孫瑛，程文韜，李公法 孔建益，蔣國璋，李喆 武漢科技

(大學機械自動化學院，湖北武漢430081)

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關節(jié)型機器人軌跡規(guī)劃算法及軌跡規(guī)劃研究現狀

孫瑛，程文韜，李公法 孔建益，蔣國璋，李喆 武漢科技

(大學機械自動化學院，湖北武漢430081)

隨著制造產業(yè)的飛速發(fā)展，工業(yè)機器人逐漸在人們的生產活動中變得尤為重要。而軌跡規(guī)劃對于機器人提高工作效率和質量都十分關鍵。針對機器人軌跡規(guī)劃在國內外的研究進展進行了綜述，介紹了一些常用的關節(jié)型機器人的軌跡規(guī)劃算法，包括關節(jié)空間中三次多項式插值算法、五次多項式插值算法、拋物線插值算法以及笛卡爾空間中的直線插補和圓弧插補等軌跡規(guī)劃算法。同時對各軌跡規(guī)劃算法進行了對比分析得出其各自優(yōu)劣，介紹了空間軌跡規(guī)劃和最優(yōu)軌跡規(guī)劃的研究現狀,分析了目前一些方法所產生的作用與存在的缺陷或問題，并指出這些算法在以后的研究中應考慮的方向以及關節(jié)型機器人有待進一步研究的軌跡規(guī)劃問題和發(fā)展趨勢。

關節(jié)型機器人；軌跡規(guī)劃；關節(jié)空間；笛卡爾空間

當今工業(yè)領域中，機器人已被廣泛的應用起來，其中關節(jié)型機器人，也被稱為關節(jié)手臂機器人或關節(jié)機械手臂，是最常見的工業(yè)機器人的形態(tài)之一[1]。關節(jié)型機器人的主要特征是模仿人類腰部到人類手臂大體上的構造，通常由機座部分與腰關節(jié)轉動裝置、手腕部分與其關節(jié)轉動裝置、小臂部分與其關節(jié)轉動裝置、大臂部分與其關節(jié)轉動裝置和末端執(zhí)行器組成[2]。在同體積的情況下，其他結構的機器人的絕對和相對工作空間與關節(jié)型機器人相比小得多[3]。關節(jié)型機器人的自由度很高，它幾乎在任何軌跡或角度工作都可以，并且可以自由編程，實現全自動化的工作。在提高生產效率、可控制的錯誤率、替代許多對身體健康有害不適合人來從事的工作(比如汽車外殼點焊[4])等都有很強大的作用。

軌跡規(guī)劃和路徑規(guī)劃結合起來構成了機器人的運動規(guī)劃[5]。其中路徑是在不考慮機器人位姿參數隨時間變化的情況下機器人位姿的一系列序列，而軌跡是機器人根據任務需求，找出任務過程中位移、速度、加速度3者隨時間變化的關系[6]。

軌跡規(guī)劃是按照任務要求，求解出機器人預期的運動軌跡，即對機器人的任務、運動路徑和軌跡進行描述，實時求解出機器人運動的位移、速度和加速度，從而生成運動軌跡。近幾年來，關節(jié)機器人的軌跡規(guī)劃技術逐漸成為國內外機器人研究范疇內的熱點之一，同時也成為了機器人應用和研發(fā)的關鍵[7]。在控制機器人的過程中，其能量損耗、工作效率和平穩(wěn)運動均受到它的軌跡規(guī)劃功能的重要影響[8]。在實際的生產應用中，由于電動機受物理的限制提供的能量有限，而不能滿足突變運動所需要的極大的動力，從而導致機器人的關節(jié)磨損，使用壽命減少，因此，在運動過程中的機器人系統需盡力避免出現速度、加速度、位移的突變，保持平穩(wěn)無震動[9]。為了讓機器人各關節(jié)運動滿足上述要求，且關節(jié)運動既可以平穩(wěn)無震動又保證高效節(jié)能，則必需選擇適合的方法對關節(jié)機器人的運動軌跡進行規(guī)劃。關節(jié)型機器人在開始動作時，主要根據已設置的相干形狀軌跡進行運動，此時則必需對運動軌跡進行分析，即對軌跡進行規(guī)劃，然后獲取軌跡的有關信息，再輸進控制系統里來操控機器人工作[10]。因此，對于它的運動平穩(wěn)性，軌跡規(guī)劃作為控制系統組成部分之一有著至關重要的作用。但是與關節(jié)型機器人的軌跡規(guī)劃研究進展有關的綜述，目前國內外十分少。因此,筆者對關節(jié)型機器人軌跡規(guī)劃研究進行了系統地分析，同時對這些軌跡規(guī)劃算法進行了對比分析，從而提出關節(jié)型機器人軌跡規(guī)劃的未來發(fā)展趨勢及有待進一步探究的問題。

