朱烈強 賀 志

（湖南文理學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 常德 415000）

利用偶極-偶極相互作用來控制開放量子系統(tǒng)中的非馬爾科夫性研究

朱烈強 賀 志

（湖南文理學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 常德 415000）

文章給出了一個新的方案即利用輔助的偶極-偶極相互作用來控制一個開放兩能級系統(tǒng)中的非馬爾科夫性。首先分析求解了一個增加偶極-偶極相互用項的衰減J-C（Jaynes-Cummings）模型并獲得了相應(yīng)的解。接著，具體討論了增加的偶極-偶極相互用對開放兩能級系統(tǒng)中的非馬爾科夫性的影響。研究發(fā)現(xiàn)：通過調(diào)節(jié)偶極-偶極相互用強度，開放兩能級系統(tǒng)中的非馬爾科夫性將會產(chǎn)生顯著的變化。這將為在量子信息處理中主動控制開放系統(tǒng)中非馬爾科的研究提供一定的借鑒意義。

開放兩能級系統(tǒng)；非馬爾科夫性；偶極-偶極相互作用

1 引言

在量子信息處理中，一個開放的量子系統(tǒng)經(jīng)歷的動力學(xué)演化按照不同的性質(zhì)可以劃分為馬爾科夫和非馬爾科夫過程[1]。馬爾科夫過程指的是外界環(huán)境沒有記憶效應(yīng)，系統(tǒng)的信息或能量單方向流入的環(huán)境中；而非馬爾科夫過程表示外界環(huán)境有記憶效應(yīng)，系統(tǒng)流入到環(huán)境中的信息或能量可以一部分回流給系統(tǒng)，系統(tǒng)的相干性能得到有效的保護。近來，已有研究表明[2]非馬爾科夫過程中從環(huán)境流回到系統(tǒng)的信息或能量可以用非馬爾科夫性來表征。非馬爾科夫性可以從不同的角度來定義，其中用的較多且比較流行的非馬爾科夫性度量是通過跡距離[2]來定義的。由跡距離定義的非馬爾科夫性有一個很好的物理解釋，即一個馬爾科夫過程只能降低兩個量子態(tài)的區(qū)分性；相反地，兩個量子態(tài)的區(qū)分性的增加就表示非馬爾科夫過程發(fā)生了。對于研究開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫性，一般?？紤]一個兩能級系統(tǒng)同一個零溫度熱庫相互作用模型。因為這個模型能得到其精確解，所以在量子信息處理中被廣泛地研究。 過去針對非馬爾科夫性的研究主要是被動去理解或解釋存在模型中非馬爾科夫性，但真正去主動控制開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫性卻很少。本文提出了一種新的方案來主動控制一個開放兩能級系統(tǒng)中的非馬爾科夫性。具體來說，在著名的衰減的J-C(Jaynes-Cummings)模型[1]的基礎(chǔ)上，通過增加另一個輔助的兩能級系統(tǒng)來控制衰減的 J-C模型的非馬爾科夫性。研究表明：通過調(diào)節(jié)偶極-偶極相互用強度，開放兩能級系統(tǒng)中的非馬爾科夫性將會產(chǎn)生顯著的變化。這將為在量子信息處理中主動控制開放系統(tǒng)中非馬爾科的研究提供一定的借鑒意義。

2 理論模型及其解

著名的衰減的 J-C模型指的是一個兩能級系統(tǒng)同一個零溫度熱庫相互作用模型，人們對這個模型中的非馬爾科夫性作了詳細的研究[3-6]。這里，在衰減的J-C模型的基礎(chǔ)上，通過引入另一個兩能級系統(tǒng)來研究其非馬爾科夫性。本文建議改良了的衰減J-C模型可用圖1來表示：

圖1　改良了的衰減J-C模型圖

圖1對應(yīng)的哈密頓量可以表示成

注意，0H表示兩個兩能級系統(tǒng)和熱庫自由的哈密頓量，HI表示一個兩能級系統(tǒng)同熱庫相互作用的哈密頓量，以及兩個兩能級系統(tǒng)系統(tǒng)之間通過偶極-偶極相互作用的哈密頓量，ωa表示兩個兩能級系統(tǒng)系統(tǒng)的本征頻率，ωk表示熱庫中第k個模式的頻率， gk表示一個兩能級系統(tǒng)同熱庫第k個模式相互作用的耦合常數(shù)，Ω表示兩個兩能級系統(tǒng)系統(tǒng)之間偶極-偶極相互作用強度，分別兩能級原子的的躍遷算符，和 bk分別表示熱庫中第k個模式的上升和下降算符。

