王獻鋒, 王震, 張善文, 惠小健

(西京學(xué)院 應(yīng)用理學(xué)系， 陜西 西安 710123)

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非線性機電換能器混沌系統(tǒng)的分數(shù)階控制及其電路仿真

王獻鋒, 王震, 張善文, 惠小健

(西京學(xué)院 應(yīng)用理學(xué)系， 陜西 西安 710123)

通過數(shù)值分析計算一類自激機電換能器耦合系統(tǒng)的分叉、最大Lyapunov指數(shù)等混沌特性，并運用分數(shù)階穩(wěn)定性理論及Gershgorin圓定理證明并構(gòu)造兩個反饋控制器.采用所提方法，運用Multisim軟件對機電控制系統(tǒng)進行電路實驗仿真驗證.實驗結(jié)果表明：所設(shè)計的分數(shù)階控制器對機電換能器的混沌控制是有效的，同時，電路設(shè)計具有可行性和可實現(xiàn)性.

機電換能器； 分數(shù)階控制器； Vanderpol-Duffing振子； 混沌控制; 電路仿真

在電力系統(tǒng)等工程實際應(yīng)用中,存在大量耦合Vanderpol-Duffing振子，其表現(xiàn)出來的混沌復(fù)雜性問題已成為研究的熱點.為了研究耦合振子的動力學(xué)及分叉行為，奇異性理論、平均法、諧波平衡法等方法[1-2]被提出并利用.文獻[3-4]考慮具有自動頻率跟蹤功能的電磁振動給料機的機電耦合系統(tǒng)的余維2動態(tài)分叉.張永祥等[5]研究振動篩系統(tǒng)余維3分岔行為.隨著人們對機電耦合混沌系統(tǒng)的深入研究，大量的復(fù)雜非線性現(xiàn)象及系統(tǒng)的內(nèi)在混沌動力學(xué)行為被揭示，同時，基于不同策略的混沌控制與同步方法在實驗和應(yīng)用中得到廣泛驗證.王從慶等[6]對三連桿空間機械臂系統(tǒng)，給出了魯棒Proportional-Derivtive(PD)補償控制、延遲反饋控制和模態(tài)力最優(yōu)控制策略.文獻[4-8]就一類機電耦合Vanderpol-Duffing系統(tǒng)，分別給出自適應(yīng)反步控制及無源化控制方案.文獻[9-11]對耦合Vanderpol-Duffing振子分別提出廣義同步、延遲反饋控制、雙Hopf分叉控制等方法.Arena等[12]研究低于2階的分數(shù)階非自治Duffing混沌系統(tǒng)；Li等[13]研究階數(shù)小于3階的分數(shù)階混沌振蕩電路的同步理論.由于分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義還不清楚，尤其是在非線性系統(tǒng)理論中，分數(shù)階混沌系統(tǒng)理論還非常不成熟，所以，目前分數(shù)階混沌系統(tǒng)理論主要以數(shù)值仿真實驗為主.因此，本文運用分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)[14]對一類耦合Vanderpol-Duffing振子機電系統(tǒng)，即

(1)

設(shè)計了兩種分數(shù)階微分反饋控制器，并通過電路仿真對控制策略進行了驗證.

1 分叉動力學(xué)

選取ε2=0.009 87，ε1=2.466，ω2=1，c=0，p=3.518，q=0.808，系統(tǒng)發(fā)生逆向倍式分叉,如圖1所示.相應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖，如圖2所示.由圖2可知：隨著參數(shù)的減少，系統(tǒng)狀態(tài)經(jīng)過周期運動進入混沌運動.

圖1 參數(shù)ω1的分叉圖 圖2 參數(shù)ω1的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.1 Bifurcation diagram with ω1 Fig.2 Largest Lyapunov exponent diagram with ω1

2 分數(shù)階控制

引理1[15]假設(shè)x=0是自治系統(tǒng)dαx/dtα=A(x)x的一個平衡點，如果A(x)的任意特征值λ滿足|arg(λ)|>απ/2，則系統(tǒng)平衡點漸近穩(wěn)定.

(2)

由文獻[13]可知式(2)各局部動力學(xué)行為，為了對式(2)進行控制，取控制系統(tǒng)為

(3)

定理Ⅰ 當(dāng)l1>1,l2>M2+pε2+ε1+1>0,l3>2,l4>1+M4-ε2>0,0

定理Ⅱ 當(dāng)式(2)在常點Z0處的Jacobian矩陣不存在正實特征值時，可經(jīng)過控制器穩(wěn)定到常點.

(4)

2) 如果Z0是式(2)的常點，則式(3)變?yōu)?/p>

(5)

且Z0為式(5)的平衡點，式(5)與(2)在Z0點處有相同的Jacobian矩陣，根據(jù)定理條件，則存在0<α0<1，且|arg(λ)|≥α0π/2，故0

圖3 1/s0.9的單元電路Fig.3 Cell circuit of 1/s0.9

3 電路仿真

為了便于進行仿真實驗，取與文獻[14]相同的參數(shù)值，此時式(2)只含有一個零平衡點，即Z0=(0,0,0,0)T，取α=[0.9,0.9,0.9,0.9]T，分數(shù)階1/s0.9的單元電路，如圖3所示，其相應(yīng)的電路方程為

圖4 式(4)的電路原理圖Fig.4 Circuit diagram of system (4)

圖5 式(4)的穩(wěn)定狀態(tài) 圖6 式(5)的穩(wěn)定狀態(tài)Fig.5 Stable state of system (4) Fig.6 Stable state of system (5)

4 結(jié)束語

運用分數(shù)階微積分理論及Gershgorin圓定理，結(jié)合反饋控制法對一類Vanderpol-Duffing耦合機電系統(tǒng)設(shè)計了兩個分數(shù)階微分反饋控制器.同時，給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論證明.運用模塊化設(shè)計方法對控制策略進行電路設(shè)計與實驗，證實了分數(shù)階微分反饋控制器的可行性及可實現(xiàn)性.

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(責(zé)任編輯： 黃曉楠 英文審校： 崔長彩)

Fractional Order Control and Circuit Simulation for Nonlinear Electromechanical Transducer Chaotic System

WANG Xianfeng, WANG Zhen, ZHANG Shanwen, XI Xiaojian

(Department of Applied Science, Xijing University, Xi′an 710123, China)

The chaos feature of the bifurcation and the largest Lyapunov exponent for a self-sustained electromechanical transducer coupled system are obtained by numerical analysis in this paper. According to the theories of fractional order calculus and the Gershgorin cycle theorem, two fractional order feedback controllers of this system are designed. The circuit implementation is simulated using Multisim for electromechanical control system by the proposed methods. And the simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed fractional order controller for the chaos control of electromechanical transducer. Meanwhile, the circuit design is feasible and can be realized.

electromechanical transducer; fractional order controller; Vanderpol-Duffing oscillator; chaos control; circuit simulations

10.11830/ISSN.1000-5013.201606020

2016-10-13

王獻鋒(1965-)，男，副教授，主要從事非線性系統(tǒng)模型控制與優(yōu)化的研究.E-mail:williamwangz@yeah.net.

國家自然科學(xué)基金資助項目(61473237)； 陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃項目(2016JM1024)； 陜西省教育廳科研計劃項目(15JK2181)； 西京學(xué)院科研基金資助項目 (XJ130244)

TP 273; TM 346

A

1000-5013(2016)06-0762-04