陸金波，侯曉榮，羅　敏

(電子科技大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院　成都　611731)

Hopf分岔系統(tǒng)的參數(shù)化鎮(zhèn)定方法

陸金波，侯曉榮，羅敏

(電子科技大學(xué)能源科學(xué)與工程學(xué)院成都611731)

針對(duì)Hopf分岔系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題，提出了一種參數(shù)化鎮(zhèn)定方法。應(yīng)用該方法設(shè)計(jì)的控制器階次較低，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，不含有平衡點(diǎn)的值，不改變?cè)到y(tǒng)平衡點(diǎn)的位置。添加控制器后能夠較好地改善原系統(tǒng)分岔點(diǎn)附近的特性，實(shí)現(xiàn)對(duì)原系統(tǒng)的Hopf分岔甚至混沌狀態(tài)的穩(wěn)定控制。根據(jù)Hurwitz判據(jù)推導(dǎo)了參數(shù)化控制器的約束條件，并用柱形代數(shù)剖分算法求得了控制器的參數(shù)區(qū)間，在區(qū)間內(nèi)任意一組參數(shù)都能夠鎮(zhèn)定系統(tǒng)的狀態(tài)。以Lorenz系統(tǒng)為例，展開(kāi)說(shuō)明了該參數(shù)化鎮(zhèn)定方法對(duì)控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程，并進(jìn)行了仿真。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

柱形代數(shù)剖分;Hopf分岔控制;Lorenz系統(tǒng);參數(shù)化控制器

分岔作為非線性系統(tǒng)的一種常見(jiàn)現(xiàn)象，近年來(lái)相關(guān)研究大量涌現(xiàn)[1-3]。分岔控制的目的是為了改變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能以獲得期望的系統(tǒng)特性，其主要目標(biāo)包括：延遲系統(tǒng)分岔的發(fā)生、鎮(zhèn)定不穩(wěn)定的分岔、改變已有分岔點(diǎn)的參數(shù)值、修正分岔的形狀和類型、改善分岔點(diǎn)附近的系統(tǒng)特性，或者這些目標(biāo)的某些組合[4]。Hopf分岔是分岔中的一種重要類型，其實(shí)際意義在于Hopf分岔是系統(tǒng)狀態(tài)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定之間的一種臨界狀態(tài)，所以對(duì)其研究非常重要，相關(guān)研究成果也很多[5-7]。

在實(shí)際的工程系統(tǒng)中，Hopf分岔系統(tǒng)也廣泛存在，涵蓋了很多的領(lǐng)域，包括：電力系統(tǒng)[8]、電子技術(shù)[9]、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)[10]、新能源[11]、光學(xué)技術(shù)[12]等，而很多工程中的問(wèn)題在實(shí)際分析和計(jì)算時(shí)都會(huì)涉及到Hopf分岔的控制問(wèn)題。Hopf分岔的控制是控制工程和電子技術(shù)等領(lǐng)域的重點(diǎn)研究方向之一，有大量的研究成果，包括實(shí)際工程應(yīng)用[13]和理論研究[14]。

隨著研究的深入，參數(shù)化控制器逐步應(yīng)用在了Hopf分岔系統(tǒng)的控制中[15-16]。文獻(xiàn)[15]在這方面做出了重要的工作，其根據(jù)狀態(tài)反饋理論，給出了一種相對(duì)通用的Hopf分岔控制形式，并通過(guò)實(shí)例對(duì)控制器的參數(shù)進(jìn)行了求解和仿真。文獻(xiàn)[16]對(duì)文獻(xiàn)[15]的部分工作進(jìn)行了進(jìn)一步的深入，對(duì)控制器進(jìn)行了簡(jiǎn)化，在控制參數(shù)平面上繪制了約束條件曲線，并以此對(duì)系統(tǒng)的分岔情況進(jìn)行了分析。

