喬全邦,黃力宇,賀志杰

(西安電子科技大學(xué)生命科學(xué)技術(shù)學(xué)院,陜西西安 710071)

一種自適應(yīng)的CT圖像聯(lián)合代數(shù)重建算法

喬全邦,黃力宇,賀志杰

(西安電子科技大學(xué)生命科學(xué)技術(shù)學(xué)院,陜西西安 710071)

聯(lián)合代數(shù)重建技術(shù)作為一種經(jīng)典的斷層圖像重建算法,存在著收斂速度慢、邊緣模糊、振鈴效應(yīng)等問題.迭代過程中與步長相關(guān)的松弛算子是影響算法性能的重要因素,而重建圖像的邊緣區(qū)域與其他區(qū)域無需使用相同的松弛算子,由此提出一種基于模糊熵的自適應(yīng)聯(lián)合代數(shù)重建算法.在進(jìn)行初步的聯(lián)合代數(shù)重建之后,把重建圖像作為先驗信息采用模糊熵的方法對其進(jìn)行邊緣檢測,根據(jù)邊緣一致性原則構(gòu)造單調(diào)遞增函數(shù),以此作為定義迭代步長的松弛算子,進(jìn)而可根據(jù)重建圖像各部分的區(qū)域特征自適應(yīng)地選取迭代步長進(jìn)行接下來的聯(lián)合代數(shù)迭代.仿真與實際測試實驗表明,使用本改進(jìn)算法進(jìn)行計算機(jī)斷層圖像重建不僅可以較好地解決邊緣模糊問題,還可以很好地抑制振鈴效應(yīng).

計算機(jī)斷層成像技術(shù);聯(lián)合代數(shù)重建技術(shù);模糊熵;松弛算子

隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,特別是計算機(jī)運算速度的提高,計算機(jī)斷層圖像重建中迭代法所需時間較長的缺點已逐漸降為次要矛盾,且該方法所需投影數(shù)較少,在迭代過程中可加入一些校正環(huán)節(jié)等優(yōu)點則顯得更加突出,由此許多研究對迭代重建算法進(jìn)行了完善.1937年Kaczmarz首次提出代數(shù)重建算法(AlgebraicReconstruction Technique,ART)的概念,隨后乘型代數(shù)重建算法(Multiplicative Algebraic Reconstruction Technique,MART)、聯(lián)合迭代重建算法(Simultaneous Iterative Reconstruction Technique,SIRT)、聯(lián)合代數(shù)重建算法(Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique,SART)等相繼提出,其中SART被認(rèn)為是結(jié)合了ART和SIRT兩種算法的優(yōu)點,已成為計算機(jī)斷層成像(Computed Tomography,CT)迭代重建算法的經(jīng)典[1].

作為一種迭代算法,SART一直存在著收斂速度慢、邊緣模糊、振鈴效應(yīng)等問題.近年來,對該算法的改進(jìn)研究有了不少進(jìn)展,其中自相關(guān)的SART算法具有穩(wěn)定的收斂速度[2];結(jié)合壓縮感知的SART-TV算法減少了掃描時間,實現(xiàn)了不完全投影數(shù)據(jù)下的CT圖像重建[3];還有采用列和替代方法(Column-sum Substitution Approach)的自適應(yīng)算法實現(xiàn)了極端噪聲和不完整數(shù)據(jù)情況下的電子斷層成像(Electron Tomography)重建[4].然而,這些改進(jìn)算法仍沒有很好地解決邊緣模糊和振鈴效應(yīng)等問題.

筆者提出一種基于模糊熵的自適應(yīng)聯(lián)合代數(shù)重建算法(Adaptive Simultaneous Algebraic Reconstruction Technique,ASART).在進(jìn)行初步的SART重建之后,對重建圖像采用模糊熵的方法進(jìn)行邊緣檢測,根據(jù)鄰域一致性測度(Neighborhood Homogeneous Measurement,NHM)構(gòu)造一個單調(diào)遞增函數(shù),以此作為定義迭代步長的松弛算子,從而可以根據(jù)重建圖像各部分的區(qū)域特征,自適應(yīng)地選取迭代步長,實現(xiàn)自適應(yīng)迭代.測試結(jié)果表明,所提出的改進(jìn)算法有效解決了傳統(tǒng)SART中的松弛算子過小導(dǎo)致的邊緣模糊和松弛算子過大導(dǎo)致的振鈴效應(yīng)問題.

