唐勝蘭， 俞縉， 張建智， 周雨晴

(1. 華僑大學(xué) 福建省隧道與城市地下空間工程技術(shù)研究中心， 福建 廈門 361021；2. 華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 廈門 361021)

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顧及沉積巖應(yīng)變強(qiáng)化與擴(kuò)容效應(yīng)的圍巖彈塑性力學(xué)狀態(tài)理論分析

唐勝蘭1,2， 俞縉1,2， 張建智1,2， 周雨晴1,2

(1. 華僑大學(xué) 福建省隧道與城市地下空間工程技術(shù)研究中心， 福建 廈門 361021；2. 華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 廈門 361021)

根據(jù)非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則與中主應(yīng)力表達(dá)式，顧及沉積巖應(yīng)變強(qiáng)化和擴(kuò)容效應(yīng)，推導(dǎo)基于冪強(qiáng)化-理想塑性本構(gòu)模型和Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則的應(yīng)力、位移、塑性區(qū)半徑的解析解.將文中解、冪強(qiáng)化解、冪強(qiáng)化-理想塑性解進(jìn)行比較，分析冪強(qiáng)化指數(shù)與擴(kuò)容角對(duì)解析解的影響規(guī)律.結(jié)果表明：冪強(qiáng)化指數(shù)對(duì)圍巖穩(wěn)定性有較大的影響；擴(kuò)容程度的變化對(duì)圍巖應(yīng)力和位移的影響隨著擴(kuò)容角及原巖應(yīng)力的增加而增大；當(dāng)隧洞圍巖受到應(yīng)變強(qiáng)化和擴(kuò)容效應(yīng)共同影響時(shí)，冪強(qiáng)化指數(shù)與擴(kuò)容角越大，隧洞圍巖位移越為敏感，對(duì)圍巖穩(wěn)定十分不利.

隧道工程； 彈塑性解； 中主應(yīng)力； 擴(kuò)容； 冪強(qiáng)化模型

沉積巖巖層分布極為廣泛，該類巖石在屈服過程中會(huì)發(fā)生應(yīng)變強(qiáng)化現(xiàn)象[1-3]，且強(qiáng)度大致呈現(xiàn)冪函數(shù)形式增長(zhǎng)，其彈塑性力學(xué)響應(yīng)顯著區(qū)別于理想彈塑性模型.很多學(xué)者基本沒有針對(duì)隧洞圍巖的類別進(jìn)行彈塑性分析.劉志欽等[4]采用考慮中主應(yīng)力影響的DP準(zhǔn)則進(jìn)行分析，假設(shè)原巖為理想彈塑性體.潘陽(yáng)等[5]采用HB準(zhǔn)則進(jìn)行彈塑性分析，假設(shè)原巖為線彈性體.侯公羽等[6]探討了應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)較強(qiáng)巖石隧洞圍巖受力的數(shù)學(xué)模型，但是假設(shè)圍巖為塑性不可壓縮體.為了求解方便，眾多文獻(xiàn)[7-10]也假定圍巖塑性區(qū)體積不變.在實(shí)際工程中，隧洞一經(jīng)挖掘，會(huì)引起圍巖的擴(kuò)容，嚴(yán)重影響工程巖體的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[11-13]從不同角度詮釋了擴(kuò)容行為是圍巖塑性力學(xué)分析的至要因素.本文采用冪強(qiáng)化-理想塑性模型和平面應(yīng)變理論，考慮擴(kuò)容性能的巖土體中主應(yīng)力計(jì)算式；求解軸對(duì)稱圓形隧洞的應(yīng)力、位移、塑性區(qū)半徑的解析解；深入探討冪強(qiáng)化指數(shù)和擴(kuò)容角對(duì)圍巖穩(wěn)定性的共同影響.

