孟旭東, 陳云龍

(南昌航空大學(xué) 科技學(xué)院, 南昌 330034)

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具約束向量擬均衡問題的Global有效解的最優(yōu)條件

孟旭東, 陳云龍

(南昌航空大學(xué) 科技學(xué)院, 南昌 330034)

向量均衡問題是運(yùn)籌學(xué)的重要組成部分,其研究的主要內(nèi)容包含各種解的存在性、穩(wěn)定性、連續(xù)性、連通性、適定性、最優(yōu)條件。向量均衡問題的解主要有有效解、弱有效解、強(qiáng)有效解、Global有效解、Henig有效解、超有效解。研究向量均衡問題各種有效解的最優(yōu)條件是向量均衡問題的一個(gè)重要課題。首先,在實(shí)Hausdorff拓?fù)渚€性空間中引入具約束條件的向量擬均衡問題及其Global有效解的概念;其次,在實(shí)拓?fù)渚€性空間中分析了錐-凸、幾乎錐-類凸與幾乎錐-次類凸3種廣義凸性的內(nèi)在關(guān)系;最后,在3種廣義凸性條件下借助于凸集分離定理給出了具約束條件的向量擬均衡問題Global有效解的充要條件。

向量擬均衡問題; 全局有效解; 向量值映射; 最優(yōu)條件

眾所周知,向量均衡問題理論是運(yùn)籌學(xué)的重要組成部分,向量均衡問題解的最優(yōu)性條件是向量均衡問題研究中的一個(gè)重要課題。因此,不少學(xué)者研究了各種向量均衡問題解的最優(yōu)性條件,見文獻(xiàn)[1-5]。Gong[1]在凸性的條件下給出了向量均衡問題弱有效解、Henig有效解、全局有效解以及超有效解的最優(yōu)性條件,得到了具約束條件的向量均衡問題與不帶約束條件的標(biāo)量化最優(yōu)性條件等價(jià)的結(jié)果,并且給出了向量變分不等式以及向量?jī)?yōu)化問題的各種解的充分必要條件。在凸性的條件下,龔循華等在文獻(xiàn)[2]中給出了約束錐內(nèi)部為空時(shí)弱有效解的充分必要條件;在文獻(xiàn)[3]中減弱了文獻(xiàn)[1]中的凸性假設(shè),也得到了相應(yīng)的弱有效解的充分必要條件;龔循華等在文獻(xiàn)[4]中利用集值映射的切上導(dǎo)數(shù)的概念給出了集值向量均衡問題的最優(yōu)性條件;龔循華等在文獻(xiàn)[5]中利用Fréchet可微的概念研究了具約束條件的向量均衡問題的弱有效解、Henig有效解、超有效解以及全局有效解的最優(yōu)性條件,并在不具任何凸性條件下給出了向量均衡問題的K-T必要性條件,在加上凸性條件下給出了條件的向量均衡問題Heing有效解的充要條件。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為實(shí)Hausdorff拓?fù)渚€性空間,Y,Z為實(shí)局部凸Hausdorff拓?fù)渚€性空間。設(shè)K為X的非空子集,C,D分別為Y,Z中的閉凸點(diǎn)錐,Y*,Z*分別表示Y,Z的拓?fù)鋵?duì)偶空間。

記C的共軛錐為C*,即

記C*的擬內(nèi)部為C#,即

設(shè)M是Y的一個(gè)非空子集,M的錐包定義如下:

cone(M)={td:t≥0,d∈M}

M的閉包與拓?fù)鋬?nèi)部分別記為cl(M)與intM。凸錐C的一個(gè)非空凸子集B稱為C的一個(gè)基,假若C=cone(B)且0?cl(B)。顯然,C#≠?當(dāng)且僅當(dāng)C有一個(gè)基。

設(shè)g:K→Z,F:K×K→Y為給定向量值映射,其中F(x,x)=0,?x∈K。本文考慮以下具約束條件的向量擬均衡問題(簡(jiǎn)記為VQEPC):找出x∈G,使得

其中H?Y為點(diǎn)凸錐,滿足C{0}?intH,且G={x∈K:g(x)∈-D}。

稱滿足問題VQEPC的解x為問題VQEPC的Global有效解。

對(duì)任何的x∈G,記

引理[5]設(shè)C為實(shí)拓?fù)渚€性空間Y的凸子集:

1) 則C的閉包c(diǎn)lC為凸的。

2) 若intC≠?,則cl(intC)=clC。

定義[7]設(shè)K為X的非空凸子集。

1) 稱映射h:K→Y在K上為C-凸，如果對(duì)任何的x1,x2∈K,μ∈[0,1]，都有

2) 稱映射h:K→Y在K上為幾乎C-類凸，如果cl(h(K)+C)為凸集。

3) 稱映射h:K→Y在K上為幾乎C-次類凸，如果cl(cone(h(K)+C))為凸集。

2 最優(yōu)性條件

定理 假設(shè)以下條件成立:

1)x∈G且B為錐C的基;

2) (F(x,·),g(·))在K上為幾乎C×D-次類凸;