1　問題描述

經(jīng)典的SART的迭代公式[5]如下:

λ是松弛算子,定義了迭代步長,一般取0<λ≤1.λ取值直接影響圖像的重建效果,如圖1所示,在λ取值較小時,雖然噪聲和振鈴效應(yīng)都有抑制,但是邊緣經(jīng)過多次迭代依然不夠清晰;反之,在λ取值較大時,由于迭代較快,重建圖像雖然邊緣清晰,但是噪聲被放大,振鈴效應(yīng)明顯.所以在傳統(tǒng)的SART算法中為了獲得較平滑的區(qū)域而不得不選取較小的λ值,這樣既增加運算量又很難獲得高質(zhì)量的圖像.

圖1　原始圖像與選取不同λ值的SART算法重建圖像示意圖

如果在邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域重建時定義不同的迭代步長,在邊緣區(qū)域處為獲得較好的邊緣像而采用較大的迭代步長,而在平滑區(qū)域為抑制噪聲使用較小步長,則這樣既可以得到較好的邊緣重建圖像,又不會過多地引入噪聲.

2　自適應(yīng)聯(lián)合代數(shù)重建算法

有學(xué)者在凸集投影(Projection Onto Convex Sets,POCS)算法中引入模糊熵進(jìn)行圖像邊緣特征提取,進(jìn)而自適應(yīng)地選取迭代步長[6].由于在CT圖像重建中POCS算法要求進(jìn)行逐線修正,而自適應(yīng)的迭代步長主要與像素相關(guān),所以該算法不方便直接應(yīng)用到CT圖像重建中.SART剛好是一種逐像素修正的迭代算法,將其與模糊熵相結(jié)合來進(jìn)行自適應(yīng)迭代步長選取,就能很好地發(fā)揮各自優(yōu)勢提高CT圖像重建的質(zhì)量.

2.1迭代步長自適應(yīng)選取

要在邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域定義不同的迭代步長,首先必須提取圖像的邊緣信息.由于圖像邊緣點鄰域內(nèi)的灰度分布和非邊緣點鄰域內(nèi)的灰度分布不同,即非邊緣點的鄰域內(nèi)通常只有一種灰度分布,而邊緣點的鄰域內(nèi)灰度分布的差異較大,所以根據(jù)灰度分布的鄰域一致性對圖像進(jìn)行邊緣檢測,并采用一種模糊熵測度來表征這種灰度分布的有序性.

其中,μ表示某種特征值,C為常數(shù),以保證0.5≤(φf(i,j))≤1,也就是希望圖像中任一像素的隸屬度不小于0.5,從而保證了模糊熵的對稱性.

在式(2)所述的模糊集合上定義一個模糊熵[6]:

在一個大小為n×n、中心為f(i,j)的n鄰域內(nèi)定義一個基于模糊熵的鄰域一致性信息測度為[7]

這里,μ為n鄰域中心像素的灰度值f(i,j),由式(4)的數(shù)學(xué)特性可以看出,當(dāng)n鄰域內(nèi)的其他像素值和f(i,j)相等或接近時,θ(i,j)為零或較小;反之則較大.對于平滑區(qū)域,n鄰域內(nèi)像素值之間的差距較小,反映為較小的θ(i,j),而在邊緣區(qū)域,由于像素值有較大差異,就會得到較大的θ(i,j),所以θ(i,j)的值可以反映區(qū)域的灰度一致性.

對于CT圖像重建,λ一般在(0,1]之間取值,需要找到一個合適的映射L,將θ映射到(0,1]之間,考慮到上文描述的θ,λ取值與圖像邊緣的關(guān)系,所以采用簡單的線性映射作為映射L,直接將θ值映射到(0,1]之間,此時得到自適應(yīng)的松弛算子為

此時新的迭代公式為

其中,λω(i,j)=λ(i,j),表示在像素ω(i,j)處的自適應(yīng)松弛算子,(i,j)表示該像素所在的位置.

