孫建紅

（忻州師范學院五寨分院基礎部，山西忻州036200）

基于微分幾何移動機械臂非線性控制的探討

孫建紅

（忻州師范學院五寨分院基礎部，山西忻州036200）

移動機械臂自誕生以來因具備廣闊的工作空間以及靈活的操作能力而受到國際學術界與工業(yè)界的高度重視；但是其在運動過程中容易受到一些不確定性的參數(shù)以及外擾動等因素的影響，因此其運動控制非常困難，而微分幾何法可確保運動系統(tǒng)的精確控制，實現(xiàn)大范圍的綜合分析.通過對微分幾何非線性控制與移動機械臂進行概況分析，探討基于微分幾何移動機械臂的非線性控制.

微分幾何；移動機械臂；非線性控制

0 引言

隨著中國傳感技術以及人工智能技術的發(fā)展進步，移動機器人的智能化程度不斷提升，其操作能力也得到不斷完善，因此也就誕生了移動機械臂.移動機械臂主要應用在制造業(yè)、星際領域探測或者具有高危險性的核反應堆建設等方面，在這些國家建設領域移動機械臂的應用能夠很好地代替人工操作.但是，移動機械臂在控制過程中卻出現(xiàn)一些問題，因此在微分幾何的基礎上研究了移動機械臂的非線性控制.

1 微分幾何非線性控制的概況

微分幾何是利用微積分的理論來研究空間的幾何性質，是非線性控制研究的數(shù)學基礎，主要以光滑曲線作為研究對象.而利用微分幾何法來研究非線性控制系統(tǒng)，其結構本身就是非線性的微分流形，也就是說所有狀態(tài)組成的空間不是一個向量空間，而全部呈現(xiàn)微分流形，當非線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)呈現(xiàn)微分流形時，其狀態(tài)方程就會被當作流形上的光滑向量場，之后所形成的積分曲線就是控制系統(tǒng)的控制狀態(tài)所形成的軌跡.最后就可以根據(jù)微分幾何的同胚、向量場、分布以及李代數(shù)等相關概念來對非線性控制系統(tǒng)進行相關研究[1].

在20世紀70年代，利用微分幾何法來研究非線性系統(tǒng)的控制問題開始逐步發(fā)展起來，到目前為止主要形成了能控性、能觀性、解藕以及線性化等多種非線性系統(tǒng)的幾何理論.微分幾何法由于在線性化過程中，其精確線性化方法沒有忽略任何的非線性項，因此利用微分幾何法來研究非線性控制系統(tǒng)不僅數(shù)據(jù)精確，而且精確線性化方法也得到充足的發(fā)展.

2 移動機械臂的概況

移動機械臂通常情況下是由自由度輪式移動機器人以及二連桿機械臂組成.自由度輪式移動機器人是由兩個同軸的驅動輪和一個起輔助作用的前輪以及一個平臺所組成，是一個三輪結構的移動機器人，這其中的驅動輪所采用的驅動裝置是直流伺服電機，主要負責移動機器人的平臺運動以及轉移方向.驅動輪的方向角是被固定的，而作為輔助作用的前輪是可以任意轉動的，二連桿機械臂則主要裝配在移動機器人平臺上的質心處，其各個關節(jié)的驅動裝置同樣采用直流伺服電機進行驅動[2].移動機器人的移動機械臂的具體結構如圖1所示.

圖1 移動機械臂的具體結構

從圖1可以看出，移動機械臂是一個具有高度的非線性以及強動力學耦合的多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)，隨著現(xiàn)在移動機械臂的應用范圍越來越廣，其結構設計也越來越復雜，相應地在控制上對精度的要求也越來越高，對運動范圍的要求同樣越來越大.因此在對移動機械臂進行大范圍的非線性控制時，還要將非線性模型轉換成解藕并且可以控制的線性模型[2].

