，單歷元就可以達到很高的精度。而方案1由于未使用原子鐘物理模型作為先驗信息進行約束，需要一定時間的收斂過程才能達到較高的精度，WAB2和CRO1兩測站分別需要22 min、35 min才能收斂。另外，對方案2得到的坐標，對流層和模糊度結(jié)果進行分析，其收斂速度均有一定程度的提高。

圖1 WAB2-GPST兩種方案結(jié)果與IGS時間序列對比Fig.1 WAB2-GPST results of the two schemes compared with IGS time series

圖2 CRO1-GPST兩種方案結(jié)果與IGS時間序列對比Fig.2 CRO1-GPST results of the two schemes compared with IGS time series

圖3 WAB2-GPST兩種方案時間傳遞結(jié)果與IGS差值序列Fig.3 Difference between WAB2-GPST results and IGS from two schemes

(2) 方案2由于附加了原子鐘物理模型，得到的接收機鐘差時間序列的連續(xù)性和穩(wěn)定性明顯優(yōu)于方案1，與IGS發(fā)布的事后精密鐘差結(jié)果的一致性較高，更能準確地描述接收機鐘差序列的變化規(guī)律。

圖4 CRO1-GPST兩種方案時間傳遞結(jié)果與IGS差值序列Fig.4 Difference between CRO1-GPST results and IGS from two schemes

(3) 從圖1明顯可以看出，方案1解算的鐘差序列略微偏離了接收機鐘本身的多項式特性，這是由于方案1解算的鐘差序列之間是相互獨立的，解算的過程中吸收了許多不屬于鐘差的其他誤差源而造成。方案2的濾波結(jié)果更能準確可靠地反映原子鐘的物理特性。

表1中給出了WAB2、CRO1、PTBB、NRC1和MDVJ5個跟蹤站相應(yīng)的誤差統(tǒng)計結(jié)果。表中SD為標準差(standarddeviation)，用來衡量鐘差誤差序列自身的離散程度，RMS為均方根誤差用來衡量鐘差估計值同真值之間的誤差。

表1 兩種方案結(jié)果時間傳遞精度

Tab.1 Accuracy of the time transferring results from different schemes ns

由表1可知，各測站方案2時間傳遞結(jié)果的SD和RMS均優(yōu)于方案1，方案1的鐘差解相對較為離散，方案2的鐘差解穩(wěn)定度較高，與IGS結(jié)果的符合程度更高。方案2附加原子鐘物理模型后，能夠顯著提高PPP時間傳遞的精度，可將WAB2、CRO1、PTBB、NRC1和MDVJ 5個跟蹤站的單站時間傳遞精度(RMS)分別提高71%、62%、73%、53%和33%，平均提高58%。該算法對于促進PPP時間傳遞技術(shù)在國際時間實驗室等高精度時間同步領(lǐng)域的應(yīng)用具有一定意義。

為了進一步分析本文算法應(yīng)用于站間時間同步中的精度，將各站利用PPP獲得的原子鐘的鐘差結(jié)果相減即可得到站間時間同步結(jié)果，表2給出了兩種方案得到的不同時間鏈路的時間同步序列的精度統(tǒng)計結(jié)果，為更好地觀察時間同步序列變化情況，圖5以CRO1-WAB2時間鏈路為例給出了站間時間同步結(jié)果同IGS結(jié)果的差值序列圖。

表2 兩種方案時間同步結(jié)果精度

Tab.2 Accuracy of the time transferring results from different schemes ns

圖5 CRO1-WAB2鏈路兩方案時間同步結(jié)果與IGS結(jié)果差值序列Fig.5 Difference between CRO1-WAB2 results and IGS from two schemes

根據(jù)表2和圖5可知，方案2得到的站間時間同步結(jié)果的精度明顯優(yōu)于方案1，與IGS時間同步結(jié)果一致性較高，能夠可靠地描述測站間時間同步序列的變化規(guī)律。由圖5可知，方案1采用傳統(tǒng)算法CRO1-WAB2鏈路需要大約35 min才能收斂，而方案2附加原子鐘物理模型后幾乎不需要收斂時間即可達到很高的精度。方案2相比方案1，能夠?qū)RO1-WAB2、CRO1-PTBB、CRO1-NRC1和CRO1-MDVJ鏈路的站間時間同步精度分別提高51%、49%、29%和73%，平均提高51%。

