詹湘琳，薛 勇

（中國(guó)民航大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，天津 300300）

超聲檢測(cè)作為無(wú)損檢測(cè)的重要分支，在航空航天、工業(yè)無(wú)損檢測(cè)、醫(yī)療等領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用[1]。近些年發(fā)展起來(lái)的超聲相控陣相較于傳統(tǒng)超聲檢測(cè)的超聲相控陣具有波束靈活、檢測(cè)速度快、分辨率高及適用于復(fù)雜工件等優(yōu)點(diǎn)[2]，使得超聲相控陣得到廣泛應(yīng)用，成為超聲無(wú)損檢測(cè)領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)[3]。超聲相控陣探頭的多個(gè)陣元晶片發(fā)射信號(hào)，通過(guò)回波信號(hào)的波束形成最終實(shí)現(xiàn)偏轉(zhuǎn)、線性掃查和聚焦等功能，極大簡(jiǎn)化了檢測(cè)過(guò)程[4]。目前，隨著工件體積過(guò)大，如在A350 客機(jī)中復(fù)合材料結(jié)構(gòu)占比52%[5]，及檢測(cè)工件全壽命周期獲取了海量數(shù)據(jù)，推動(dòng)故障檢測(cè)進(jìn)入了“大數(shù)據(jù)”時(shí)代[6]。因此，超聲相控陣信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮成為超聲相控陣檢測(cè)中需要解決的問(wèn)題。

小波變換是目前常用的超聲相控陣數(shù)據(jù)壓縮方法[7-8]，但小波變換法先采樣后壓縮的壓縮過(guò)程使該方法必須遵循奈奎斯特采樣定理。Covidan 等[9]、Candes等[10-11]及Donohod[12]提出的壓縮感知理論（CS,compressed sensing），采用壓縮采樣的方法，以不受奈奎斯特采樣定理限制的少量測(cè)量值實(shí)現(xiàn)信號(hào)的準(zhǔn)確重構(gòu)，在采樣過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)壓縮。在壓縮感知理論框架下，超聲相控陣的信號(hào)壓縮感知研究受到關(guān)注。楊曉霞等[7]將壓縮感知應(yīng)用在超聲相控陣汽車發(fā)動(dòng)機(jī)腐蝕檢測(cè)系統(tǒng)中，并對(duì)腐蝕缺陷壓縮采樣信號(hào)進(jìn)行B 掃描成像，結(jié)果表明壓縮感知A 掃信號(hào)及圖像重構(gòu)具有較高精度。白志亮等[13]將壓縮感知方法應(yīng)用于超聲相控陣缺陷檢測(cè)中，可有效提高超聲相控陣缺陷檢測(cè)效率，并證明了壓縮感知在超聲相控陣無(wú)損檢測(cè)信號(hào)中的可行性。上述研究雖然能減少超聲相控陣測(cè)量的數(shù)據(jù)量，但并沒(méi)有考慮測(cè)量矩陣的優(yōu)化，從而影響了信號(hào)的壓縮率和重構(gòu)精度。如何優(yōu)化測(cè)量矩陣、減小測(cè)量數(shù)并實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確重構(gòu)，是目前壓縮感知研究的熱點(diǎn)之一。Elad[14]提出一種相關(guān)性閾值迭代方法，通過(guò)對(duì)Gram 矩陣的相關(guān)性閾值迭代收縮得到理論上不相干性最優(yōu)測(cè)量矩陣，有效減少測(cè)量數(shù)量并提高重構(gòu)性能。郭俊鋒等[15]將相關(guān)性閾值迭代法應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)的壓縮感知中，提出一種最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣，振動(dòng)信號(hào)在欠采樣情況下重建精度較高。超聲信號(hào)與振動(dòng)信號(hào)均為非平穩(wěn)信號(hào)，具有相似性，因此，可參考振動(dòng)信號(hào)測(cè)量矩陣的優(yōu)化方法。