3 基于微分幾何移動機械臂的非線性控制

3.1 移動機械臂的模型建立

移動機械臂的建模主要包括運動學和動力學兩個方面，如圖1所示，移動機械臂的移動平臺下面的驅動輪與地面之間的約束為非完整性約束，也就是說其移動平臺達到了純滾動與無滑動的約束條件.這種非完整性約束是輪式移動機械臂的顯著特征，其約束主要是移動機械臂車輪的純滾動以及非側滑的限制所引起的.同時移動機械臂系統(tǒng)的這種約束方程中經(jīng)常包含有微分項，并且還是不可積的非完整性方程，因此將其稱為非完整性系統(tǒng)[3].非完整性系統(tǒng)的主要特點就是約束方程中包含有不可積的微分項，其運動學模型的建立步驟主要為：首先通過約束方程確定非完整性系統(tǒng)；其次通過函數(shù)矩陣求出零空間的一組基值，來構造出非完整性系統(tǒng)的運動學模型；最后再依據(jù)選取的維向量構建移動機械臂的運動學模型[3].

移動機械臂的動力學建模依據(jù)的是動力學方程式，其主要是用來描述非完整性系統(tǒng)所受到的外力與系統(tǒng)本身所處的位置、運行速度以及加速度之間的關系.這是一種系統(tǒng)本身的動態(tài)性能，因此這種動力學即是系統(tǒng)設計時的動態(tài)分析基礎，同時也是其控制器實用性的有效保證.通常情況下動力學的建模方法即適于對相互起約束作用下的多個連桿運動進行分析，又可以有效導出呈封閉形式的機器人模型，奠定理論分析的基礎.但是由于其存在非完整性的約束條件，必須將這種建模方法中的約束力作為輸入項，再根據(jù)建模的形式建立非完整性的動力學方程式，因此移動機械臂的動力學建模步驟主要為：首先求出各個連桿質心在操作空間的坐標系，得出移動機械臂的總動能與系統(tǒng)的勢能；其次將移動機械臂的總動能與系統(tǒng)的勢能方程式進行簡化，最后即可得到移動機械臂的動力學模型[3].

3.2 多輸入多輸出系統(tǒng)的解藕控制問題

如上所述，移動機械臂作為一個多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)，要想實現(xiàn)其有效精確控制，首先要解決的就是解藕問題.通常情況下將這個系統(tǒng)進行一定程度的簡化，使其輸入輸出通道變成各自獨立的狀態(tài)，此時就屬于輸入輸出的解藕問題.解決這個問題的主要條件就是此系統(tǒng)必須有某個向量相對階[4].如下式所示即為其簡化后的正則靜態(tài)狀態(tài)反饋控制律：

移動機械臂由于具有多變量非線性控制特性以及與強動力學具有高度的耦合特性，因此其控制的關健就是實現(xiàn)解藕控制，也就是說采取怎樣的措施將一個具有耦合影響的多變量控制系統(tǒng)轉變?yōu)槎鄠€無耦合的單變量系統(tǒng).通常情況下這個非線性控制系統(tǒng)的解藕問題主要分為兩部分，即干擾解藕和輸入輸出解藕，這其中輸入輸出解藕如上所述，是移動機械臂非線性控制的主要解決問題.到目前為止，解藕辦法主要有模糊解藕、神經(jīng)網(wǎng)絡解藕、自校正解藕以及微分幾何法等[4]，下面研究的就是基于微分幾何法來實現(xiàn)移動機械臂的非線性控制.

3.3 基于微分幾何法研究移動機械臂的非線性解藕設計

微分幾何法在解決移動機械臂的非線性控制的解藕問題時占據(jù)著主導地位，因此基于微分幾何法的移動機械臂非線性解藕設計主要從以下幾個方面進行分析.

3.3.1 移動機械臂模型的預處理

在移動機械臂的控制系統(tǒng)中，由于其具備多變量的復雜特性，其模型必然是一個非線性的復雜微分方程式，而微分幾何非線性控制的最終目標是仿射非線性控制系統(tǒng)，這個控制系統(tǒng)的特點是其對狀態(tài)向量是非線性的，但卻與控制變量呈線性的關系.因此在利用微分幾何來解決非線性解藕問題之前，必須將移動機械臂控制系統(tǒng)的模型轉換成仿射非線性的系統(tǒng)形式[5].

3.3.2 移動機械臂系統(tǒng)的零動態(tài)分析

移動機械臂經(jīng)由非線性反饋后，剩下的未線性化的部分即為閉環(huán)系統(tǒng)中不可觀的部分，也就是行為匯點，會受到系統(tǒng)在輸入時和其他狀態(tài)下的影響，但不影響系統(tǒng)的正常輸出.主要原因就是閉環(huán)系統(tǒng)的輸入輸出實質上就是一個線性行為，而這個系統(tǒng)行為由4個解藕的單輸入單輸出的子系統(tǒng)組合而成，同時對于移動機械臂系統(tǒng)來說，其外部狀態(tài)不但要穩(wěn)定，保持良好的動態(tài)品質，而且其內部同樣要呈穩(wěn)定狀態(tài)[5].