2.2算法流程

上述算法的流程如圖2所示,其中輸入?yún)?shù)有重建圖像大小N、投影角度beta、每個投影角度下的射線條數(shù)P?num、投影數(shù)據(jù)P、投影矩陣W、迭代總次數(shù)ASART?num、SART算法迭代次數(shù)SART?num、迭代計數(shù)器C?num、初始λ值(用lambda表示)、選取鄰域n(用n表示)等,輸出參數(shù)是重建圖像F?Out.具體步驟解釋如下.

(1)將相關(guān)參數(shù)代入式(1),進(jìn)行SART迭代(采用初始的固定的較小的lambda值,實驗表明選取0.1作為初始lambda值可以得到較好的結(jié)果);

(2)對迭代次數(shù)C?num進(jìn)行判斷,如果大于預(yù)設(shè)的SART算法迭代次數(shù)SART?num,則進(jìn)行第(3)步,否則,返回第(1)步,繼續(xù)SART迭代;

(3)對重建圖像進(jìn)行n鄰域擴(kuò)充(為了進(jìn)行邊緣處lambda值的計算,文中為了便于計算,選取5作為n的默認(rèn)值),并逐像素依次代入式(2)～(5)求得自適應(yīng)的lambda矩陣;

(4)將自適應(yīng)的lambda矩陣代入式(6)進(jìn)行ASART迭代;

(5)改變投影角度,返回第(4)步進(jìn)行迭代,直到遍歷完所有投影角度下的投影數(shù)據(jù);

(6)對迭代次數(shù)進(jìn)行判斷,如果大于預(yù)設(shè)的ASART算法迭代次數(shù)ASART?num,則進(jìn)行第(7)步,否則,返回到第(3)步;

(7)迭代結(jié)束、輸出圖像.

3　實驗結(jié)果及分析

通常用3個參數(shù)來定量評價重建圖像與頭模型原始圖像的差異,這3個參數(shù)分別是歸一化均方距離判據(jù)d、歸一化平均絕對距離判據(jù)r[8]和信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)[9].

3.1Shepp-Logan頭模型仿真實驗

對大小為148×148的Shepp-Logan頭模型進(jìn)行扇束掃描,獲取在[0°,360°]范圍內(nèi)均勻分布的120個角度的投影數(shù)據(jù),即每隔6°取樣,每個角度下211條投影射線,因為松弛算子一般在(0,1]之間取值,為了使λ的取值更有代表性,均勻地選取λ=0.1、λ=0.5、λ=0.9進(jìn)行7次SART算法迭代重建,將重建結(jié)果與同樣進(jìn)行了7次ASART算法迭代重建的結(jié)果進(jìn)行對比,以顯示ASART算法的優(yōu)越性能.具體結(jié)果如圖3所示.其中,圖3(b)～(d)分別是選取不同λ值的SART算法的重建圖像,圖3(e)是ASART算法的重建圖像.

圖2　ASART算法流程示意圖

圖3　原始圖像及兩種算法重建圖像對比

從圖3中可以很明顯地發(fā)現(xiàn),λ=0.1時,重建圖像區(qū)域比較平滑但是會出現(xiàn)邊緣模糊的情況.而λ=0.5、λ=0.9時,雖然圖像邊緣效果比較好,但是引入了較大的噪聲,使圖像區(qū)域不夠平滑.而文中提出的ASART算法則不會出現(xiàn)上述問題.

表1　兩種算法的重建圖像質(zhì)量評價參數(shù)及重建時間比較

表1中,SART1、SART5、SART9分別是λ=0.1、λ=0.5、λ=0.9時的SART重建算法.可以看到,雖然ASART算法的重建時間略大于SART算法,但是使用該算法重建的圖像質(zhì)量評價參數(shù)d、r、SNR參數(shù)遠(yuǎn)優(yōu)于SART算法.所以,SART算法想要達(dá)到ASART算法的重建效果必將進(jìn)行更多次迭代,其重建時間肯定遠(yuǎn)大于ASART算法的重建時間,這一點充分的說明了ASART算法比SART算法的收斂速度更快.

