王　慧， 朱春鋼， 李彩云

(1. 大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024；2. 大連理工大學(xué)盤錦校區(qū)基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 盤錦 124221)

六次PH曲線G2Hermite插值

王慧1， 朱春鋼1， 李彩云2

(1. 大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024；2. 大連理工大學(xué)盤錦校區(qū)基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 盤錦 124221)

以其在弧長(zhǎng)計(jì)算與等距線表示上的優(yōu)勢(shì)，PH曲線成為近年來(lái)計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)研究的焦點(diǎn)問(wèn)題之一。為此討論了六次PH曲線的G2Hermite插值問(wèn)題。在指定自由參數(shù)下，對(duì)兩類六次PH曲線分別進(jìn)行復(fù)分析曲線求解，得到滿足G2插值條件的六次PH曲線和控制頂點(diǎn)。通過(guò)弧長(zhǎng)、能量積分、絕對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)的衡量，選取較好的插值曲線。進(jìn)一步，討論了用六次PH曲線G2Herm ite插值逼近90°和67°圓弧的問(wèn)題。在同一個(gè)自由參數(shù)下，選擇插值最好的曲線，可實(shí)現(xiàn)六次C1Hermite插值逼近圓弧的效果，且逼近90°圓弧時(shí)，優(yōu)于五次G2Hermite插值逼近的PH曲線，而逼近67°圓弧時(shí)，與最好的五次PH曲線達(dá)到的效果幾乎相同。

PH曲線；G2Herm ite插值；圓弧

1990年，F(xiàn)arouki和Sakkalis[1-2]提出一種速端曲線模長(zhǎng)為多項(xiàng)式參數(shù)曲線的 (Pythagorean hodographs, PH)曲線。這種曲線克服了一般參數(shù)曲線的一些缺點(diǎn)，具有良好的性質(zhì)，如弧長(zhǎng)是原參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)、等距線可以用精確的有理形式表示等，這些優(yōu)點(diǎn)為數(shù)控加工和路徑規(guī)劃提供了方便。由于在幾何與工業(yè)設(shè)計(jì)上的廣泛應(yīng)用，導(dǎo)致PH曲線的理論分析和應(yīng)用性研究成為近些年來(lái)計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(computer aided geometric design, CAGD)研究的焦點(diǎn)之一，其中PH曲線插值是一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容。

PH曲線插值一般分為Hermite插值和樣條插值2種形式。在Hermite插值的研究中，可分為參數(shù)連續(xù)(Ci, i階)和幾何連續(xù)(Gj, j階)Herm ite插值。Meek 和W alton[3]研究了一般的三次參數(shù)曲線的G1Hermite插值。1995年，F(xiàn)arouki和Neff[4]利用復(fù)分析的方法求解五次PH曲線的C1Hermite插值，在產(chǎn)生的4條滿足Hermite條件的曲線中，利用計(jì)算旋轉(zhuǎn)數(shù)來(lái)選擇最優(yōu)解。文獻(xiàn)[5]采用速度參數(shù)化的方法用凸五次PH曲線求解C1Hermite插值問(wèn)題。C1Hermite插值需用五次PH曲線解決文獻(xiàn)[4]，C2Hermite插值需用九次PH曲線有效解決文獻(xiàn)[6]，一般地，CkHermite插值可以用4k+1次PH曲線解決文獻(xiàn)[7]。五次及五次以上PH曲線可以解決G2Herm ite問(wèn)題，所以Jüttler[8]采用了七次PH曲線解決介C1和C2的G2Hermite插值問(wèn)題。2002年，Walton和Meek[9]對(duì)G2Hermite插值問(wèn)題分別構(gòu)造了“C”和“S”形狀的五次過(guò)渡PH曲線。陳國(guó)棟和王國(guó)瑾[10]用復(fù)形式表示，研究了五次PH曲線的G2Hermite插值求解。楊平和汪國(guó)昭[11-12]用同倫算法研究了C3連續(xù)的七次PH樣條曲線和閉曲線插值問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]用一種三次PH曲線逼近代數(shù)曲線，且逼近曲線具有G1連續(xù)性。文獻(xiàn)[14-15]介紹了三次、五次、七次PH曲線控制多邊形幾何性質(zhì)，文獻(xiàn)[16-17]介紹了四次PH曲線控制多邊形的特點(diǎn)。2015年，F(xiàn)arouki等[18]給出了兩種判別三次和五次PH曲線的方法。由于PH曲線具有良好的幾何性質(zhì)，近年來(lái)，采用PH曲線對(duì)圓弧進(jìn)行逼近也成為研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。張偉紅等[19]對(duì)圓弧進(jìn)行了C1五次PH曲線等弧長(zhǎng)逼近。2014年，F(xiàn)arouki[20]在G2Hermite插值條件下，利用具有單峰曲率特點(diǎn)的五次和能微調(diào)曲率的七次PH曲線構(gòu)造了圓直角。