3.4 移動機械臂的運動軌跡控制設計

軌跡跟蹤技術指的是通過相關的控制理論設計出一個控制律，這個控制律是為非完整性移動機械臂系統(tǒng)提供服務的，使非完整性移動機械臂可以到達并最終以預定的速度在跟蹤平面上形成即定的某條運動軌跡.相應的這也是移動機械臂在運動時進行動態(tài)控制時的重點與難點所在，因此移動機械臂的運動軌跡控制設計就是要設計出相應的運動反饋控制器，以此來保證移動機械臂的運動處在期望的軌跡內.對此首先要設計出解藕后的線性子系統(tǒng)的輸出跟蹤PD跟蹤器，然后再依據(jù)跟蹤器定義運動的位置誤差與速度誤差，將系統(tǒng)的運動軌跡通過反饋控制器顯現(xiàn)出來，從而進行有效的軌跡控制[6].

3.5 移動機械臂的運動軌跡動態(tài)仿真

移動機械臂的運動學與動力學的模型由于結構復雜，同時又具備非完整性的約束條件，相應的其動態(tài)仿真就具備了一定的難度，主要表現(xiàn)在3個方面：首先，在移動機械臂系統(tǒng)中向量與輸出變量就有多種選擇設置方式，而在動態(tài)仿真中進行設置時其表達形式較為復雜；其次，移動機械臂系統(tǒng)由于屬于非完整性系統(tǒng)，其各個狀態(tài)下的分量之間都存在函數(shù)關系，這也是動態(tài)仿真中的難題所在；最后，移動機械臂的非完整性系統(tǒng)在運行過程中，系統(tǒng)的運行狀態(tài)受到非完整性的條件約束，而這種約束條件雖然統(tǒng)一到了建模之中，但在進行動態(tài)仿真時其約束關系必然會在提取的各個狀態(tài)與導數(shù)的仿真條件下得以重現(xiàn).根據(jù)這些原因來對移動機械臂的運動軌跡進行動態(tài)仿真，對此可以參照美國公司的Simulink/Matlab軟件系統(tǒng)，這套系統(tǒng)軟件可對移動機械臂的運動系統(tǒng)進行建模、仿真與分析；而且這套系統(tǒng)軟件還支持線性或非線性的系統(tǒng)，同時其中的S函數(shù)還可以對常微分狀態(tài)下的方程組進行運算，從而使得仿真變得更加簡潔方便，操作起來更容易.下面探討基于S函數(shù)的情況下移動機械臂運動軌跡的動態(tài)仿真[6].

3.5.1 S函數(shù)的工作原理

所謂S函數(shù)就是其功能模塊呈現(xiàn)非圖形化的描述方式，通過一種特殊的語法構成，主要用于一些動態(tài)系統(tǒng)的描述，而且根據(jù)一種特殊的調用語法使函數(shù)內容與Simulink求解器之間進行交互.也就是說S函數(shù)對Simulink求解器上傳輸過來的相關信息處于接收狀態(tài)，同時對Simulink求解器發(fā)出的相關命令會做出相關的響應.S函數(shù)的外部用非圖形化的方式進行系統(tǒng)描述，其內部則通過文本的方式進行系統(tǒng)公式以及方程等的描述，這種內外不同的描述方式對于那些復雜的動態(tài)系統(tǒng)非常適合，而且在仿真的過程中還能做到精確控制[7].

3.5.2 建立移動機械臂的仿真模型

移動機械臂仿真模型的建立主要依據(jù)的是美國公司的Simulink/Matlab軟件系統(tǒng)的S函數(shù)與Simulink互相結合，也就是通過移動機械臂的模型模塊與跟蹤控制器模塊共同組成.首先移動機械臂模型模塊的主要功能就是根據(jù)S函數(shù)的微分功能計算出狀態(tài)向量狀態(tài)數(shù)，這些向量狀態(tài)數(shù)包括初始化階段的狀態(tài)數(shù)、輸入與輸出的個數(shù)、系統(tǒng)輸出階段所提供的狀態(tài)數(shù)以及導數(shù)的傳遞情況、參考信息、誤差信息及其導數(shù)等，還有控制輸入的構造信息、控制系統(tǒng)的模型構造以及系統(tǒng)的解藕方法與輸出轉矩的表述情況等，而當跟蹤控制器對誤差信號有所需要時，需將其輸入其中，并在積分環(huán)節(jié)上將其添加到跟蹤控制器中[7].

