李夢嬌, 袁 晶, 杜 娜, 吳麗娟

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

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準(zhǔn)均勻B樣條曲面重建的誤差分析與改進(jìn)方法

李夢嬌, 袁 晶, 杜 娜, 吳麗娟

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

由于在逆向工程,以及平面幾何設(shè)計(jì)中的廣泛應(yīng)用,曲面重建技術(shù)成為了目前科研領(lǐng)域中的重要課題,并實(shí)際應(yīng)用于工農(nóng)產(chǎn)業(yè)設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)圖像處理等有關(guān)領(lǐng)域。為了滿足準(zhǔn)均勻B樣條曲面的端點(diǎn)性質(zhì),采用了四重節(jié)點(diǎn)端點(diǎn)的固支條件解決了曲面網(wǎng)格端點(diǎn)不與控制網(wǎng)格端點(diǎn)重合的弊端,并選取已經(jīng)型值點(diǎn)對(duì)曲面模型進(jìn)行反算控制點(diǎn)操作。最后,針對(duì)反算后生成曲面不能很好的逼近于原始曲面問題,提出了曲面端點(diǎn)和內(nèi)節(jié)點(diǎn)同時(shí)提取并作為數(shù)據(jù)點(diǎn)的改進(jìn)方法,完善了重構(gòu)曲面的質(zhì)量。通過與原始正向生成曲面的比較,說明該算法正確,精度高,方便可靠,較好地適應(yīng)了逆向工程技術(shù)中的實(shí)際需要。

B樣條曲面; 逆向工程; 曲面重建

0 引 言

隨著計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的不斷發(fā)展,逆向工程技術(shù)已經(jīng)發(fā)展到突飛猛進(jìn)的階段,傳統(tǒng)的Bezier曲線或曲面存在著計(jì)算量大,不能作局部修改等特點(diǎn),B樣條方法是在保留了貝齊爾方法優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上,對(duì)其原始方法所缺乏的局部性質(zhì)進(jìn)行了改良,并且解決了對(duì)復(fù)雜形狀描述時(shí)所帶來的連接問題。由于B樣條曲面所特有的局部支撐性、連續(xù)性和幾何不變性,所以與Bezier方法相比,B樣條曲面方法更好地解決了曲面的重建問題,因此,B樣條曲面造型技術(shù)被廣泛的應(yīng)用于工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)中,并且成為了當(dāng)今最廣泛流行的形狀數(shù)學(xué)描述的主流方法。

隨著計(jì)算機(jī)軟件的逐步更新,CAD/CAM已成為新的名詞出現(xiàn)在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,傳統(tǒng)的CAD/CAM技術(shù)包括:概念設(shè)計(jì)、CAD建模、設(shè)計(jì)程序、和數(shù)據(jù)加工4個(gè)步驟完成,但傳統(tǒng)的原件生產(chǎn)存在著計(jì)算效率低、精度差等特點(diǎn),而逆向工程技術(shù)恰與傳統(tǒng)技術(shù)相反,它包括:數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)處理、曲線曲面擬合和CAD模型重建4步,有效的克服了以往的缺點(diǎn),實(shí)現(xiàn)了高速、高效和高精度的運(yùn)作與生產(chǎn),更好地滿足了人們實(shí)際生產(chǎn)與科研的需要。

1 B樣條曲線與曲面

B樣條曲線的定義:

(1)

其中:pi(i=0,1,…,n)為控制頂點(diǎn)集;Ni,k(t)為k階B樣條基函數(shù)。利用選定控制頂點(diǎn),以及已知B樣條基,生成均勻B樣條曲線與準(zhǔn)均勻B樣條曲線,如圖1所示。

(a)—均勻曲線; (b)—準(zhǔn)均勻曲線。

B樣條曲面是由多條B樣條曲線在u、v這2個(gè)方向上多次構(gòu)建形成的,2個(gè)方向的參數(shù)方向節(jié)點(diǎn)矢量分別為U=[u0,u1,…,um+p]和V=[v0,v1,…,vn+q],B樣條曲面的方程定義為

(2)

其中:Pij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)為控制頂點(diǎn)集;Ni,p(u)和Nj,q(v)為B樣條曲面基函數(shù),由deBoor-Cox公式推導(dǎo)得出。B樣條曲面示意圖如圖2所示。