從以上研究發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)都是基于奇次PH曲線的研究，主要原因是偶次PH曲線是非正則曲線會(huì)存在奇異點(diǎn)。方林聰和汪國(guó)昭[21]首次研究了六次PH曲線的C1Hermite插值問(wèn)題，并將曲線分成兩類討論，通過(guò)自由參數(shù)的控制，構(gòu)造了六次PH曲線。在實(shí)際應(yīng)用中，有對(duì)已知型值點(diǎn)采用兩端點(diǎn)的位矢、單位切矢和有向曲率構(gòu)造Hermite插值的需要，在現(xiàn)有的G2Hermite插值和六次PH曲線的分析理論上，本文研究了六次PH曲線的G2Hermite插值問(wèn)題。并從復(fù)分析的角度，對(duì)自由參數(shù)進(jìn)行選取，避免了六次PH曲線出現(xiàn)奇異點(diǎn)的情況，從而構(gòu)造了兩類情況下六條不同的六次PH曲線。利用弧長(zhǎng)、能量積分、絕對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)等度量標(biāo)準(zhǔn)，選擇較好的插值曲線。對(duì)比滿足G2Hermite插值條件的六次PH曲線插值逼近圓弧的6個(gè)結(jié)果，得到最好的兩條六次PH曲線。同時(shí)對(duì)比五次PH曲線G2Hermite插值逼近圓弧和六次PH曲線C1Hermite插值逼近圓弧的研究發(fā)現(xiàn)，90°圓弧的六次PH曲線里，式(18)的G2Hermite插值逼近效果最好，對(duì)于67°圓弧，最好的六次、五次G2Hermite插值以及六次C1Hermite插值PH曲線的逼近效果幾乎相同。

1　六次PH曲線

1990年，F(xiàn)arouki和Sakkalis[1]定義了PH曲線并給出其相關(guān)性質(zhì)。Farouki[2]在2008年又從代數(shù)與幾何的角度，總結(jié)了之前對(duì)平面PH曲線和空間PH曲線的研究工作。有關(guān)PH曲線的定義和相關(guān)定理介紹如下(其中黑斜體字母表示復(fù)變量)：

定義1[1]. 平面多項(xiàng)式參數(shù)曲線r(t)=(x(t), y(t))稱為 PH曲線，如果存在多項(xiàng)式σ(t)，使得x′2(t)+y′2(t)=σ2(t )。

一條平面參數(shù)曲線 r (t)=(x(t), y(t))的復(fù)表示為r(t)=x(t)+iy(t)。

定理 1[1]. 平面參數(shù)曲線r(t)=x( t)+iy( t )是PH曲線的充要條件，其為：

其中，w( t), u( t), v( t)為非零實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，u(t)與v(t)不同時(shí)為常數(shù)。

由定理1可以得到如下等價(jià)定理：

定理 2[2]. 平面參數(shù)曲線 r (t)=(x( t), y(t))是PH曲線的充要條件，為r(t)的速端曲線：

其中，Q(t)=u( t)+iv( t)。

設(shè)平面n次Bézier曲線r(t)的控制頂點(diǎn)記為Pj, j=0,…,n，控制頂點(diǎn)的一階向前差分為ΔPj=Pj+1-Pj，則n次Bézier曲線的速端曲線r′(t)可以表示為：

定理3[2]. 平面n次Bézier曲線r(t)是PH曲線的充要條件，為r(t)的速端曲線：

其中，w(t)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，Q(t)為復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式。

其中，實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式w(t)和復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式Q(t)也表示為Bézier形式。

引理4[2]. n次PH曲線r(t)=x(t)+iy(t)滿足的次數(shù)關(guān)系是n= n1+2n2+1，其中n1=deg(w), n2=max[deg(u), deg(v)]。