綜上，為了構(gòu)造相關(guān)性更好的測(cè)量矩陣，減小測(cè)量數(shù)量、提高重構(gòu)精度，研究壓縮感知對(duì)超聲相控陣信號(hào)波束合成的影響，提出一種基于最優(yōu)型測(cè)量矩陣的超聲相控陣壓縮感知信號(hào)波束合成方法。該方法通過(guò)提高測(cè)量矩陣與稀疏矩陣的不相干性和列獨(dú)立性實(shí)現(xiàn)測(cè)量矩陣的優(yōu)化，并通過(guò)單陣元回波壓縮感知信號(hào)進(jìn)行波束合成得到A 掃信號(hào)，研究基于最優(yōu)型測(cè)量矩陣的壓縮感知對(duì)于超聲相控陣波束合成的有效性。

1 壓縮感知基本理論

CS 主要分為信號(hào)稀疏表示、觀測(cè)及重構(gòu)3 個(gè)階段，通過(guò)測(cè)量矩陣實(shí)現(xiàn)信號(hào)的欠采樣，以稀疏矩陣和重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重構(gòu)，最終得到壓縮感知信號(hào)。

信號(hào)為稀疏信號(hào)或在稀疏矩陣下具有稀疏性是信號(hào)壓縮感知的前提。實(shí)際應(yīng)用中大部分信號(hào)都不是稀疏信號(hào)，需在稀疏矩陣Ψ 下進(jìn)行稀疏表示，信號(hào)稀疏表示的數(shù)學(xué)模型為

其中：ψi為稀疏矩陣Ψ 的列向量也稱為原子，字典中原子長(zhǎng)度為N，原子個(gè)數(shù)為K；x 為原始信號(hào)；α 為x在該空間下的稀疏系數(shù)。

若信號(hào)滿足稀疏性條件，則可通過(guò)遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度N 的M 個(gè)測(cè)量值重構(gòu)信號(hào)，表示為

其中：y 為信號(hào)x 的壓縮采樣；Φ 為測(cè)量矩陣。

實(shí)現(xiàn)壓縮采樣準(zhǔn)確重構(gòu)的先驗(yàn)條件是稀疏矩陣Ψ 與測(cè)量矩陣Φ 滿足有限等距性質(zhì)（RIP,restricted isometry property）[16]。如果

成立，定義參數(shù)δk為滿足式（3）條件的δ 的最小值，其中，k 為x 的稀疏度，若δk＜1 則稱測(cè)量矩陣Ψ 滿足k階RIP。

直接驗(yàn)證矩陣是否滿足RIP 條件較為困難，常用RIP 的等價(jià)條件不相干性來(lái)驗(yàn)證是否滿足RIP。為實(shí)現(xiàn)低測(cè)量數(shù)下準(zhǔn)確重構(gòu)信號(hào)，Φ 設(shè)計(jì)時(shí)需考慮與Ψ的不相干性。

若滿足上述條件，則可實(shí)現(xiàn)低采樣數(shù)重構(gòu)信號(hào)。由于M＜N，求解y=Φx 時(shí)就成為欠定方程組的求解問(wèn)題，這也使得x 有多組解。將式（1）代入式（2）得到

式中，D 為傳感矩陣。這樣求解欠定方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庾顑?yōu)化問(wèn)題，即

式（5）求解是一個(gè)非凸的NP-hard 問(wèn)題，通常采用正交匹配追蹤法（OMP,orthogonal matching pursuit）作為超聲壓縮感知中的重構(gòu)算法[17]。

2 CS 波束與最優(yōu)型測(cè)量矩陣

2.1 CS 波束形成

超聲相控陣信號(hào)壓縮采集過(guò)程如圖1所示，壓縮感知方法通過(guò)信號(hào)壓縮采樣與信號(hào)重構(gòu)兩部分代替?zhèn)鹘y(tǒng)的等間距采樣。在波束接收端通過(guò)測(cè)量矩陣對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行壓縮感知，以低于奈奎斯特采樣定理限制的測(cè)量數(shù)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確重構(gòu)信號(hào)。最后，將壓縮感知的單陣元信號(hào)通過(guò)疊加法則得到A 掃信號(hào)，在根本上減少信號(hào)測(cè)量數(shù)，得到更好的重構(gòu)效果。

2.2 最優(yōu)型測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)

