張福玲

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西 渭南 714099)

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·基礎(chǔ)學(xué)科·

廣義Fibonacci數(shù)列和Lucsa數(shù)列的關(guān)系式

張福玲

(渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西 渭南 714099)

廣義Fibonacci數(shù)列; 廣義Lucas數(shù)列; 關(guān)系

1 預(yù)備知識(shí)

著名Fibonacci數(shù)列{Fn}和Lucas數(shù)列{Ln}是由二次線性遞推公式Fn+1=Fn+Fn-1和Ln+1=Ln+Ln-1，n≥0定義，其中F0=1,F1=1,L0=2,L1=1。文獻(xiàn)[1]研究了Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列的一些關(guān)系式：

同時(shí)文獻(xiàn)[1]定義了廣義的Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列F-n=(-1)n+1Fn，L-n=(-1)nLn。文獻(xiàn)[2-3]研究了Fibonacci-Lucas數(shù)列的關(guān)系

文獻(xiàn)[4]研究了Fibonacci-Lucas數(shù)列的關(guān)系式

文獻(xiàn)[5]定義了廣義Fibonacci數(shù)列{un}

un+1=Aun+Bun-1,u0=0,u1=1,n=2,3,…

(1)

和廣義Lucas數(shù)列{vn}

vn+1=Avn+Bvn-1,v0=2,v1=A,n=2,3,…

(2)

其中A,B是非負(fù)整數(shù)且A2+4B≠0。文獻(xiàn)[6]給出了廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式和Lucas數(shù)列的通項(xiàng)公式

(3)

本文根據(jù)文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[4-5]，將文獻(xiàn)[4]中定義的廣義Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列推廣為

(4)

由廣義Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列的通項(xiàng)公式易得：

Aun+vn=2un+1,n≥0，

(5)

vrvn-r=vn+(-B)rvn-2r。

(6)

將文獻(xiàn)[1-4]中Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列的關(guān)系式進(jìn)行推廣，得到了廣義Fibonacci數(shù)列和Lucas數(shù)列的關(guān)系式：

2 主要結(jié)論及證明

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng)n=0,1時(shí)， 根據(jù)式(1)—(4)上式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

而

定理1證畢。

證明 由定理1和式(6)可得

證明 由式(3)得

所以

根據(jù)定理1和式(1)有

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng)n=0,1時(shí)， 根據(jù)式(1)—(4)上式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立即

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

即定理4成立。

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng)n=0,1時(shí)， 由式(1)—(4)可知上式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立即

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由(1)式可得

即定理5成立。

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明。

當(dāng)n=0,1時(shí)， 由式(1)—(4)可知上式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

A3k+1uk+1+3k+1vk+1+3k+1uk+2=

3k+1(Auk+1+vk+1)+3k+1uk+2=

3k+1·2uk+2+3k+1uk+2=3k+2uk+2，

即定理6成立。

[1]Vajda S. Fibonacci&Lucas Number, and the Golden Section Theory and Applications [M]. England: Halsted Press,1989.

[2]Sury B. A Polynomial Parent to Fibonacci -Lucas Relation[J].Amer Math Monthly ,2014,121(3):236.

[3]Kwong H. An Alternate Proof of Sury ’s Fibonacci -Lucas Relation[J]. Amer Math Monthly ,2014,122(6):514.

[4]Marques D. A New Fibonacci -Lucas Relation[J]. Amer Math Monthly ,2015,122(7):683.

[5]鄧勇．基于廣義Fibonacci和Lucas數(shù)的準(zhǔn)循環(huán)矩陣研究[J]．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015，32(6)：72.

[6]張福玲．廣義Fibonacci數(shù)列的和公式[J]．重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，28(5)：45.

(編校：葉超)

Some Relations of Generalized Fibonacci Sequence and Lucas Sequence

ZHANG Fuling

(Dept. of Mathematics, College of Mathematics and Physics, Weinan Teacher’s College, Weinan 714099 China)

generalized Fibonacci sequence; generalized Lucas sequence; relation

2016-04-24

陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃專項(xiàng)項(xiàng)目廣義Fibonacci數(shù)列性質(zhì)與若干變換的研究(No.15JK1262);渭南師范學(xué)院科研基金項(xiàng)目Lucas數(shù)中素因子指數(shù)下標(biāo)的關(guān)系研究(No. 14YKP008);渭南師范學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)科資助。

張福玲(1970—)，女，副教授，碩士，主要研究方向?yàn)閿?shù)論。

O157

A

1673-159X(2016)05-0080-4

10.3969/j.issn.1673-159X.2016.05.015