1 軌跡規(guī)劃算法

1.1 關節(jié)空間軌跡規(guī)劃算法

關節(jié)型機器人在關節(jié)空間中進行軌跡規(guī)劃時，用時間函數來描述關節(jié)變量，并規(guī)劃關節(jié)變量時間的函數一階和二階時間導數[11]。由于機器人的軌跡只是通過關節(jié)角度的函數來表示且不考慮兩路徑點之間的軌跡形狀，使得求解起來簡單省時。

圖1 關節(jié)空間中的機器人軌跡規(guī)劃流程圖

在進行軌跡規(guī)劃時，首先將各個運動路徑點利用逆運動學方程轉變?yōu)殛P節(jié)路徑點，其次通過各關節(jié)對應的關節(jié)路徑點進行擬合光滑函數[12]。這些關節(jié)軌跡函數分別表明各關節(jié)從起始位置開始，通過所有路徑點，最后抵達目的地的運動軌跡，其流程如圖1所示。

1.1.1 三次多項式插值算法

在機器人運動過程中，若已知末端執(zhí)行器的初始位姿與終止位姿，則相應兩位姿可通過逆運動學方程求出其各關節(jié)角度[13]。在關節(jié)空間中，用θ(t)表示通過起始位置和終止位置關節(jié)角的平滑軌跡函數，由它來代表末端執(zhí)行器實現兩位姿的運動軌跡的描述。為了保證運動的平穩(wěn)性，各關節(jié)的軌跡函數θ(t)最少滿足兩端點相應位姿的角度和速度4個限制條件。

在t0=0時，起始位姿對應的關節(jié)角度為θ0；在t=tf時，終止位姿所對應的關節(jié)角度為θf，即：

(1)

為保證各關節(jié)速度在運動時連續(xù)，兩端點處可初步設定為零，即：

(2)

由式(1)和式(2)可以唯一確定一個三次多項式：

θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3

(3)

則由式(3)可知運動中的關節(jié)速度和關節(jié)加速度為：

(4)

當滿足連續(xù)平穩(wěn)運動要求且關節(jié)運動的初速度為零時，三次多項式插值函數為：

(5)

則由式(5)可知關節(jié)角速度和角加速度為：

(6)

(7)

1.1.2 五次多項式插值算法

五次多項式通過6個限制條件來決定它僅有的6個未定系數。這6個條件分別由起始位置和目標位置處的關節(jié)量來獲取，其中關節(jié)變量主要包括角度、角速度和角加速度。此時五次多項式可用關節(jié)變量的時間函數來表示，則在經過一次求導后可以得到角速度的函數表達式；經過二次求導后可以得到角加速度的函數表達式。此時，它們的函數表達式為：

θ(t)=c0+c1t+c2t2+c3t3+c4t4+c5t5

(8)

(9)

(10)

對比五次多項式插值算法與三次多項式插值算法可知，后者的優(yōu)點是在實行軌跡規(guī)劃時，能夠確保有連續(xù)的關節(jié)角度和角速度，并且僅僅只要對一個四元一次方程組進行求解即可，計算量相對較小。但是它的缺點也十分明顯，由于不采用關節(jié)角加速度約束，因此對于關節(jié)角加速度無法保證其連續(xù)性，從而可能會造成關節(jié)處的電機發(fā)生振動。而五次多項式插值算法在進行軌跡規(guī)劃時考慮了關節(jié)加速度約束條件，故能保證各節(jié)點處的各關節(jié)量的連續(xù)性，從而使得電機平穩(wěn)運行。但相對三次多項式來說它的計算量會略微大一點。