3.5.3 移動機械臂跟蹤控制的仿真分析實驗

移動機械臂的仿真模型設計成功之后，需對其進行跟蹤控制上的仿真分析實驗.首先要確認仿真模型中移動機械臂的參數(shù)情況，初始狀態(tài)下向量輸入值以及預定的期望運動軌跡值；其次就是要利用Simulink/ Matlab軟件系統(tǒng)的S函數(shù)與Simulink互相結合的方法建立移動機械臂控制系統(tǒng)的PD軌跡跟控制仿真模型，這種仿真模型在基于S函數(shù)的基礎上建立起來的，其具有操作性與移植性強的特點，同時此仿真模型簡便，對時變系統(tǒng)、非完整性系統(tǒng)以及非線性系統(tǒng)的運態(tài)控制仿真等都具有相應的參考意義[8].移動機械臂的PD軌跡跟蹤控制的仿真模型如圖2所示，可以看出，移動機械臂的這個PD軌跡跟蹤控制系統(tǒng)對其預定的運動軌跡實現(xiàn)了很好的跟蹤.

圖2 移動機械臂的PD軌跡跟蹤控制仿真模型

4 結束語

對微分幾何非線性控制以及移動機械臂進行了概況分析，探討在基于微分幾何的情況下移動機械臂的非線性控制，對此分析得出基于微分幾何的基礎上移動機械臂的非線性系統(tǒng)成功實現(xiàn)了其運動軌跡的跟蹤控制.但是由于實驗數(shù)值的客觀性，研究的控制仿真模型具備一定的限制性，具體在實際的應用中需結合實際情況加以驗證，同時也希望上述研究對移動機器人及其機械臂的研發(fā)起到一定的幫助作用.

[1]白彥偉.基于微分幾何移動機械臂非線性控制的研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2007.

[2]孫敬颋，史士財，王學飛，等.大型空間機械臂柔性關節(jié)的微分幾何算法控制器設計[J].哈爾濱工程大學學報，2012，33（11）：1371-1376.

[3]閆超勤.智能移動機械臂的控制研究[D].西安：西安電子科技大學，2005.

[4]王聞杰，白彥偉.基于微分幾何方法和變結構控制的移動機械臂軌跡跟蹤控制[C]//上海航天科技論壇暨上海市宇航學會2007年學術年會，2007.

[5]馬良，閆繼宏，趙杰，等.基于微分幾何的非完整移動操作臂解耦控制[J].高技術通訊，2011，21（4）：398-403.

[6]鄧雅.空間機械臂建模及軌跡跟蹤控制方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2013.

[7]何詩文，賈慶軒，陳鋼.基于空間機械臂關節(jié)齒隙補償?shù)幕？刂撇呗匝芯縖EB/OL].中國科技論文在線，（2014-12-30）.http:// www.paper.edu.cn/html/releasepaper/2014/12/984/.

[8]周延霞.非完整移動機械臂的跟蹤控制與運動規(guī)劃問題研究[D].廣州：華南理工大學，2008.

（責任編輯 鈕效鹍）

A Probe into Nonlinear Control of Mobile Manipulator Based on Differential Geometry

SUN Jian-hong
(Department of Basic Courses,Xinzhou Normal University at Wuzhai,Xinzhou,Shanxi 036200,China)

With its wide working space and flexible operation ability,the mobile manipulator since its coming has been greatly valued in the international academia and industry.But it is vulnerable to some uncertainty in the process of movement parameters and external disturbance,thus its motion control is very difficult.Differential geometry method can ensure the accurate control of kinematic system,achieving a wide range of comprehensive analysis.By analyzing the differential geometry nonlinear control and mobile manipulator situation,this paper explores the differential geometry nonlinear control of mobile manipulator.

differential geometry;mobile robot arm;nonlinear control

O186

A

1673-1972（2016）06-0025-04

2016-09-01

孫建紅（1977-），男，山西五寨人，講師，主要從事基礎數(shù)學研究.