測(cè)量矩陣的好壞是實(shí)現(xiàn)信號(hào)低測(cè)量數(shù)準(zhǔn)確重構(gòu)的關(guān)鍵。如前所述，測(cè)量矩陣必須滿足RIP 條件，但在實(shí)際應(yīng)用中，驗(yàn)證測(cè)量矩陣是否滿足RIP 條件較為困難，通?？紤]RIP 的等價(jià)情況：測(cè)量矩陣與稀疏矩陣的不相干性。而測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)，需滿足列向量組成子矩陣的最小奇異值要大于一個(gè)確定的常數(shù)[11]，即測(cè)量矩陣的列向量要具有一定的列獨(dú)立性。因此，采用相關(guān)性閾值迭代方法對(duì)測(cè)量矩陣相干性進(jìn)行優(yōu)化，并通過(guò)QR分解方法提高其自身的列獨(dú)立性，得到適用于超聲相控陣回波信號(hào)的最優(yōu)型測(cè)量矩陣。

圖1 基于壓縮感知的超聲相控陣信號(hào)采集過(guò)程Fig.1 Ultrasonic phased array signal acquisition

相干性系數(shù)μ 是表示測(cè)量矩陣與稀疏矩陣相干性的量化標(biāo)準(zhǔn)，μ 越小代表不相干性越強(qiáng)，可表示為

其中：φj為測(cè)量矩陣Φ 的行向量；ψi為稀疏矩陣Ψ的列向量。相干性系數(shù)的取值范圍為μ（Φ，Ψ）∈[1，N]。

為更清晰地描述矩陣間的關(guān)系，采用Gram 矩陣G 進(jìn)行表示，其中，G=DTD，則Gram 矩陣的相干性系數(shù)為

其中，gij為Φ 和Ψ 不同列的內(nèi)積。由式（7）可知，μ 反映了Gram 矩陣中非對(duì)角線元素的最大值，并不能反映出測(cè)量矩陣的平均性能，且直接優(yōu)化減小μ 值較為困難。為此，提出了t-均值互相干系數(shù)μt，可表示為

μt代表了Gram 矩陣不小于閾值t 的非對(duì)角線上元素的模均值，相較于μ 只依據(jù)非對(duì)角線元素模的最大值，μt考慮了矩陣的整體情況，可更好地提高測(cè)量矩陣的性能下限。

對(duì)Gram 矩陣非對(duì)角線元素gij的更新表示為

其中，收縮因子γ 取值范圍為（0，1）。將Gram 矩陣中絕對(duì)值大于t 的元素收縮，通過(guò)矩陣的均方根得到更新后的測(cè)量矩陣Φ，最后通過(guò)迭代得到不相干性理論最優(yōu)Φ。相較于未優(yōu)化之前，Φ 與Ψ 的不相干性有了一定提升，使得Φ 更好地滿足RIP 條件，提高了信號(hào)重構(gòu)效果。

矩陣的列獨(dú)立性是判斷測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)好壞的重要標(biāo)準(zhǔn)[11]，但相干性閾值迭代方法僅考慮不相干性，并沒(méi)有考慮到矩陣的列獨(dú)立性。奇異值分解（SVD，singular value decomposition）是提高矩陣獨(dú)立性的常用方法，矩陣的最小奇異值越大則矩陣的獨(dú)立性越強(qiáng)。相較于SVD 的計(jì)算量大、計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，正交三角分解即QR 分解，不但計(jì)算量小，且可在不改變測(cè)量矩陣性質(zhì)的前提下，提高其列獨(dú)立性[18]。因此，將Φ 進(jìn)一步通過(guò)QR 分解對(duì)列獨(dú)立性進(jìn)行優(yōu)化，即

其中：Q 為正交矩陣；R 為上三角矩陣。由于R 的主對(duì)角線元素遠(yuǎn)大于非對(duì)角線元素，因此，僅保留R 的對(duì)角線元素，其他上三角元素均為0，重新計(jì)算Φ，得到最優(yōu)型測(cè)量矩陣。優(yōu)化后的Φ 收縮了奇異值分布區(qū)間，使得Φ 具有更強(qiáng)的列獨(dú)立性。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 超聲相控陣數(shù)據(jù)采集

超聲相控陣采用Olympus 生產(chǎn)的OMNI MX2 型號(hào)超聲相控陣，L32-A11 型探頭，具體參數(shù)信息如表1所示。

表1 超聲相控陣探頭參數(shù)Tab.1 Ultrasonic phased array probe parameters

試塊采用32 層碳纖維復(fù)合材料，每層以[0°，+45°，-45°，90°，0°]的角度排列，其中，第16、17 層為90°，第32 層為0°；試塊深度為5 mm，分層缺陷在第15 層2.5 mm 深度處；超聲相控陣采用線性掃查模式；預(yù)先設(shè)定孔徑陣元晶片數(shù)量為5，晶片步距為1。