(a)—均勻曲線; (b)—準(zhǔn)均勻曲線。

2 B樣條曲面的性質(zhì)

B樣條曲面是由多條B樣條曲線構(gòu)成, 所以B樣條曲面具有與B樣條曲線相同的性質(zhì), 具體如下:

1) 局部性

由于B樣條曲面的每個(gè)控制點(diǎn)最多影響3個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間的線段,所以對(duì)于k階B樣條曲面來說,改變其中第i個(gè)控制點(diǎn),只影響定義區(qū)間(ti,ti+k)上的曲線形狀,對(duì)其他部分不發(fā)生影響。

2) 凸包性

B樣條曲線或曲面的部分區(qū)間位于對(duì)應(yīng)的控制網(wǎng)格的凸包內(nèi),整個(gè)曲面在凸包c(diǎn)i的并集內(nèi)。

3) 連續(xù)性

在節(jié)點(diǎn)向量t的取值范圍內(nèi),前后2段曲線之間能實(shí)現(xiàn)光滑過度,構(gòu)成曲面的曲線具有ck-2連續(xù)性。

4) 幾何不變性

生成的B樣條曲面只與控制點(diǎn)或控制多邊形的形狀有關(guān),與坐標(biāo)選取無關(guān)。

總之,B樣條方法生成的曲面易于控制,操作簡單,幾何性質(zhì)好,且B樣條曲線插值的方法,光滑效果比較好,用B樣條方法擬合曲線時(shí),精度值高,計(jì)算速度快。

3 B樣條曲面的反算

基于已知控制點(diǎn)或控制網(wǎng)格,就可以對(duì)曲線和曲面進(jìn)行正向生成,但若對(duì)生成的已知曲面的形狀有不滿意之處,需要改進(jìn)時(shí),就需要調(diào)整控制點(diǎn),從而影響該控制點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲面,達(dá)到曲面的修改目的,直至獲得滿意的結(jié)果。因此,通過曲面的反算,反求曲面控制點(diǎn)成為該領(lǐng)域的必修課題之一。

3.1 反算三次B樣條插值曲線的控制頂點(diǎn)

首先,確定節(jié)點(diǎn)矢量。當(dāng)插值曲線為準(zhǔn)均勻開曲線時(shí),應(yīng)取四重節(jié)點(diǎn)端點(diǎn)的固支條件,將首末節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度取為4,即r=4,則有

(3)

(4)

其中

利用追趕法解之,即可求出全部n+3個(gè)控制頂點(diǎn)。

3.2 反算三次準(zhǔn)均勻B樣條曲面的控制頂點(diǎn)

三次B樣條曲面的反算可轉(zhuǎn)化為2個(gè)方向的B樣條曲線反算方法,由平均技術(shù),每個(gè)參數(shù)方向的節(jié)點(diǎn)矢量取成該參數(shù)方向參數(shù)值的平均,如式(5)、式(6)

(5)

(6)

通過2次調(diào)用曲線反算函數(shù),分別算出u,v這2個(gè)方向上的所有控制點(diǎn)。最后,由準(zhǔn)均勻B樣條基生成B樣條曲面。反算后對(duì)雙控制點(diǎn)生成的曲面與原始曲面,如圖3所示。

(a)—原始曲面; (b)—反算生成的曲面。

由圖3、圖4可以看出,反算后生成曲面與原始曲面存在較大誤差,主要表現(xiàn)在邊緣內(nèi)節(jié)點(diǎn)不能很好的逼近原始成員線,造成整體形狀失真,同時(shí)也給實(shí)際生產(chǎn)帶來必不可少的影響。因此,為滿足更精確的逆向工程計(jì)算,減小誤差,本文對(duì)該問題進(jìn)行了優(yōu)化處理。

3.3 優(yōu)化改進(jìn)

由于反算后內(nèi)節(jié)點(diǎn)與原始節(jié)點(diǎn)值存在較大誤差,本文在對(duì)邊界數(shù)據(jù)點(diǎn)提取的基礎(chǔ)上,利用正向生成函數(shù)輸出所有數(shù)據(jù)點(diǎn)值。通過計(jì)算與比較曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的位置關(guān)系,找到曲面端點(diǎn)與內(nèi)節(jié)點(diǎn)平分點(diǎn),去掉附近重復(fù)點(diǎn),均勻提取曲面內(nèi)節(jié)點(diǎn)。