1.1.3 拋物線插值算法

在使用前面算法時，會出現運動不穩(wěn)定的情況，主要原因是插值函數的導數趨于無窮大也就是關節(jié)加速度趨于無窮大而造成。因此在各關節(jié)運動時，必須給各節(jié)點前后增加一小段緩沖區(qū)域來過渡，以此來保證位移和速度的連續(xù)性，避免加速度過大帶來的影響。此處用帶拋物線來進行過渡，得到如圖2中的位置和速度連續(xù)圖像。

由圖2可知，拋物線二次函數的二次求導后為常數，相應過渡區(qū)的加速度為一固定值，避免造成加速度過大。因此在運動過程中關節(jié)不會產生跳躍，能夠平滑過渡[14]。此時若2段過渡曲線內的加速度大小相同方向相反，且過渡時間都是tb，那么滿足以上要求的過渡拋物線就有很多，獲得的運動軌跡也不再僅僅只有一條。但是得到的每個帶拋物線過渡的函數曲線都關于點(th,θh)對稱，如圖3所示。

圖2 帶拋物線過渡的線性插值

圖3 帶拋物線過渡的線性插值的多解和對稱

為保證各節(jié)點處速度的連續(xù)性，則線性域速度必須與過渡域[t0,tb]終點tb處的速度相等，此時有：

(11)

(12)

根據式(11)與式(12)可以得到：

(13)

式中, 2th為這一段從起始位置到終止位置所經歷的的時間。

(14)

此時為得到關節(jié)運動軌跡曲線，需要根據式(10)得到對應的tb，則：

(15)

1.2 笛卡爾空間軌跡規(guī)劃算法

針對于不同情況，對于運動軌跡的形狀機器人末端執(zhí)行器也有不同的要求。比如要求它能在不同點之間按照的不同的形狀軌跡運動[15]。為滿足上述要求，此時則需要在笛卡爾空間中實施軌跡規(guī)劃。事實上在兩空間中實施軌跡規(guī)劃時均可以選擇同樣的規(guī)劃方法。但它們之間存在最本質的區(qū)別就是笛卡爾空間軌跡規(guī)劃的關節(jié)角需要多次對逆運動學方程求解來得到，關節(jié)角速度則通過求解雅克比矩陣的逆來得到。整個過程可以簡化為以下計算循環(huán)：

1)將時間增加一個增量得到t=t+Δt；

2)運用所選擇的軌跡函數計算出手相應的位姿；

3)運用逆運動學方程將機器人手相應位姿的關節(jié)量求解出；

4)將關節(jié)信息傳遞給控制器；

5)返回到循環(huán)的開始。

1.2.1 直線插補算法

通過設定直線兩端點處位姿，求解軌跡中間點即插補點的相應位姿的方法叫做空間直線插補[16]。對于大部分機器人來說，在沿直線運動時其姿態(tài)基本保持不動。直線插補步驟如下：