掃描結(jié)果如圖2所示，左側(cè)區(qū)域?yàn)锳 掃信號(hào)，其中的3 個(gè)峰值分別對(duì)應(yīng)著表面回波、缺陷回波和底面回波，第9 號(hào)孔徑對(duì)應(yīng)的缺陷回波峰值最大且不同區(qū)域回波差異明顯，故以第9 號(hào)至第13 號(hào)陣元組成的第9 號(hào)孔徑回波作為實(shí)驗(yàn)所用回波。

3.2 不同測(cè)量矩陣重構(gòu)結(jié)果對(duì)比

實(shí)驗(yàn)以DCT 作為稀疏基，OMP 作為重構(gòu)算法。對(duì)信號(hào)進(jìn)行幅值歸一化處理，使得特征不受絕對(duì)幅值的影響，分別對(duì)每個(gè)陣元晶片回波在不同測(cè)量矩陣下，使用不同的壓縮率進(jìn)行壓縮感知，壓縮率表示為

圖2 超聲相控陣得到的A 掃信號(hào)與B 掃圖像Fig.2 A-scan signal and B-scan image obtained by ultrasonic phased array

以重構(gòu)誤差作為評(píng)判重構(gòu)效果的量化標(biāo)準(zhǔn)，重構(gòu)誤差表示為

表2 不同測(cè)量矩陣重構(gòu)具體結(jié)果Tab.2 Reconstruction specific results of different measurement matrices

由于Toeplitz 矩陣和循環(huán)矩陣為確定型矩陣，易于硬件實(shí)現(xiàn)。但兩者在重構(gòu)效果上并不理想。當(dāng)壓縮率為60%時(shí)，重構(gòu)誤差高達(dá)80%左右，顯然無(wú)法達(dá)到實(shí)際應(yīng)用要求。圖3更直觀地表示最優(yōu)型測(cè)量矩陣和隨機(jī)型測(cè)量矩陣在不同壓縮率下的重構(gòu)效果。

從圖3中可看出，最優(yōu)型測(cè)量矩陣的重構(gòu)效果優(yōu)于兩種隨機(jī)型測(cè)量矩陣，在60%壓縮率的情況下，重構(gòu)誤差僅為4.1%，而高斯矩陣和伯努利矩陣的重構(gòu)誤差分別為6.4%和5.5%。

3.3 壓縮率選擇

在壓縮率較高時(shí)，會(huì)出現(xiàn)重構(gòu)誤差突然增加重構(gòu)失敗的情況（將重構(gòu)誤差小于10%的結(jié)果視為重構(gòu)成功），重構(gòu)失敗的信號(hào)幾乎無(wú)法使用。研究各陣元在壓縮率為60%和65%的情況下重復(fù)100 次的重構(gòu)成功率，結(jié)果如圖4所示。

圖3 不同測(cè)量矩陣重構(gòu)結(jié)果Fig.3 Reconstruction results by different matrices

圖4 各陣元在兩種壓縮率下重構(gòu)成功率Fig.4 Reconstruction success rate of each element under two compression rates

當(dāng)壓縮率為65%時(shí)，各陣元晶片回波在重構(gòu)中會(huì)出現(xiàn)一定概率的重構(gòu)失敗的情況。當(dāng)壓縮率為60%時(shí)，各陣元晶片回波幾乎可100%成功重構(gòu)，只有第3、27、28 號(hào)陣元回波中各出現(xiàn)一次失敗重構(gòu)。重構(gòu)失敗會(huì)在實(shí)際應(yīng)用中產(chǎn)生較大影響，因此，壓縮率應(yīng)盡量保持在60%及以下。

3.4 不同波束形成的結(jié)果對(duì)比

為研究壓縮感知方法對(duì)波束合成的影響，比較了線性掃查模式下單陣元壓縮感知信號(hào)線性疊加的A掃信號(hào)（CS 波束合成）與直接對(duì)A 掃信號(hào)壓縮感知（A掃CS）的重構(gòu)誤差，不同壓縮率下重構(gòu)誤差如圖5所示。