在相互作用繪景中，經(jīng)過一些代數(shù)運算，可得到相互作用中的哈密頓量為

如果文中只考慮整個系統(tǒng)（包括兩個兩能級原子和熱庫）中激發(fā)數(shù)等于 1的情況，那么整個系統(tǒng)的波函數(shù)可以唯象的寫成下列的形式，

這里，下指標1和2分別代表原子1和2， r表示熱庫。

根據(jù)在相互作用繪景中的薛定諤方程[7]

可獲得波函數(shù)方程（3）中的系數(shù)滿足下列耦合方程：

利用初始條件Dk(0)=0，積分方程（7）并代入到方程（5），可得到 B( t)滿足下列方程

其中記憶核由

接著，對方程（6）和方程（8）作拉譜拉斯變換，可以得到B( p)的表達式為（已假設(shè)C(0)=0）

原則上，通過對方程（10）執(zhí)行逆拉普拉斯變換，就可得到B( t)的表示式如B( t)=B(0)μ(t)，但由于μ( t)太過復(fù)雜，所以文中只給出其數(shù)值結(jié)果。然而，有興趣的是，在一些特殊的情況下可獲得 μ(t)明顯的數(shù)學(xué)表達式如下：

（i）當(dāng)熱庫環(huán)境是完全沒有記憶效應(yīng)的，即λ→∞，此時μ(t)的數(shù)學(xué)表達式能寫成

（ii）當(dāng)在方程（10）中令0Ω=，此時可得到 ()tμ的熟悉的表達式

其中A(0)和B(0)由原子1初始態(tài)給出。到現(xiàn)在，研究原子1的非馬爾科夫動力都由方程（13）決定。

3 基于跡距離的非馬爾科夫度量

在2009年 Breuer等[2]首次提出了一種刻畫開放量子系統(tǒng)中的非馬爾科夫性的度量如下：

這個跡距離D(ρ1, ρ2)是反映量子態(tài) ρ1和ρ2的可區(qū)分度，它被定義為[8]

明顯地，在方程（14）中涉及到一個最大化的問題，要處理這個最大化問題，一般說來是一個比較棘手的事情。幸運的是，在筆者以前的一個工作[9]中，對于共振情況給出了最優(yōu)化的初態(tài)如：Ω這樣有了方程（13）和（14），就能討論文中提出的模型中的非馬爾科夫性了。

4 分析與討論

在下面的圖2中，具體描繪了跡距離D(ρ1(t),ρ2(t))隨時間的演化關(guān)系（如圖2（a））以及非馬爾科夫性N隨偶級-偶級相互作用強度Ω的變化關(guān)系（如圖2（b））。

首先，由于從方程（14）可知：如果D(ρ1(t ),ρ2(t))隨時間的變化是單調(diào)遞減的關(guān)系，那么系統(tǒng)將表現(xiàn)為馬爾科夫動力學(xué)過程；相反地，如果D(ρ1(t),ρ2(t))隨時間的變化是呈現(xiàn)非單調(diào)遞減的關(guān)系，那么系統(tǒng)將表現(xiàn)為非馬爾

圖2　改良了的衰減J-C模型中跡距離　D　(ρ　1　(t ),ρ2(t))隨時間標度γ0t的演化關(guān)系如(a)以及非馬爾科夫性N隨偶級-偶級相互作用強度Ω的變化關(guān)系如(b)