1 力學(xué)模型及假定

應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)較強(qiáng)的巖石隧洞，其力學(xué)分析是與擴(kuò)容行為相關(guān)的復(fù)雜問題.為了抓住關(guān)鍵問題，作以下基本假設(shè)：1) 圓形隧洞(半徑為R0)開挖于各向同性的冪強(qiáng)化-理想塑性巖體中，原巖應(yīng)力p0表現(xiàn)為各向等壓，如圖1所示;2) 圓形隧洞深埋(z≥20R0)且縱向無(wú)限長(zhǎng)，其力學(xué)分析服從平面應(yīng)變假設(shè)；3) 以壓應(yīng)力為正，以向隧洞中心發(fā)展的位移為正.

三軸壓縮下的等效應(yīng)力σi和等效應(yīng)變?chǔ)舏分別為

(1)

式(1)中：σr,σθ和σz分別為圍巖徑向應(yīng)力、切向應(yīng)力和軸向應(yīng)力；εr,εθ和εz分別為圍巖徑向應(yīng)變、切向應(yīng)變、軸向應(yīng)變.

圖1 巖石隧洞力學(xué)模型 圖2 隧洞巖體本構(gòu)關(guān)系Fig.1 Calculation model of rock tunnel Fig.2 Constitutive relationship of tunnel rock

若圍巖適用于冪強(qiáng)化模型，則冪強(qiáng)化區(qū)與塑性區(qū)的力學(xué)分析均涉及塑性行為[6]，在這過程中擴(kuò)容影響是不可忽略的.平面應(yīng)變條件下，考慮擴(kuò)容影響的塑性中主應(yīng)力[14]為

(2)

式(2)中：ψ為擴(kuò)容角.DP準(zhǔn)則[4]為

(3)

2 圍巖的力學(xué)分析

2.1 冪強(qiáng)化區(qū)

(4)

式(4)中：C1為積分常數(shù).將應(yīng)變分量式(4)代入式(1)中的等效應(yīng)變，并考慮軸向應(yīng)變?chǔ)舲=0，得

(5)

將式(2)代入式(1)中的等效應(yīng)變，注意σθ>σr，再代入平衡方程，結(jié)合本構(gòu)關(guān)系可得

(6)

(7)

(8)

將積分常數(shù)C1代入式(7),得到徑向應(yīng)力σr.結(jié)合式(2),(8)得到圍巖冪強(qiáng)化區(qū)應(yīng)力表達(dá)式為

(9)

式(9)中：B為待定系數(shù).

2.2 塑性區(qū)

將軸向應(yīng)力σz、應(yīng)力第一不變量I1和偏應(yīng)力第二不變量J2代入DP屈服準(zhǔn)則，化簡(jiǎn)得

(10)

由式(10)結(jié)合平衡方程進(jìn)行積分,可得

(11)

結(jié)合式(2)，(11)及積分常數(shù)C2，可得圍巖塑性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式為

(12)

將待定系數(shù)B代入式(9),可得隧洞周邊達(dá)到屈服極限后的圍巖冪強(qiáng)化應(yīng)力解為

(13)

當(dāng)r=Rp時(shí)，將式(13)代入本構(gòu)關(guān)系，得等效應(yīng)力為

(14)

(15)

當(dāng)r=R0時(shí)，隧洞周邊處位移為

(16)

若擴(kuò)容角ψ=0°時(shí)，即擴(kuò)容參數(shù)β=1，不考慮圍巖擴(kuò)容，則圍巖退化為塑性不可壓縮的材料，那么計(jì)算出來的彈塑性解與侯公羽解[6]的函數(shù)形式一致.

3 分析與討論

計(jì)算參數(shù)：R0=3m;c=6MPa;φ=40°;G=15GPa;p0=6MPa(常規(guī)應(yīng)力場(chǎng))及p0=30MPa(高地應(yīng)力場(chǎng)).冪強(qiáng)化參數(shù):n=0.9;m=G=15GPa.

