胡大紅

（漢口學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430000）

基于背景值與初始條件優(yōu)化的非等間距GM(1,1)模型

胡大紅

（漢口學(xué)院 計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430000）

利用非等間距GM(1,1)模型一次累加生成序列近似滿足指數(shù)規(guī)律優(yōu)化其背景值，再利用最小二乘法，由模擬序列和原始序列的一次累加生成值的偏差平方和最小對模型的時間響應(yīng)函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而建立基于背景值與初始條件同時優(yōu)化的非等間距GM(1,1)模型，并通過實例驗證此模型的有效性與可行性.

灰色系統(tǒng)理論；非等間距GM(1,1)模型；背景值優(yōu)化

灰色GM(1,1)預(yù)測模型是對小樣本、貧信息系統(tǒng)進(jìn)行建模的重要預(yù)測模型.自提出以來，主要應(yīng)用于等間距離散數(shù)據(jù)的建模預(yù)測[1-5].在實際生活和工程應(yīng)用中，有很多數(shù)據(jù)都屬于非等間距采樣，對于這一類數(shù)據(jù)，建模方法與傳統(tǒng)等間距數(shù)據(jù)建模方法不同，需要考慮時間序列對數(shù)據(jù)發(fā)展的影響.文獻(xiàn)[6-9]對非等間距序列的建模方法進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[6]以非等間距序列的間距為乘子，對非等間距序列建立優(yōu)化模型，文獻(xiàn)[7]以平均相對誤差絕對值最小為目標(biāo)，以模型參數(shù)之間的關(guān)系為約束，構(gòu)建了一個非線性優(yōu)化模型實現(xiàn)非等間距GM(1,1)模型的參數(shù)估計，文獻(xiàn)[8]以一次累加觀測值與模擬值的殘差平方和最小為條件，對非等間距GM(1,1)模型的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，文獻(xiàn)[9]通過重構(gòu)背景值建立非等間距GM(1,1)優(yōu)化模型.這些研究為非等間距序列建立灰色預(yù)測模型提供了有益的探索，但建模精度有待進(jìn)一步提高.

本文試圖通過研究非等間距原始序列的特點和GM(1,1)模型的建模機(jī)理，在優(yōu)化背景值的基礎(chǔ)上，根據(jù)最小二乘法，以原始序列的一次累加生成值與模擬值之差平方和最小為條件，構(gòu)建非等間距GM(1,1)模型的時間響應(yīng)函數(shù)的優(yōu)化模型.

1 非等間距GM(1,1)模型

對X(1)建立白化微分方程

對應(yīng)灰微分方程為

其中z(1)(ki)是x(1)(ki)在[ki-1,ki]上的背景值.灰色微分方程的參數(shù)a,b的最小二乘估計，其中，則白化微分方程的時間響應(yīng)函數(shù)為

2 非等間距GM(1,1)模型的優(yōu)化

3 工程實例

本文采用文獻(xiàn)[6-9]中的工程技術(shù)實例來建模.該序列是P.G福雷斯研究了鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的實驗結(jié)果，這是一個非等間距序列.文獻(xiàn)[6]以序列的間距Δki為乘子構(gòu)造一次累加生成序列，以和原始GM(1,1)模型相同的方法建立非等間距GM(1,1)模型，文獻(xiàn)[7]提出了非等間距GM(1,1)冪模型的灰色微分方程，以平均相對誤差絕對值最小化為目標(biāo)，以模型參數(shù)之間的關(guān)系為約束，構(gòu)建了一個非線性優(yōu)化模型對非等間距GM(1,1)冪模型的參數(shù)γ進(jìn)行估計，從而建立優(yōu)化的非等間距GM(1,1)冪模型.按照本文所建立的非等間距GM(1,1)模型，文獻(xiàn)[6]，[7]所建立的模型分別對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模，然后進(jìn)行對比分析.

本文所建立的非等間距GM(1,1)模型記為優(yōu)化模型，其時間響應(yīng)函數(shù)為

3個模型模擬效果的比較如表1.

從表1可以看出，本文建立的優(yōu)化模型的模擬效果的平均相對誤差是0.43%，文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]所建模型的模擬效果的平均相對誤差分別是0.76%和0.75%，本文建立的優(yōu)化模型的最大相對誤差-1.44%，而文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]所建模型的最大相對誤差分別是2.24%和-2.43%，從平均相對誤差和最大相對誤差來看，本

文所建的優(yōu)化模型的模擬效果更優(yōu).

表1 三個模型的的模擬值與實際值的比較

三個模型的預(yù)測效果的比較如表2，可以看出，本文建立的優(yōu)化模型的預(yù)測相對誤差是0.33%，而文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]所建模型的預(yù)測相對誤差分別是-2.70%和2.53%，本文所建立的優(yōu)化模型的預(yù)測效果更優(yōu).

表2 三個模型的的預(yù)測值與實際值的比較

4 結(jié)語

由于非等間距序列在實際生活和工程應(yīng)用等領(lǐng)域大量存在，所以對非等間距序列的建模進(jìn)行研究有非常重要的現(xiàn)實意義.本文通過分析非等間距序列的特點和GM(1,1)模型的建模機(jī)理，提出了一種對背景值和時間響應(yīng)函數(shù)中的參數(shù)同時進(jìn)行優(yōu)化的建模方法，實例表明該優(yōu)化模型對于非等間距序列的擬合和預(yù)測效果均較好，可以提高非等間距GM(1,1)模型的模擬精度和預(yù)測精度.

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Unequal Interval GM(1,1)Model Based on Optimization of Background Value and Original Condition

HU Dahong
(Computer Science&Technology College,Hankou University,Wuhan 430000,China)

The background value of the unequal interval GM(1,1)model is optimized while its first accumulated generating series satisfy the approximate exponential rules.According to the method of least squares,the pending coefficient of the time response function is optimized when the sum of the squared differences of the first accumulated generating values and the simulative values is the smallest,then the unequal interval GM(1,1)model optimized both the background value and the original condition is obtained.This optimized model doesn’t need to select the initial condition,and an example is given to show the effectiveness and feasibility of this model.

Grey system theory;Unequal interval GM(1,1)model;Background value optimization

N941.5

A

2095-4476（2016）11-0020-03

（責(zé)任編輯：饒 超）

2016-10-11;

2016-11-02

湖北省教育廳科研項目(B2015504)

胡大紅(1974—),女,湖北隨州人,漢口學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院副教授.