5 結(jié) 論

鑒于當前許多國際時頻實驗室和IGS跟蹤站均配置有高性能原子鐘，本文通過附加原子鐘物理模型對現(xiàn)有PPP時間傳遞模型進行改進，使用Kalman濾波對接收機原子鐘進行鐘差建模，研究了Kalman濾波中系統(tǒng)過程噪聲協(xié)方差矩陣、初始狀態(tài)向量及協(xié)方差的確定方法，并重點分析了附加原子鐘物理模型對單站時間傳遞及站間時間同步結(jié)果的影響。試驗結(jié)果表明：附加原子鐘物理模型后，解決了傳統(tǒng)算法中收斂過程的耗時問題，顯著提高單站時間傳遞和站間時間同步的精度，可將單站時間傳遞精度平均提高58%，尤其是WAB2和PTBB站精度提高水平高達71%和73%，同時可將站間時間同步精度平均提高51%。研究附加原子鐘物理模型的PPP時間傳遞算法，對于國際時間實驗室實現(xiàn)高精度的時間傳遞具有一定的參考意義，對于拓展GNSS在時頻傳遞領(lǐng)域的應(yīng)用具有重要意義。本文算法并非適用于所有的GNSS接收機，其前提是要判定接收機鐘本身的物理特性。它要求接收機配備有高精度和高穩(wěn)定的原子鐘，否則加入鐘差物理模型后不但不能提高時間傳遞精度，反而會引起比較大的誤差。

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(責任編輯：叢樹平)

A Time Transfer Algorithm of Precise Point Positioning with Additional Atomic Clock Physical Model

YU Heli1,2，HAO Jinming1,2，LIU Weiping1,2，TIAN Yingguo1,2，DENG Ke1

1. School of Navigation and Aerospace Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China; 2. BeiDou Navigation Technology Collaborative Innovation Center of Henan, Zhengzhou 450001, China

In the traditional time transfer algorithms of precise point positioning, the receiver clock offset is estimated epoch by epoch as independent white noise and the short-term correlation between the epoch of the atomic clock offset is ignored. In order to solve this problem, a time transfer algorithm of precise point positioning with additional atomic clock physical model is proposed. The receiver clock parameters are expanded in the traditional model of precise point positioning by using Kalman filter to model the clock errors of high stability atomic clock, and the method of determining the covariance matrices of process noise and the initial state vector of the Kalman filter is presented. Experimental results show that the proposed algorithm can effectively avoid the convergence process of the traditional precise point positioning algorithm, and the result of the algorithm is more consistent with the physical properties of the atomic clock, this algorithm can significantly improve the accuracy and stability of the time transfer results, the accuracy of time transfer results of single station can be increased on average by 58%, and the accuracy of time synchronization between stations can be improved on average by 51%.

atomic clock; physical model; precise point positioning; time transfer

Specific Project of Chinese Second-generation Satellite Navigation System (No. GFZX0301040308); The Open Research Foundation of State Key Laboratory of Geo-information Engineering (No. SKLGIE2015-M-1-6)

YU Heli(1989—)，male，PhD candidate，majors in GNSS time and frequency transfer.

于合理，郝金明，劉偉平，等.附加原子鐘物理模型的PPP時間傳遞算法[J].測繪學報，2016,45(11)：1285-1292.

10.11947/j.AGCS.2016.20160217.

YU Heli，HAO Jinming，LIU Weiping，et al.A Time Transfer Algorithm of Precise Point Positioning with Additional Atomic Clock Physical Model[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(11):1285-1292. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20160217.

P228

A

1001-1595(2016)11-1285-08

中國第二代衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)重大專項(GFZX0301040308)；地理信息工程國家重點實驗室開放研究基金(SKLGIE2015-M-1-6)

2016-05-05

修回日期： 2016-09-05

于合理(1989—)，男，博士生，研究方向為GNSS時頻傳遞方法。

E-mail： yuhl1989@163.com