3.1 對(duì)比分析

(a) 常規(guī)應(yīng)力場(chǎng)(p0=6 MPa) (b) 高地應(yīng)力場(chǎng)(p0=30 MPa)圖3 隧洞圍巖應(yīng)力曲線Fig.3 Curve of surrounding rock stress

3種不同解答下圍巖應(yīng)力分布,如圖3所示.由圖3可知：在常規(guī)應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，文中解(ψ=0°)居于冪強(qiáng)化解和冪強(qiáng)化-理想塑性解二者之間，這是圍巖受力平衡的外在體現(xiàn)，也是考慮擴(kuò)容影響所致；高地應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，三者的計(jì)算結(jié)果基本相同，無(wú)明顯差別.但是冪強(qiáng)化模型和冪強(qiáng)化-理想塑性模型的計(jì)算結(jié)果沒有塑性區(qū)，即圍巖受力尚處于冪強(qiáng)化階段，而文中模型(ψ=0°)的計(jì)算結(jié)果有塑性區(qū).對(duì)比圖3(a)，(b)可知：參數(shù)α,κ對(duì)常規(guī)應(yīng)力場(chǎng)的影響大于高地應(yīng)力場(chǎng)，且對(duì)于σθ,σr的影響大于σz.

(a) 常規(guī)應(yīng)力場(chǎng)(p0=6 MPa) (b) 高地應(yīng)力場(chǎng)(p0=30 MPa)圖4 隧洞圍巖位移曲線Fig.4 Curve of surrounding rock displacements

圖5 隧洞周邊位移與原巖應(yīng)力的關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between displacements around tunnel and in-situ stress

隧洞圍巖位移u與r/R0的關(guān)系，如圖4所示.在常規(guī)應(yīng)力場(chǎng)中，3種不同解析模型的計(jì)算結(jié)果有異，歸因于DP屈服準(zhǔn)則中α,κ的計(jì)算不同.當(dāng)r/R0相同時(shí)，隨著擴(kuò)容角ψ的增加，隧洞圍巖位移增大且發(fā)展變快.而擴(kuò)容角ψ越大，隧洞圍巖位移敏感性越高.這與擴(kuò)容的實(shí)際影響相符[16-18].在高地應(yīng)力場(chǎng)中，冪強(qiáng)化模型與冪強(qiáng)化-理想塑性模型的計(jì)算結(jié)果稍小于文中解(ψ=0°).由圖3，4可知：α,κ對(duì)常規(guī)應(yīng)力場(chǎng)的影響比高地應(yīng)力場(chǎng)大.

不同解析模型得到的洞壁位移，如圖5所示.文中解(ψ=0°)稍大于文獻(xiàn)[6]的解，主要是擴(kuò)容影響所致.隨著擴(kuò)容角ψ的增加，擴(kuò)容參數(shù)增大，隧洞周邊位移明顯增加且發(fā)展變快.擴(kuò)容角越大，隧洞周邊位移對(duì)高地應(yīng)力的敏感性越高.取擴(kuò)容角ψ=0°，當(dāng)原巖應(yīng)力p0=14.297MPa時(shí)，圍巖進(jìn)入塑性狀態(tài)，而取擴(kuò)容角ψ=30°，當(dāng)原巖應(yīng)力p0=6.067MPa時(shí)，圍巖就已經(jīng)出現(xiàn)塑性區(qū).可見，擴(kuò)容角對(duì)隧洞周邊位移有較大的影響，所以考慮隧洞圍巖的擴(kuò)容影響更貼合工程實(shí)際情況[19-20].

3.2 擴(kuò)容效應(yīng)

圖6 塑性區(qū)半徑與原巖應(yīng)力的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between plastic zone radius and in-situ stress

塑性區(qū)半徑與原巖應(yīng)力的關(guān)系曲線，如圖6所示.隧洞圍巖變形可用圍巖的塑性區(qū)半徑Rp的大小進(jìn)行判斷，Rp值越大，隧洞越不穩(wěn)定.在擴(kuò)容效應(yīng)下，隨著原巖應(yīng)力的增加，圍巖的塑性區(qū)半徑逐漸增加.而在相同地應(yīng)力場(chǎng)下，隨著擴(kuò)容角增加，塑性區(qū)半徑也呈遞增的趨勢(shì)，且Rp/R0-p0關(guān)系曲線的斜率逐漸增大.由此可見，擴(kuò)容角對(duì)圍巖塑性區(qū)半徑有較大的影響，進(jìn)而較大的影響到隧洞圍巖的穩(wěn)定性.