從圖5中可看出：兩種方法的重構(gòu)誤差隨著壓縮率增加而增加；在不同壓縮率情況下，單陣元回波壓縮感知波束合成結(jié)果均優(yōu)于直接對(duì)A 掃信號(hào)壓縮感知結(jié)果，當(dāng)壓縮率為60%時(shí)誤差僅為2.978%，優(yōu)于直接壓縮的4.18%。

圖5 壓縮感知信號(hào)波束形成與A 掃信號(hào)壓縮感知對(duì)比Fig.5 Compression sensing signal beamforming vs.A-scan signal compressed sensing

不同壓縮率下兩種方法的重構(gòu)穩(wěn)定性也不相同，以標(biāo)準(zhǔn)差作為判斷重構(gòu)效果穩(wěn)定性的量化標(biāo)準(zhǔn)，兩種方法的重構(gòu)誤差值和標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示。

表3 CS 波束合成與A 掃CS 對(duì)比Tab.3 Compressed sensing signal beamforming vs.A-scan signal compressed sensing

從表3可看出：隨著壓縮率從40%～80%增長(zhǎng)，單陣元CS 信號(hào)波束合成后的A 掃信號(hào)穩(wěn)定性優(yōu)于A 掃信號(hào)壓縮感知；當(dāng)壓縮率為60%時(shí)，單陣元CS 信號(hào)波束合成的標(biāo)準(zhǔn)差僅為0.002 467，比同壓縮率下A 掃CS 的標(biāo)準(zhǔn)差降低了63%。

3.5 圖像重構(gòu)

超聲相控陣B 掃圖像是超聲無(wú)損檢測(cè)的重要依據(jù)，通過(guò)最優(yōu)型測(cè)量矩陣在不同壓縮率下對(duì)B 掃圖像進(jìn)行壓縮感知研究。以峰值信噪比（PSNR,peak signal to noise ratio）作為判斷重構(gòu)結(jié)果的量化標(biāo)準(zhǔn)，表示為

其中，MSE 為實(shí)驗(yàn)圖像與壓縮重構(gòu)圖像的均方誤差。采樣B 掃圖像如圖6所示，不同壓縮率的B 掃壓縮圖如圖7和圖8所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和A 掃重構(gòu)結(jié)果類似：壓縮率在60%時(shí)，PSNR=43.109 3，重構(gòu)圖像效果較好；當(dāng)壓縮率為70%時(shí)，PSNR=32.530 3，重構(gòu)圖像明顯看到失真，無(wú)法達(dá)到要求。

圖6 采樣B 掃圖Fig.6 Sampling B-scan image

圖7 壓縮率為60%B 掃圖像Fig.7 B-scan image with 60%compression ratio

圖8 壓縮率為70%B 掃圖像Fig.8 B-scan image with 70%compression ratio

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)超聲相控陣信號(hào)壓縮感知測(cè)量矩陣的優(yōu)化，提出一種基于超聲信號(hào)的最優(yōu)型測(cè)量矩陣，并研究其在超聲相控陣信號(hào)波束合成及圖像重構(gòu)上的效果。以碳纖維復(fù)合材料的分層缺陷信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別比較了最優(yōu)型測(cè)量矩陣與傳統(tǒng)的4 種測(cè)量矩陣的重構(gòu)效果，結(jié)果顯示最優(yōu)型測(cè)量矩陣的重構(gòu)效果明顯優(yōu)于其他4 種測(cè)量矩陣。通過(guò)對(duì)單陣元壓縮感知信號(hào)線性疊加，驗(yàn)證壓縮感知在波束合成下的效果，比較不同壓縮率下單陣元重構(gòu)成功率。結(jié)果顯示對(duì)單陣元壓縮感知信號(hào)波束合成A 掃信號(hào)的重構(gòu)誤差低于A掃壓縮感知信號(hào)，且最優(yōu)化測(cè)量矩陣在圖像壓縮感知方面，也可在60%壓縮率下，準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)圖像重構(gòu)。最優(yōu)型測(cè)量矩陣和超聲相控陣壓縮感知波束合成方法具有一定的理論意義和應(yīng)用價(jià)值，但最優(yōu)化測(cè)量矩陣構(gòu)造過(guò)程計(jì)算量大、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)等問(wèn)題及硬件實(shí)現(xiàn)還需進(jìn)一步研究。