盡管在Hopf分岔控制器設(shè)計(jì)方面已經(jīng)存在大量的研究，但是目前的研究文獻(xiàn)中依然存在一定的局限性，如控制器形式復(fù)雜不夠通用、控制階次較高、約束條件求解繁瑣、參數(shù)求解不充分。在現(xiàn)有的研究中，文獻(xiàn)[15]使用參數(shù)化控制的方法在Hopf分岔控制方面進(jìn)行了很好的應(yīng)用，用不等式的方式對(duì)求出的控制器參數(shù)范圍進(jìn)行了描述，分岔控制效果明顯。但是，該文獻(xiàn)設(shè)計(jì)的控制器中含有系統(tǒng)全部的平衡點(diǎn)，表達(dá)式結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，階次很高，控制器的階次是原系統(tǒng)平衡點(diǎn)的整數(shù)倍。文獻(xiàn)[16]對(duì)這種參數(shù)化的控制器進(jìn)行了明顯的簡(jiǎn)化，去掉了原控制器中大部分的高次項(xiàng)，使得控制器的階次降低，使用柱形代數(shù)剖分方法將控制器的約束條件繪制在了二維空間中，并對(duì)各個(gè)子空間的分岔情況進(jìn)行了分析。但是該文獻(xiàn)中設(shè)計(jì)的控制器階次依然較高，且控制器中含有原系統(tǒng)平衡點(diǎn)的值。文獻(xiàn)[17]對(duì)文獻(xiàn)[16]中的參數(shù)化方法做了進(jìn)一步的應(yīng)用，但是沒(méi)有對(duì)控制器形式進(jìn)行改進(jìn)。

因此本文提出了一個(gè)簡(jiǎn)單通用的參數(shù)化控制器設(shè)計(jì)方法，使用該方法設(shè)計(jì)的控制器階次更低，控制器中不含有系統(tǒng)平衡點(diǎn)的值，并且不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)平衡點(diǎn)的位置。

1　系統(tǒng)描述和參數(shù)化控制器設(shè)計(jì)

1.1Hopf分岔系統(tǒng)描述

考慮如下具有Hopf分岔的非線性系統(tǒng)：

1)令 X*為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，使得針對(duì)任何μ都存在；

2)當(dāng)μ變化使得μ=μ*時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn) X*附近將產(chǎn)生一簇極限環(huán)。

1.2參數(shù)化控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)系統(tǒng)式(1)設(shè)計(jì)一個(gè)通用的非線性狀態(tài)反饋控制形式：

增加控制器后，為了不改變?cè)到y(tǒng)的平衡點(diǎn)值，控制器u需要滿足如下的條件，即：

針對(duì)系統(tǒng)式(1)，考慮通用性，令：

注1：該控制器中g(shù)(X,)μ形式簡(jiǎn)單，是由系統(tǒng)狀態(tài)變量組成的多項(xiàng)式，且其中不包含系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，而且通常情況下2次項(xiàng)是不需要的。相較于文獻(xiàn)[15-16]，設(shè)計(jì)的控制器更簡(jiǎn)單、適用，控制器中不含有系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

注2：u( X,)μ中可以有多個(gè)分量，但是通常一個(gè)分量就能滿足控制系統(tǒng)的要求。

注3：控制器式(3)是由原系統(tǒng)狀態(tài)方程的矢量組合構(gòu)成，控制器本身不含有系統(tǒng)平衡點(diǎn)的值，且增加控制器后不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)平衡點(diǎn)的位置。

注4：式(3)所描述的控制器適用于大多數(shù)的系統(tǒng)，但是給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明比較困難。接下來(lái)的討論中將通過(guò)一個(gè)三維系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)來(lái)展開(kāi)說(shuō)明設(shè)計(jì)過(guò)程。

1.3主要定理

定理 1對(duì)于k階實(shí)多項(xiàng)式B(X)和m階實(shí)多項(xiàng)式A(X)，，如果在處存在，則必然存在p階實(shí)多項(xiàng)式L(X)， 0≤p＜k，使得。