圖2科夫動力學(xué)過程。從圖2（a）可以明顯地看到：無論偶級-偶級相互作用強度Ω是強還是弱，跡距離D(ρ1(t),ρ2(t))隨時間的變化關(guān)系總是呈現(xiàn)非單調(diào)的關(guān)系（對于弱的偶級-偶級相互作用強度Ω＝0.1也有類似現(xiàn)象（看內(nèi)嵌圖））。這就表明：只要有原子2的偶級-偶級相互作用的加入，考慮的系統(tǒng)原子1將總會表現(xiàn)為非馬爾科夫過程。更進一步，從圖2（b）中可以獲知，隨著偶級-偶級相互作用強度Ω的增強，原子 1表現(xiàn)出的非馬爾科夫性N就更強。這是一個非常值得注意的現(xiàn)象。為了體現(xiàn)偶級-偶級相互作用的引入在改變系統(tǒng)的非馬爾科夫過程的作用，筆者也畫了沒有偶級-偶級相互作用時，著名的的衰減J-C模型中的跡距離D(ρ1(t ),ρ2(t))隨標度γ0t的演化關(guān)系和非馬爾科夫性N隨參數(shù)λ的變化關(guān)系（如圖3顯示）。

圖3　著名的衰減J-C模型中跡距離　D(　ρ　1　(t),ρ2(t))隨時間標度γ0t的演化關(guān)系如(a)以及非馬爾科夫性N隨參數(shù) γ0的變化關(guān)系如(b)

明顯地，從圖3（a）可以看到，原子1的跡距離D(ρ1(t),ρ2(t))隨時間的變化關(guān)系是否呈單調(diào)遞減的關(guān)系取決于在不同的參數(shù)機制。例如當(dāng)λ=10γ0即滿足方程方程（12）中的馬爾科夫過程發(fā)生的條件γ0＜λ2，所以，跡距離D(ρ1(t ),ρ2(t))隨時間呈單調(diào)遞減的關(guān)系；相反地，當(dāng)λ=0.1γ0即滿足方程方程（12）中的非馬爾科夫過程發(fā)生的條件γ0＞λ2，所以，跡距離D(ρ1(t ),ρ2(t))隨時間呈非單調(diào)遞減的關(guān)系。進一步，非馬爾科夫性 N隨參數(shù) γ0的變化關(guān)系也佐證了上述的結(jié)果：即當(dāng)γ0＜λ2時，N消失；當(dāng)γ0＞λ2時，N就表現(xiàn)為非零且隨 γ0呈單調(diào)增加的關(guān)系。

所以，比較圖2和圖3，可得到本文的主要結(jié)果：當(dāng)引入了偶級-偶級相互作用時，考慮的系統(tǒng)原子1將總會表現(xiàn)出非馬爾科夫效應(yīng)，這有利于量子相干性的保持；而沒有偶級-偶級相互作用時，考慮的系統(tǒng)原子 1是否表現(xiàn)出非馬爾科夫效應(yīng)取決于不同的參數(shù)選擇。

5 結(jié)論

總之，本文提出了一種新的方案來主動控制開放系統(tǒng)中的非馬爾科夫效應(yīng)。 首先我們分析求解了方案對應(yīng)模型并給出了相應(yīng)的解。 進一步，具體討論了增加的偶極-偶極相互用對開放兩能級系統(tǒng)中的非馬爾科夫性的影響。研究發(fā)現(xiàn)：只要有偶極-偶極相互用的加入，開放兩能級系統(tǒng)中的非馬爾科夫效應(yīng)總是會存在。 這將為在量子信息處理中主動控制開放系統(tǒng)中非馬爾科夫效應(yīng)的研究提供一定的借鑒意義。

[1] Breuer H P and Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems[M].Oxford:Oxford University Press,2002.

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Controlling non-Markovianity of open quantum system with addition of dipole-dipole interaction

We present a new scheme for controlling non-Markovianity of an open two level system with addition of dipole-dipole interaction. First we analytically solve the modified-damped Jaynes-Cummings model and obtain its solutions. Then, we concretely discuss the influence of the adding dipole-dipole interaction on non-Markovianity of an open two-level system. By investigation, we find that non-Markovianity of the open two level system can be obviously changed by adjusting the dipole-dipole interaction strength. It is helpful to control the non-Markovianity of quntum information processing.

Open two level systems; non-Markovianity, dipole-dipole interaction

O469

A

1008-1151(2016)09-0023-03

2016-08-13

湖南省光電信息技術(shù)虛擬仿真實驗教學(xué)中心項目；湖南省光電信息技術(shù)校企聯(lián)合人才培養(yǎng)基地項目。

朱烈強（1994－），男，湖南文理學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院學(xué)生，研究方向為量子信息。