2)求間隔內的行程，此時分勻速、加速、減速3種情況來討論：

a)勻速：設行程速度為v，則在插補周期Ts內的行程為d1=vTs；

4)判斷插補點在3段中的哪一段，然后明確肯定各個軸的增量，及時將各插補點坐標求解出來；

5)依據各點坐標值，利用運動學逆解將各關節(jié)角求解出；

6)關節(jié)角的插值計算。

1.2.2 圓弧插補算法

圖4 平面圓弧

已知不共線的3點p1(x1,y1)、p2(x2,y2)、p3(x3,y3)，如圖4所示，若插補間隔時間為Ts，沿圓弧運動時速度為v，其規(guī)劃計算如下：

1)由p1、p2、p3計算出圓弧半徑R；

2)總的圓心角為θ=θ1+θ2，且有：

θ1=arccos{[(x2-x1)2+(y2-y1)2-2R2]/2R2}

θ2=arccos{[(x3-x2)2+(y3-y2)2-2R2]/2R2}

3)求時間間隔內走過的路程，此時分勻速、加速、減速3種情況討論，此處與直線插補時雷同；

5)判斷插補點在三段中的哪一段，然后明確肯定各個軸的增量，及時將各插補點坐標求解出來；

6)依據各點坐標值，利用運動學逆解將各關節(jié)角求解出；

7)關節(jié)角的插值計算。

2 軌跡規(guī)劃研究現狀

2.1 空間軌跡規(guī)劃研究現狀

早在1997年，Abdel-Malek K和Yeh H J[17]就提出了檢測在空間中機械臂運行軌跡的精確性和完備性的一種數學分析計算方法。通過該方法可以保證機械臂順暢的實施焊接以及焊縫的完備，為其后的關節(jié)型機器人的空間軌跡規(guī)劃提供了十分關鍵的數學憑據。Wurll C和Henrich D[18]在1999年提出針對六自由度工業(yè)機器人的基于多目標及點對點空間軌跡規(guī)劃最優(yōu)的方案，運用該方案可以在保證獲得更好的焊接質量的同時提升機器人的焊接效率。對于弧焊機器人系統，Pachidis T P 和Lygouras J N[19]研究出基于視覺的一種全局路徑規(guī)劃方法。2005年,上海交通大學的張珂等[20]研究出一種軌跡規(guī)劃算法，即在自尋跡過程中移動關節(jié)型機器人位姿調整的算法。該算法對于軌跡追蹤的精度十分高，且易于實現，因此在實際工程中有較高的應用價值。針對弧焊機器人系統，上海交通大學的周律等[21]在2006年又研究出一種基于局部視覺的自主焊縫軌跡生成方法。天津工業(yè)大學的王天琪等[22]對于石油平臺管道T型焊縫進行研究，進而提出了一種多層多道焊的軌跡規(guī)劃方法。2011年,江南大學的陳魯剛等[23]為關節(jié)型機器人的軌跡規(guī)劃設計出了一種便捷的方案，其主要是利用ADAMS軟件對關節(jié)型機器人的逆運動學進行求解。中國工程物理研究院的曾翠華等[24]提出針對焊接球罐和圓柱的空間曲線焊縫，采用弗萊納。雪列空間矢量對關節(jié)機器人在離線的情形下的軌跡進行規(guī)劃編程，該方案有效的解釋了空間矢量和軌跡規(guī)劃在關節(jié)型機器人離線編程技術中的原理及算法。南昌航空工業(yè)學院的王曉峰[25]研究了焊接工藝參數與弧焊機器人的焊接姿態(tài)參數進行聯合規(guī)劃的方法，該方法在將焊接工藝參數與空間軌跡結合進行規(guī)劃的方面邁出了重要一步，而且在機器人焊接過程自動化方面具有很關鍵的作用。

以上研究表明，對于關節(jié)型機器人的空間軌跡規(guī)劃問題，目前在國內外被廣泛的關注和深入研究，因此針對性也越來越強。但此時，研究的越深其局限性就越來越強，使得他們所提出的方法不是全部適合關節(jié)型機器人的空間軌跡規(guī)劃。例如，對于上述Pachidis T P 和Lygouras J N所提出的方法，其主要應用于交通工具在具體焊接路徑難以確定時的焊接生產中，如損壞汽車的修復；在利用周律、陳善本提出的舉措來得到焊縫分別在低碳鋼和鋁合金對接焊縫時的坐標，對比發(fā)現鋁合金的焊縫坐標精度要遠遠低于低碳鋼的；天津大學王天琪提出的方法最后得到的結果主要應用在不考慮誤差時管道接頭為T型的移動式關節(jié)型機器人的焊接自動化過程中，其誤差主要來源于管道安裝和機器人工件標定，故存在一定的缺陷，需要將其完善后才能在實際生產中應用?？偨Y上述研究可知，他們均沒有將機器人空間軌跡規(guī)劃與關節(jié)機器人的工藝參數結合起來考慮，僅僅只是很簡單的針對其空間軌跡進行規(guī)劃。因此若想要提大大提升焊接的效率和質量，則需要將焊接的工藝參數與關節(jié)型機器人的空間軌跡規(guī)劃聯合起來。而王曉峰雖然將焊接姿態(tài)和焊接工藝參數進行了聯合規(guī)劃，但也只局限于焊槍的姿態(tài)同焊接工藝參數之間的聯系，并沒有將焊槍的空間運行軌跡、焊槍的位置同焊接工藝結合在一起。

2.2 最優(yōu)軌跡規(guī)劃研究現狀

針對于軌跡規(guī)劃最優(yōu)的優(yōu)化指標，可以將其分為能量最優(yōu)和時間最優(yōu)2種。其中研究以時間最短為優(yōu)化目標的軌跡規(guī)劃方法要更多，也更為熱門。對于能量最優(yōu)，在1996年Hirakawa A R和Kawamura A就對關節(jié)型機器人系統耗費的能量采用了B樣條曲線和變分法來實施優(yōu)化，從而解決冗余機器人的軌跡生成問題[26]。Garg D P和Kumar M在2002年結合遺傳算法和自適應模擬退火算法，將關節(jié)型機器人的優(yōu)化目標設定為最小力矩，從而使機器人的運動軌跡最優(yōu)，其主要針對的是2個連桿機器人和2個協調操作機器人[27]。