證明：

根據(jù)多項(xiàng)式除法，A(X)可以寫(xiě)為：

定理 2一個(gè)具有Hopf分岔的3階非線性系統(tǒng)可以描述為以下的形式：

證明：

不失一般性，通?？刂破魇?6)可以寫(xiě)成如下的簡(jiǎn)化表達(dá)形式：

在系統(tǒng)式(4)上增加控制器式(7)后則閉環(huán)表達(dá)式可以寫(xiě)為：

這樣閉環(huán)系統(tǒng)的Jacobi矩陣描述為：

式中，

注5：約束條件l4中，如果出現(xiàn)l4=0則說(shuō)明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，即Hopf分岔，其狀態(tài)特性表現(xiàn)為等幅震蕩；如果l4＞0，則系統(tǒng)狀態(tài)收斂，即穩(wěn)定，接下來(lái)的分析設(shè)計(jì)中將只考慮穩(wěn)定時(shí)的情況。

2　Lorenz系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

人們已經(jīng)在量子物理、電子電路、磁物理、通訊技術(shù)、無(wú)線探測(cè)等眾多領(lǐng)域中對(duì)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究工作。接下來(lái)將使用Lorenz系統(tǒng)對(duì)控制器設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明和驗(yàn)證。

2.1Lorenz系統(tǒng)描述

Lorenz系統(tǒng)可以描述為：

式中，a、b、c是可變參數(shù)，這些參數(shù)對(duì)系統(tǒng)特性有著直接影響，細(xì)微的參數(shù)變化都有可能導(dǎo)致系統(tǒng)軌跡由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)榉植恚踔潦腔煦鏪15]。根據(jù)式(10)，求出系統(tǒng)的平衡點(diǎn)方程為：

2.2控制器設(shè)計(jì)及約束條件計(jì)算

根據(jù)式(7)，控制器可以設(shè)計(jì)為：

式中，c0∈R，c1∈R，c2∈R，c3∈R，c4∈R是控制器參數(shù)。根據(jù)式(10)，控制器變?yōu)椋?/p>

Lorenz系統(tǒng)的狀態(tài)特性直接受到系統(tǒng)參數(shù)的影響，隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡會(huì)從穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)榉植砩踔粱煦?。為了?yàn)證控制器的性能，本文選擇系統(tǒng)參數(shù)a=4，b=16，c=1，根據(jù)文獻(xiàn)[15]，沒(méi)有控制器時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)特性是混沌的。將系統(tǒng)參數(shù)帶入Lorenz系統(tǒng)式(4)，可以得到新的系統(tǒng)為：

根據(jù)式(13)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的方程為：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，令c0=0，c3=0，控制器可以簡(jiǎn)寫(xiě)為：

將式(15)帶入，計(jì)算和整理后的系統(tǒng)約束條件為：

充分求解約束條件式(16)～式(19)組成的不等式組非常困難。式(16)～式(19)平衡點(diǎn)處的方程式(14)構(gòu)成了一個(gè)半代數(shù)集，使用柱形代數(shù)剖分方法可以對(duì)這個(gè)半代數(shù)集進(jìn)行充分求解，從而將不等式組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)換成控制器參數(shù)空間的區(qū)域劃分問(wèn)題。

3　數(shù)值化計(jì)算及仿真

下面將進(jìn)行數(shù)值化仿真。由于控制器式(15)中含有c1、c2、c4共3個(gè)參數(shù)，直接用柱形代數(shù)剖分方法對(duì)控制器的半代數(shù)集求解后得到的參數(shù)區(qū)間將由多個(gè)不等式組描述，不夠直觀。為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化約束條件，在系統(tǒng)的3個(gè)平衡點(diǎn)處對(duì)約束條件進(jìn)行計(jì)算和分析。

在平衡點(diǎn)E0處：

在平衡點(diǎn)E?處：

在平衡點(diǎn)E+處：

由于系統(tǒng)穩(wěn)定，分析式(20)～式(22)可得：

而根據(jù)式(23)，有：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，選擇c1=?3，此時(shí)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E0處的狀態(tài)是穩(wěn)定的。c1=?3帶入約束條件式(24)～式(31)，這樣使用柱形代數(shù)剖分方法可以得到控制器的參數(shù)區(qū)間。新的約束條件為：