在不同擴(kuò)容角ψ下，圍巖應(yīng)力分布規(guī)律，如圖7所示.由圖7(a)可知：在常規(guī)應(yīng)力場(chǎng)中，原巖應(yīng)力p0=6MPa時(shí)，圍巖沒有產(chǎn)生塑性區(qū)，圍巖受力尚處于冪強(qiáng)化階段.隨著擴(kuò)容角增加，圍巖應(yīng)力σr,σz逐漸增加，而對(duì)于切向應(yīng)力σθ，當(dāng)r/R0大約在1.8時(shí)，曲線出現(xiàn)了大小值交換現(xiàn)象.由圖7(b)可知：在高地應(yīng)力場(chǎng)中，圍巖出現(xiàn)塑性區(qū)，在塑性階段時(shí)，擴(kuò)容角ψ越小，圍巖應(yīng)力越大.在冪強(qiáng)化階段，隨著擴(kuò)容角增加，圍巖應(yīng)力σθ,σz逐漸增加；當(dāng)r/R0大約在1.8時(shí)，徑向應(yīng)力σr的曲線出現(xiàn)了大小值交換現(xiàn)象.

(a) 常規(guī)應(yīng)力場(chǎng)(p0=6 MPa) (b) 高地應(yīng)力場(chǎng)(p0=30 MPa)圖7 圍巖三維應(yīng)力分布的擴(kuò)容角敏感性分析Fig.7 Dilatancy angle sensitivity analysis of three dimensional stress distribution of surrounding rock

3.3 應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)(原巖應(yīng)力p0=30 MPa時(shí))

圖8 塑性區(qū)半徑與n的關(guān)系曲線Fig.8 Relationship between plastic zone radius and n

塑性區(qū)半徑與冪強(qiáng)化指數(shù)的關(guān)系曲線，如圖8所示.當(dāng)n值較小時(shí)，關(guān)系曲線出現(xiàn)了大小值交換現(xiàn)象.隧洞圍巖的塑性區(qū)半徑隨著冪強(qiáng)化指數(shù)n的增大而增大.對(duì)于相同的冪強(qiáng)化指數(shù)，隨著擴(kuò)容角的增大，塑性區(qū)半徑明顯增加且發(fā)展變快.擴(kuò)容角越大，隧洞圍巖在n值較小時(shí)就可產(chǎn)生塑性區(qū)，進(jìn)而較大的影響到隧洞圍巖的穩(wěn)定性.

隧洞周邊位移u0與冪強(qiáng)化指數(shù)n的關(guān)系曲線，如圖9所示.隧洞周邊位移隨著冪強(qiáng)化指數(shù)的增加而增加.n值越趨向于1，則增加幅度越大，即擴(kuò)容角越大，隧洞周邊位移對(duì)冪強(qiáng)化指數(shù)n值的敏感性越高，這一現(xiàn)象可以表現(xiàn)出在應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)與擴(kuò)容效應(yīng)共同作用下，巷道圍巖的變形量顯著增加，嚴(yán)重影響圍巖的穩(wěn)定性.

隧洞周邊位移與冪強(qiáng)化系數(shù)的關(guān)系曲線，如圖10所示.隧洞周邊位移隨著冪強(qiáng)化系數(shù)m值的增大而減小，擴(kuò)容角越大，隧洞周邊位移對(duì)m值的敏感性越高，同樣也體現(xiàn)隧洞圍巖受到應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)與擴(kuò)容效應(yīng)共同影響.

