李敏

（湖北文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 湖北 襄陽 441053）

多目標(biāo)C-A指派問題的模糊差值法求解

李敏

（湖北文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院， 湖北 襄陽 441053）

提出一類多目標(biāo)的C-A指派問題，給出了它的多目標(biāo)整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，運用模糊關(guān)系合成矩陣將其轉(zhuǎn)化為模糊C-A指派問題，采用差值法求解.最后給出一個應(yīng)用實例.

多目標(biāo)；C-A指派問題；模糊隸屬度；差值法

標(biāo)準(zhǔn)指派問題的一般提法為:有n項工作要安排n個人去做，每個人只能安排一項工作，每一項工作只需要安排一個人.若已知第i個人做第j項工作的效率為cij(i,j=1,2,…,n),求使總效率最優(yōu)的指派方案.解決這一問題的著名方法是匈牙利法[1].該問題是個單目標(biāo)的決策問題，但在實際生活及各類管理決策過程中，決策者需要考慮的因素往往很多，如時間、效益、安全等等，因此面對的多是各類非標(biāo)準(zhǔn)形式[2]的或多目標(biāo)[3-4]的指派問題.基于此,本文討論了一類多目標(biāo)的C-A指派問題，給出了它的多目標(biāo)整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，運用模糊關(guān)系合成矩陣將其轉(zhuǎn)化為模糊意義下的C-A指派問題[5]，并采用差值法求解，為決策者提供了可靠的科學(xué)依據(jù).

1 多目標(biāo)C-A指派問題的描述及數(shù)學(xué)模型

多目標(biāo)C-A指派問題：從m個人中選擇k(0

其中對值越大越優(yōu)的目標(biāo)而言，max′表示取最大值 (max)；對值越小越優(yōu)的目標(biāo)而言，max′表示取最小值(min).

2 多目標(biāo)C-A指派問題的模糊差值法求解

2.1 多目標(biāo)模糊關(guān)系合成矩陣

則以bij為元素的m×n矩陣B稱為多目標(biāo)模糊關(guān)系合成矩陣.

2.2 多目標(biāo)C-A指派問題的模糊差值法

在多目標(biāo)模糊關(guān)系合成矩陣中B=(bij)m×n，若把bij看作是第i人做第j項工作的模糊綜合效益，其值越大越優(yōu)，可把B看作是多目標(biāo)C-A指派問題的模糊效益矩陣，則原多目標(biāo)C-A指派問題已被轉(zhuǎn)化成一個模糊意義下目標(biāo)函數(shù)求最大的C-A指派問題，當(dāng)然可用匈牙利法求解，但將其轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)指派問題后，其規(guī)模會變得很大，大大增加了計算難度.對此，由文獻[3]可知，用差值法求解目標(biāo)函數(shù)最小化的C-A指派問題非常方便，故先將多目標(biāo)C-A指派問題轉(zhuǎn)化為模糊意義下目標(biāo)函數(shù)求最小的C-A指派問題，再用差值法求解.若記轉(zhuǎn)化后的模糊效益矩陣為，其中為所有bij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)中的最大值，其數(shù)學(xué)模型為：

3 算例

例 已知某單位現(xiàn)要從5個人中選擇3個人去完成4項工作中的某3項工作，已知每個人做不同工作的效益矩陣、時間矩陣、安全性矩陣分別為C1,C2,C3，請確定使得三個目標(biāo)都最優(yōu)的指派方案.

解 由于效益目標(biāo)值和安全性目標(biāo)值屬于越大越優(yōu)型，故它們的模糊相對隸屬度選用公式 (2)計算，而時間目標(biāo)值屬于越小越優(yōu)型，故它的模糊相對隸屬度選用公式 (1)計算，則得到三個目標(biāo)下關(guān)于“優(yōu)”的模糊關(guān)系矩陣，再取三個目標(biāo)的權(quán)向量為,根據(jù)(3)式給出bij(i=1,2,…, m;j=1,2,…,n)，則可得模糊關(guān)系合成矩陣為：

由于以矩陣B為模糊效益矩陣的指派問題是最大化問題,因此必須將B轉(zhuǎn)化為B′,再按差值法求解，得解矩陣X=(xij)5×4.

從求解矩陣可以看出，選擇后3個人去做后3項工作，雖然不是使得3個目標(biāo)各自單獨考慮時都達到最優(yōu)的指派方案，但從C1,C2,C3數(shù)據(jù)來看，要同時平衡這3個目標(biāo)，該指派方案是完全合理的.

本文根據(jù)管理決策的實際需要,提出了一類多目標(biāo)C-A指派問題,運用模糊關(guān)系合成矩陣將其轉(zhuǎn)化成模糊C-A指派問題,并用差值法來求解.算例表明該轉(zhuǎn)化及求解方法巧妙、簡便有效，能夠為決策者提供可靠的決策依據(jù).

[1]李 敏.運籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2014.

[2]張勁松,李 紅.求解非標(biāo)準(zhǔn)形式指派問題的行調(diào)整法[J].統(tǒng)計與決策,2008(14):155-156.

[3]郭倩倩,吳開信,郝 光.一類模糊多目標(biāo)指派問題的解法及應(yīng)用[J].西華大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006,25(2):70-71,87.

[4]李仁傳,張合勇.變權(quán)多目標(biāo)指派問題及其求解[J].軍事運籌與系統(tǒng)工程,2012,26(4):58-61.

[5]李 敏.求解C-A指派問題的差值法[J].襄樊學(xué)院學(xué)報,2011,32(8):21-24.

[6]宋昭峰,劉付顯.基于模糊指派的陣地選址決策[J].火力與指揮控制,2006,31(7):34-36.

Fuzzy Difference Value Method for Solving the Multi-objective C-A Assignment Problem

LI Min
(College of Mathematical and Computer Sciences,Hubei University of Arts and Science, Xiangyang 441053,China)

A multi-objective C-A assignment problem is proposed and discussed in this paper.Firstly,its multiobjective integer linear programming model is presented.Then,it is converted to a fuzzy C-A assignment problem by applying the fuzzy relationship synthetic matrix,and its optimal solution can be found through difference value method.Finally,a practical example is given to illustrate the method.

Multi-objective;C-A assignment problem;Fuzzy membership grade;Difference value method

O221.6

A

2095-4476(2016)11-0010-03

（責(zé)任編輯：陳 丹)

2016-10-20;

2016-11-10

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究計劃指導(dǎo)性項目(B20122505)

李 敏(1976— ),女,湖北隨州人,湖北文理學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院副教授.