楊艷

（湖北文理學院 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 襄陽 441053）

一類亞循環(huán)2-群自同構(gòu)群的階

楊艷

（湖北文理學院 數(shù)學與計算機科學學院，湖北 襄陽 441053）

亞循環(huán)2-群是亞循環(huán)群中一種較為復雜的類型，討論一類亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群的階.

亞循環(huán)群；亞循環(huán)2-群；自同構(gòu)群

所謂亞循環(huán)群，就是循環(huán)群被循環(huán)群的擴張.關(guān)于亞循環(huán)群的研究，在分類和性質(zhì)方面，從奇階亞循環(huán)p-群到亞循環(huán)2-群，再到一般的亞循環(huán)群以及無限亞循環(huán)群，前人都做了卓有成效的研究.亞循環(huán)p-群的完全分類是由BruceW.King在1973年給出，而徐明曜利用奇階亞循環(huán)p-群的正則性，把這一理論進行了簡化計算.此后，隨著對一些有特殊性質(zhì)的p-群研究的深入，關(guān)于亞循環(huán)p-群的研究也不斷涌現(xiàn)，這其中也包含很多對亞循環(huán)2-群的研究.[1-3]

關(guān)于亞循環(huán)群的自同構(gòu)群，學者們通過對群的標準表示、群的內(nèi)在結(jié)構(gòu)以及群的階的研究，給出了一些好的結(jié)果，包括分裂亞循環(huán)群、奇階亞循環(huán)p-群、一些有特殊性質(zhì)的亞循環(huán)群及無限亞循環(huán)群.在分裂的亞循環(huán)群方面，Curran M.J.利用亞循環(huán)群的標準表示及自同構(gòu)群的階，在2006及2007年發(fā)表了兩篇文章，分別得到了分裂的奇階亞循環(huán)p-群和亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群.[4]

有限亞循環(huán)群的結(jié)構(gòu)研究已完成，學者的注意力主要集中在其自同構(gòu)群的研究上，而由Hall分解準則，一般亞循環(huán)群可分解為亞循環(huán)p-群，因此要得到一般亞循環(huán)群的自同構(gòu)群，首先就要研究亞循環(huán)p-群的自同構(gòu)群.奇階的亞循環(huán)p-群的自同構(gòu)群已由Curran M.J.給出，而亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群的研究尚不全面.[5-6]

本文試圖研究一類亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群的階，從而為研究其自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)提供支持.

1 相關(guān)定義及性質(zhì)

引理1 有限亞循環(huán)2-群有兩種表示，即

2 主要結(jié)論

3 實例

4 結(jié)語

亞循環(huán)2-群是亞循環(huán)群中一種較為復雜的類型，本文討論一類亞循環(huán)2-群自同構(gòu)群的階，并得到了其一部分自同構(gòu)群的階.文章研究方法和思路可用于討論其它更復雜的亞循環(huán)2-群；根據(jù)亞循環(huán)2-群的自同構(gòu)群的階，結(jié)合文中推論，對研究其自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)有一定幫助.

[1]SIM HYOSEOB.Metacyclic groups of odd order[J].Bulletin of the Australian Mathematical Society,1993,47(2):47-71.

[2]HEMPEL C E.Metacyclic groups[J].Comm.Algebra,2000,28(8):3865–3897.

[3]XU MINGYAO,ZHANG QINHAI.A classification of metacyclic 2-groups[J].Algebra Colloq,2006,13(1):25-34.

[4]CURRAN M J.The automorphism group of a nonsplit metacyclic p-group[J].Arch.Math.,2008,90(6):483-489.

[5]楊 艷.有限分裂亞循環(huán)p-群一個判別條件[J].湖北文理學院學報,2013,34(8):8-9.

[6]楊 艷.亞循環(huán)p-群的表示[J].襄樊學院學報,2012,33(5):9-11

On the Order of the Automorphism Groups of Split Metacyclic 2-groups

YANG Yan
(School of Mathematical and Computer Sciences,Hubei University of Arts and Science, Xiangyang 441053,China)

The split metacyclic 2-groups are very important in group theory.In this paper,we give the order of the automorphism groups of split metacyclic 2-groups.

Metacyclic group;Metacyclic 2-group;Automorphism groups

O157

A

2095-4476（2016）11-0013-03

（責任編輯：饒 超）

2016-09-12

楊 艷(1981— ),女,湖北襄陽人,湖北文理學院數(shù)學與計算機科學學院講師.