根據(jù)均勻提取的9個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),把每條曲線上的n+2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)反向生成n+4個(gè)控制點(diǎn),整個(gè)曲面由9個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)反求出25個(gè)控制頂點(diǎn)。在改進(jìn)后,曲面隨即由單一段變成多段,再經(jīng)過對(duì)算法改進(jìn)與設(shè)計(jì),由2層或多層循環(huán)控制多段曲面,最后,根據(jù)準(zhǔn)均勻B樣條曲面的性質(zhì),把不同的B樣條基分別帶入三次準(zhǔn)均勻B樣條曲線方程,隨即生成更為精確的B樣條曲面。改進(jìn)后曲面與之前曲面對(duì)比如圖4所示。

(a)—改進(jìn)前曲面型值點(diǎn)與原始曲面對(duì)比; (b)—改進(jìn)后曲面型值點(diǎn)與原始曲面對(duì)比。

由圖4(a)、圖4(b)可以看出,改進(jìn)后B樣條曲面更接近于原始曲面,計(jì)算更為精確可靠,減小了誤差。表1、表2為改進(jìn)后生成曲面控制點(diǎn)與原始曲面控制點(diǎn)對(duì)比。

表1 改進(jìn)后生成曲面控制點(diǎn)

表2 原始曲面控制點(diǎn)

4 結(jié) 論

本文在對(duì)逆向工程技術(shù)的現(xiàn)狀進(jìn)行了論述的基礎(chǔ)上,分析和論證了曲面重建關(guān)鍵技術(shù)的研究與實(shí)現(xiàn)對(duì)科研工作的影響。綜合闡述了B樣條曲面的的生成原理,并實(shí)際選取控制點(diǎn)和利用B樣條基進(jìn)行了實(shí)際操作,在展示了最終生成圖像的基礎(chǔ)之上,區(qū)分均勻B樣條曲面和準(zhǔn)均勻B樣條曲面的不同,從而突出本文選題立場。最后,分析和論證了曲面的重構(gòu)原理與方法,并對(duì)曲面片的拼接技術(shù)進(jìn)行了研究。

在綜合論述了B樣條曲面生成原理和曲面反算理論的基礎(chǔ)之上,設(shè)計(jì)了基于型值點(diǎn)反求控制點(diǎn)生成準(zhǔn)均勻B樣條曲面的算法,并給出運(yùn)行結(jié)果,解決了通過曲面反算所生成的曲面與原始曲面存在較大誤差問題,使反算后控制點(diǎn)更好的逼近于原始控制點(diǎn),反算后生成的B樣條曲面更接近于原始曲面,減少了誤差,增加了曲面擬合的精確性,最后,在vc++2008編譯環(huán)境下,對(duì)算法進(jìn)行了編譯調(diào)試,給出了運(yùn)行成果,證明了該算法真實(shí)可靠,能較好的滿足于實(shí)際科研需要,并為日后的逆向工程技術(shù)的研究打下良好基礎(chǔ)。

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B-spline surface reconstruction research and implementation of key technologies

LIMengjiao,YUANJing,DUNa,WULijuan

(College of Physics Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Due to the wide application of surface reconstruction technology in reverse engineering, and as well as planar geometric design, surface reconstruction technology has become an important issue in the field of scientific research, aAnd it is a pplied in industrial design and computer image processing and so on. In order to meet the endpoints of quasi uniform B spline surface properties, . The disadvantages of coincidence between the four node endpoint are fixed to solve the disadvantages with that the end point of is not coincident with the control grid was solved. And The have type values points were taken for the back calculation control points on surface model in the for operation, and finally, in order to solve the problem view of the back calculation after generating surface after back calculation not being cannot be well a good approximation to the original surface problem, that is surface an improvement method for reconstruction surface was suggested with extraction of the endpoints and inside points are extracted at same time, improve the quality of the reconstructed surface, By comparing with the original generating surface, the algorithm is correct, high precision, convenient and reliable, and can be used in the actual needs of reverse engineering technology.

B spline surface; reverse engineering; surface reconstruction

2015-12-31。

遼寧省科技廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201102205)。

李夢嬌(1990-),女,吉林白城人,沈陽師范大學(xué)碩士研究生; 通信作者: 吳麗娟(1964-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)教授,博士。

1673-5862(2016)02-0217-05

TP391

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.02.019