則x為問題VQEPC的Global有效解當(dāng)且僅當(dāng)存在y*∈C#,z*∈D*,使得

證明 設(shè)x為問題VQEPC的Global有效解。由定義知,存在點(diǎn)凸錐H?Y,滿足C{0}?intH,使得

其中G={x∈K:g(x)∈-D},即

由H?Y為點(diǎn)凸錐且C{0}?intH,知

(1)

設(shè)P(y)=(F(x,y),g(y)),?y∈K,則

(2)

事實(shí)上,假若不然,必存在x0∈K,使得

則

且

(3)

由D為點(diǎn)凸錐知,D+intD?D。再由式(3)知,g(x0)∈-intD,從而x0∈G。所以

這與式(1)矛盾。

由intH與intD為開凸錐以及式(2)知

cl(cone(P(K)+C×D))∩(-intH)×(-intD)=?

由P在K上為幾乎C×D-次類凸,知cl(cone(P(K)+C×D))為凸集。據(jù)凸集分離定理知,存在非零的(y*,z*)∈Y*×Z*,使得

(4)

再由cl(cone(P(K)+C×D))為凸集,知

由(0,0)∈C×D以及P(K)?cl(cone(P(K)+C×D)),知

即

(5)

另一方面,由(0,0)∈cl(cone(P(K)+C×D))以及式(4),有

(6)

由intH為凸錐,知對(duì)任意的c∈intH以及μ>0,有μc∈intH。據(jù)式(6)知

(7)

在式(7)中,令μ→∞,得

(8)

由H為凸錐與intH≠?以及引理知

(9)

由y*∈Y*以及式(8)知,y*∈H*。類似可證z*∈D*。

易證明y*≠0。事實(shí)上,假若y*=0,則有z*∈D*{0}。再由式(5)知

(10)

(11)

又由x∈G與z*∈D*,知

(12)

由式(11)、式(12),得

(13)

由F(x,x)=0與式(5)、式(13),知

反之,假設(shè)存在y*∈C#,z*∈D*,使得

且

由F(x,x)=0與z*(g(x))=0,知

(14)

以下證明x為問題VQEPC的Global有效解。即存在點(diǎn)凸錐H?Y,滿足C{0}?intH,使得

(15)

其中G={x∈K:g(x)∈-D}。

假若不然,則對(duì)任何的點(diǎn)凸錐H?Y,滿足C{0}?intH,都有

(16)

于是存在yG∈G,使得

(17)

再由C{0}?intH以及y*∈C#,知

(18)

又由yG∈G與z*∈D*,知

(19)

由式(18)、式(19),得

(20)

這與式(14)矛盾,因此,x為問題VQEPC的Global有效解。定理證畢。

推論1 假設(shè)以下條件成立:

1)x∈G且B為錐C的基;

2) (F(x,·),g(·))在K上為幾乎C×D-類凸;

則x為問題VQEPC的Global有效解當(dāng)且僅當(dāng)存在y*∈C#,z*∈D*,使得

推論2 假設(shè)以下條件成立:

1)x∈G且B為錐C的基;

2) (F(x,·),g(·))在K上為C×D-凸;

則x為問題VQEPC的Global有效解當(dāng)且僅當(dāng)存在y*∈C#,z*∈D*,使得

[1]GONGXunhua,MABochang.Optimalityconditionsforvectorequilibriumproblems[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2008,342(2):1455-1466.

[2]龔循華,孔海星. 約束錐內(nèi)部為空時(shí)向量均衡問題的最優(yōu)性條件[J]. 南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版), 2009,33(3):209-213.

[3]龔循華,熊淑群. 類凸向量均衡問題解的最優(yōu)性條件[J]. 南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版), 2009,33(5):409-414.

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[7]DINH T L. Theory of vector optimization(Lecture notes in economics and mathematics systems)[M]. New York: Springer, 1989,319.

Optimality conditions for the global efficient solution of vector quasi-equilibrium problems with constrians

MENGXudong,CHENYunlong

(Science College, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330034, China)

Vector vector equilibrium problem is an important part of operations research,including the existence of various solutions, the stability of solutions, the continuity of solutions, the connectivity of solutions, the optimal conditions of solutions. The solution of vector equilibrium problem mainly contains effectivt solution, weak efficient solution, strong efficient solution, Global efficient solution, Henig efficient solution and super efficient solution. Studying optimal conditions of various efficient solutions of vector equilibrium problem is an important topic. Firstly,vector quasi-equilibrium problems with constrians and its Global efficient solution are introduced in real Hausdorff topological vector spaces．Secondly, the inner relations among cone convex, almost cone convex and almost conical sub-convex of generalized convexity are analyzed in real topological linear space. Finally, by using the separation of convex sets, under the generalized convexity conditions, the necessary and sufficient condtions for the Global efficient solution of vector quasiequilibrium problems with constrians are given.

vector quasi-equilibrium problem; Global efficient solution; vector-valued mapping optimality condition

2015-10-15。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11061023,11201216)。

孟旭東(1982-),男,江西南昌人,南昌航空大學(xué)講師,碩士。

1673-5862(2016)02-0174-04

O317

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.02.010