由于原始圖像和重建圖像大小都是148×148,并且λ較大時,SART算法重建的圖像中出現(xiàn)了列狀條紋,為了顯示兩種算法的性能差異,選取包含最多圖像信息的最中間一行,即第74行的像素繪制其灰度曲線.圖4就是圖像第74行的像素灰度曲線示意圖,圖中ORG代表原始圖像,SART1、SART5分別代表λ=0.1、λ=0.5時,使用SART算法重建的圖像,ASART代表使用ASART算法重建的圖像.圖4(a)中,使用ASART算法的重建圖像,圖像邊緣處的像素灰度更加接近原始圖像灰度,圖4(b)中,在λ=0.5時,重建圖像邊緣處的像素灰度雖然也很接近原始圖像灰度,但是在圖像的平滑區(qū)域有很大的上下波動噪聲,使得重建圖像區(qū)域平滑性較差,可以看出ASART算法既克服了λ較小時邊緣模糊的缺點,又克服了λ較大時區(qū)域平滑性較差的缺點.

圖4　圖像第74行像素灰度曲線對比示意圖

3.2小鼠斷層圖像重建實驗

為了更好地驗證算法的優(yōu)越性及其在實際應(yīng)用中的有效性,用CT設(shè)備采集了一組小鼠的投影數(shù)據(jù),并選取圖5(a)中紅線所代表斷層的投影數(shù)據(jù),分別采用SART(λ=0.1、λ=0.5、λ=0.9)算法和ASART算法進(jìn)行了圖像重建,結(jié)果如圖5所示.其中,圖5(b)～(d)分別是選取不同λ值的SART算法的重建圖像,圖5(e)是ASART算法的重建圖像.從圖5中可以看到,ASART算法的重建效果要遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)的SART算法.

圖5　小鼠斷層圖像的重建結(jié)果對比

4　結(jié)束語

SART算法收斂速度快且對測量噪聲不敏感的特性,使其在工程中得到了廣泛的應(yīng)用,但是該算法需要手動選取松弛算子,如果松弛算子過大則會造成振鈴效應(yīng),而松弛算子過小則會造成邊緣模糊.為此,筆者提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)SART算法,在SART重建過程中引入模糊熵,把SART算法重建的圖像作為先驗信息,對其進(jìn)行邊緣檢測,根據(jù)邊緣一致性原則構(gòu)造一單調(diào)遞增函數(shù),以此作為定義迭代步長的松弛算子,從而可以根據(jù)重建圖像各部分的區(qū)域特征自適應(yīng)的選取迭代步長,既保證了很好的重建圖像邊緣,又有效地抑制了振鈴效應(yīng),其魯棒性等性能值得進(jìn)一步深入研究.

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(編輯:王 瑞)

Image reconstruction using an adaptive simultaneous algebraic reconstruction technique in computed tomography

QIAO Quanbang,HUANG Liyu,HE Zhijie
(School of Life Sciences and Technology,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

The simultaneous algebraic reconstruction technique(SART)is a vintage algorithm for computed tomography(CT)image reconstruction,but it has many problems such as slow convergence speed,edge blur,and ringing effect.The relaxation parameter is an important factor affecting the performance of the algorithm,and we find that the edge region does not need the same relaxation factor as the uniform region,so an adaptive simultaneous algebraic reconstruction technique based on fuzzy entropy is proposed.After preliminary SART reconstruction,by quoting fuzzy entropy for edge detection of the reconstructed image which is used as prior information,a monotonous increasing function that defines the relaxation factor is constructed based on the neighborhoodhomogeneous measurement(NH M).Therefore,the proposed approach can select the relaxation factor adaptively by the local character of the image. Experimental results show that the new algorithm can solve the problem of edge blurring and suppress the ringing effect effectively in CT image reconstruction.

computed tomography;simultaneous algebraic reconstruction technique;fuzzy entropy; relaxation factor

TN911.73;TP391

A

1001-2400(2016)03-0067-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2016.03.012

2015-01-12

時間:2015-07-27

國家自然科學(xué)基金資助項目(U1401255);陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計劃資助項目(2014K06-12);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助項目(NSIY131409,JB161206)

喬全邦(1991-),男,西安電子科技大學(xué)碩士研究生,E-mail:qqb?369927@163.com.

黃力宇(1964-),男,教授,E-mail:huangly@mail.xidian.end.cn.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150727.1952.012.html