對于時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃的求解，主要有2種類型的方法[28]：利用最大速度及加速度約束條件求解和通過各類基于非線性約束最優(yōu)的算法求解。很多學者在機器人運動學基礎之上研究出了許多關于時間最短的軌跡規(guī)劃方法，如Lin等提出了依據機器人在速度、加速度、位置和二階加速度的運動學限制的一種基于時間最短的規(guī)劃規(guī)劃方法[29];在相同運動學約束下，Tondu等也提出了相似的規(guī)劃方法，不同的是，他們用帶有光滑轉折的折線將關節(jié)空間中的關鍵點連接到一起，達到了簡化的效果[30]。Bazaz等認為在基于速度和加速度限制的前提下，連接關節(jié)空間中各關鍵點的最簡單多樣式曲線是三次樣條曲線，以此為依據他們首先提出了一種算法，但該算法可能會使機器人在移動過程中發(fā)生振動，這是由于使用三次樣條曲線時在關節(jié)空間關鍵點的連接處未將加速度的連續(xù)性考慮進去。后來Bazaz等總結之前的方案，將關節(jié)空間關鍵點的聯接曲線換成具有平滑轉折的三次曲線段，并以此提出了一種新算法[31]。Choi等提出了一種僅利用運動學方法和進化策略來求出優(yōu)化模型的軌跡規(guī)劃方法，該方法主要針對精確動力學方程難以獲得的某些關節(jié)型機器人[32]。

上述研究雖然針對特定情況或在特定前提下都提出了各自的機器人最優(yōu)軌跡規(guī)劃算法，但每種算法也都有著各自的缺陷：Lin提出的是一種只針對局部的搜索算法，其性能主要受起始條件選擇的影響；Tondu提出的算法無法在得到的軌跡中的已知點進行插值操作；而Choi提出的算法十分簡易，源于其過度精簡了原本的優(yōu)化問題。在運動學和動力學約束條件下，許多優(yōu)化算法如遺傳算法、神經網絡、改進的混沌優(yōu)化算法、黃金分割法等，不但能較簡單且有效地實現基于時間最優(yōu)的關節(jié)型機器人軌跡規(guī)劃，并且能夠快速求解，縮短運行時間。由此看來，目前尚無一種通用的優(yōu)化算法來進行關節(jié)型機器人的最優(yōu)軌跡規(guī)劃。

3 結語

綜上所述，在關節(jié)和笛卡爾空間中均可以進行機器人的軌跡規(guī)劃，但為了使其在運動過程中平穩(wěn)，無震動，則所規(guī)劃的軌跡函數都要保證連續(xù)且光滑。在關節(jié)空間時計算較簡單，而在笛卡爾空間中則計算量大，從而會造成操縱間隔拖長的情況。在笛卡爾空間中進行軌跡規(guī)劃時，即使機器人的工作范圍內包含已知的路徑點，軌跡的所有點也不可能確保都在機器人工作范圍之內，而在關節(jié)空間中進行時則不會發(fā)生此類情況。另外，笛卡爾軌跡規(guī)劃法有時也會發(fā)生機構奇異性的情況。在研究關節(jié)機器人空間運行軌跡時，如何找到一種通用的軌跡插補算法來同時完成兩種空間軌跡規(guī)劃中多種類別的插補、如何統一多種最優(yōu)算法以及如何使得最優(yōu)軌跡規(guī)劃更簡易的完成是未來研究中亟需解決問題，同時也是以后在進行軌跡規(guī)劃研究時的重難點。

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[編輯] 張濤

2016-07-26

國家自然科學基金項目(51575407)。

孫瑛(1965-)，女，碩士，副教授，現主要從事機械工程方面的教學與研究工作；E-mail: 154072471@qq.com。

TP242

A

1673-1409(2016)28-0032-07

[引著格式]孫瑛，程文韜，李公法，等.關節(jié)型機器人軌跡規(guī)劃算法及軌跡規(guī)劃研究現狀[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(28)：32～38.