圖9 隧洞周邊位移與n的關(guān)系曲線 圖10 隧洞周邊位移與m的關(guān)系曲線Fig.9 Relationship between displacements Fig.10 Relationship between displacements around tunnel and n around tunnel and m

4 結(jié)論

文中探討了應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)較強(qiáng)的巖體隧洞圍巖受力模型，深化了圍巖應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)協(xié)同擴(kuò)容效應(yīng)對(duì)隧洞力學(xué)響應(yīng)及變形影響的理論理解，最終，獲得了冪強(qiáng)化圍巖顧及擴(kuò)容效應(yīng)的三維彈塑性應(yīng)力解析式.對(duì)比分析文中解與冪強(qiáng)化解、冪強(qiáng)化-理想塑性解，得出以下3個(gè)結(jié)論.

1) 文中模型建立在考慮擴(kuò)容效應(yīng)的DP屈服準(zhǔn)則與中主應(yīng)力計(jì)算式，既能反映冪強(qiáng)化模型、冪強(qiáng)化-理想塑性模型(不計(jì)擴(kuò)容效應(yīng))的計(jì)算結(jié)果，也能充分反映巖體擴(kuò)容對(duì)隧洞圍巖應(yīng)力分布、塑性區(qū)半徑及周邊位移的突出影響，解答具有優(yōu)越性.

2) 隨著擴(kuò)容角ψ的增加，隧洞圍巖應(yīng)力分布逐漸增大，塑性區(qū)半徑呈遞增的趨勢(shì)，隧洞圍巖位移明顯增加且發(fā)展變快，隧洞周邊位移對(duì)冪強(qiáng)化參數(shù)n和m的敏感性越高.

3) 隧洞圍巖位移敏感性隨著擴(kuò)容的加劇與冪強(qiáng)化指數(shù)n的增大而越趨增強(qiáng)，這體現(xiàn)了應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)和擴(kuò)容效應(yīng)對(duì)隧洞圍巖的力學(xué)響應(yīng)與變形有顯著的協(xié)同影響，獲得的解答更貼切應(yīng)變強(qiáng)化效應(yīng)較強(qiáng)的巖體隧洞受力分析.

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(責(zé)任編輯： 黃曉楠 英文審校： 方德平)

Analytical Research for Elastoplastic Mechanical Response Considering Strain-Hardening and Dilatancy of Sedimentary Rock

TANG Shenglan1,2, YU Jin1,2, ZHANG Jianzhi1,2, ZHOU Yuqing1,2

(1. Fujian Research Center for Tunneling and Urban Underground Space Engineering,Huaqiao University, Xiamen 361021, China；2. College of Civil Engineering, Huaqiao University, Xiamen 361021, China)

Analytical solutions of stress, displacement and plastic zone radius are obtained with power-hardening model based on Drucker-Prager failure criterion, which adopts the intermediate principal stress expression and non-associated flow rule, and the dilatancy effect is took into account. The paper compares the results of dilatant power hardening-perfectly plastic model and power-hardening model, power hardening-perfectly plastic model respectively, the influence of power-hardening index and dilatancy angle on analytical solutions of surrounding rock are discussed. The results show that the effect of power-hardening index is of great impact on the stability of surrounding rock, the influence of dilatancy extent on the surrounding rock stress and displacement increases as the dilation angle and in-situ stress increase. The tunnel surrounding rock is affected by both the strain-hardening effect and the dilatancy effect, when the power-hardening index and dilatancy angle increase, the displacement is more sensitive, which is unfavorable to the tunnel stability.

tunneling engineering; elastoplastic solution; intermediate principal stress; dilatancy; power-hardening model

10.11830/ISSN.1000-5013.201606007

2016-01-01

俞縉(1978-)，男，教授，博士，主要從事巖石力學(xué)與地下工程的研究.E-mail:bugyu0717@163.com.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51374112)； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014J01160)； 福建省高校新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(2015年度)

TU 452

A

1000-5013(2016)06-0691-07