此時(shí)控制器還有c2和c4兩個(gè)參數(shù)需要確定，根據(jù)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)Ε?和E+處的情況使用柱形代數(shù)剖分計(jì)算可以得出c2和c4的參數(shù)范圍。

由約束條件式(33)～式(40)組成的方程組的隱函數(shù)曲線被繪制在二維空間上，如圖1所示。按照柱形代數(shù)剖分理論，對(duì)這些函數(shù)曲線劃分的區(qū)域進(jìn)行搜索，最終得到區(qū)域Qs，在該區(qū)域內(nèi)，選擇參數(shù)c2和c4能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定。區(qū)域Qs的邊界是L1和L2，其中L1是式(40)的方程的一部分，L2是式(36)的方程的一部分，其函數(shù)方程分別為：

圖1 系統(tǒng)約束條件曲線在 c2?c4平面的劃分情況

為了證明控制器的有效性，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值化仿真，仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。在這種情況下，控制器參數(shù)c0=0，c1=?3，c2=1，c4=1。

圖2是系統(tǒng)在E0處的軌跡，軌跡是收斂的。圖3是在E?處的軌跡，圖4是在E+處的軌跡，這兩個(gè)軌跡都是收斂的。

具有多個(gè)平衡點(diǎn)的非線性系統(tǒng)控制時(shí)，通常只能保證系統(tǒng)狀態(tài)在平衡點(diǎn)附近的局部穩(wěn)定性，即在平衡點(diǎn)附近的一個(gè)鄰域內(nèi)能夠使系統(tǒng)軌跡收斂到該平衡點(diǎn)。本文仿真時(shí)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)E0、E?、E+處的初始值分別為：(0,1,?1)，(?4,?4,16)，(4,4,16)。

圖2 當(dāng)c1=?3時(shí)，在E0處穩(wěn)定的系統(tǒng)軌跡曲線

圖3 系統(tǒng)在E?處穩(wěn)定的軌跡曲線

圖4 系統(tǒng)在E+處穩(wěn)定的軌跡曲線

4　結(jié) 束 語(yǔ)

本文針對(duì)一類具有Hopf分岔的非線性系統(tǒng)提出了一種參數(shù)化鎮(zhèn)定方法，并對(duì)三維時(shí)情況進(jìn)行了證明。使用該方法，設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，控制器參數(shù)求解充分，不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)平衡點(diǎn)的位置，能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。以Lorenz系統(tǒng)作為實(shí)例，說(shuō)明了參數(shù)化控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程。最后通過(guò)數(shù)值化仿真證明了本文提出方法的有效性。

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編輯漆蓉

Parametric Stabilization Method for a Class of Hopf Bifurcation Systems

LU Jin-bo,HOU Xiao-rong,and LUO Min
(School of Energy Science and Engineering,University of Electronic Science and Technology of ChinaChengdu611731)

A parametric stabilization method is proposed for the problem of Hopf bifurcation system control. Compared with the existing methods,the controller designed by this method has a lower controller order and a simpler structure,and it does not contain equilibrium points. The method keeps equilibrium of the origin system unchanged. Under the control,the characteristics of the original system will be improved at equilibrium,and the system states of Hopf bifurcation or chaos can be controlled to stable. Using the Hurwitz criterion,the constraints of the parametric controller are derived. The idea of cylindrical algebraic decomposition (CAD)is employed to compute the constraints to find the parameter ranges of the designed controller,and the controller can be designed to stabilize the system by using any feasible control parameters in the ranges. Taking Lorenz system as an example,the controller design process of the method and numerical simulations are discussed. The simulation results show the effectiveness of the proposed method.

cylindricalalgebraic decomposition;Hopf bifurcation control;Lorenz system;parametric controller

TP13

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.06.012

2015 ? 07 ? 28；

2016 ? 03 ? 16

國(guó)家自然科學(xué)基金(61374001,61074189)

陸金波(1978 ? )，男，博士，主要從事非線性控制、魯棒控制等方面的研究.