當(dāng)n=6時(shí), n1,n2取值有2種情況：n1=3,n2=1 或n1=1,n2=2，對(duì)應(yīng)的2類曲線分別為：

其中，wi( i=0,1,2)為待定實(shí)系數(shù)，uj( j=0,1)為待定復(fù)系數(shù)。

其中，w0為待定實(shí)系數(shù)，ui( i=0,1,2)為待定復(fù)系數(shù)。

易知，r′(t)的奇異點(diǎn)與實(shí)多項(xiàng)式w(t)的根對(duì)應(yīng)。由代數(shù)基本定理可知，第一類六次PH曲線上可能存在3個(gè)奇異點(diǎn)，第二類六次PH曲線存在一個(gè)奇異點(diǎn)，使其為非正則曲線。

2　六次PH曲線的G2 Hermite插值

定義 2[6]. 六次 PH 曲線, t∈[0,1]，若滿足：

2.1第一類曲線

將向量進(jìn)行復(fù)形式表示，記：

若給定式(*)和w0，將式(6)、(7)聯(lián)立，可以求得λ,μ值。將其代入式(4)、(5)求出 u0,u1，再由式(3)，分離實(shí)部和虛部，解關(guān)于w1, w2的二元一次方程組，從而最終求得六次PH曲線及其控制頂點(diǎn)。

雖然式(4)、(5)的符號(hào)選擇有4種組合情況，但是式(6)、(7)所得表達(dá)結(jié)果唯一，其求解出來(lái)的是兩組互為相反數(shù)的(λ,μ)，分別代回式(3)，得到的兩組w1, w2相同，因此求得第一種六次PH曲線只有一條。

設(shè)ξi,( i=1,2,3)為實(shí)多項(xiàng)式w(t)的3個(gè)代數(shù)根，則。w0＞0說(shuō)明(0,1)區(qū)間存在兩個(gè)奇異點(diǎn)或者不存在奇異點(diǎn)，而w0＜0說(shuō)明(0,1)區(qū)間存在1個(gè)或3個(gè)奇異點(diǎn)[20]。因此，自由參數(shù)w0可以體現(xiàn)出六次PH曲線奇異點(diǎn)情況。

例1. 取與文獻(xiàn)[10]相同的插值條件：P0=-5, P6=6,T0=0.5154+0.8575i,T1=0.4472-0.8944i, k0=-0.11, k1=-0.14。

令w0=1，代入上述分析過(guò)程，得到關(guān)于w1,w2的方程組：

進(jìn)而可計(jì)算得到滿足G2Hermite插值條件(*)的六次PH曲線為如圖1(a)所示：

其控制頂點(diǎn)為：

令w0=0.5，關(guān)于1,2ww的方程組為：

計(jì)算可得滿足G2Hermite插值條件(*)的六次PH曲線，如圖1(b)所示：

其控制頂點(diǎn)為：

令w0=0.1, 關(guān)于1,2w w的方程組為：

計(jì)算可得滿足G2Hermite插值條件(*)的六次PH曲線，如圖1(c)所示：

其控制頂點(diǎn)為：

圖1　第一類六次PH曲線w0取不同值時(shí)的圖像

對(duì)于以上3種不同w0的取值情況，采用如下選取標(biāo)準(zhǔn)對(duì)曲線度量[2]：

其中，k為曲率。

以上3類積分，采用105為細(xì)分單位求其數(shù)值解。并對(duì)以下選取標(biāo)準(zhǔn)的求解施以相同方法。

從表1可知，w0=0.5時(shí)其弧長(zhǎng)小于w0=1且大于w0=0.1，但其能量積分、絕對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)都是三者中最小的。

表1　第一類六次PH曲線w0取不同值時(shí)的選取標(biāo)準(zhǔn)

2.2第二類曲線

(2)創(chuàng)建宗地的關(guān)聯(lián)屬性方法。如在調(diào)查庫(kù)中查看宗地屬性時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有相應(yīng)的屬性信息，系統(tǒng)可自動(dòng)獲取宗地上的建筑面積、容積率等關(guān)聯(lián)信息，即創(chuàng)建關(guān)聯(lián)屬性的方式來(lái)獲取相應(yīng)的屬性。

若給定式(*)和w0，將式(15)、(16)聯(lián)立，可以用(λ,μ)表示出u1,x，u1,y，再將式(12)、(13)代入式(11)，分離實(shí)部和虛部得到關(guān)于(λ,μ)的二元六次方程組，將求出的(λ, μ)代回式(12)～(14)求得u0, u1, u2，進(jìn)而得到原六次PH曲線和控制頂點(diǎn)。

式(12)、(13)符號(hào)有(+,+),(+,-),(-,+),(-,-) 4種組合情況，符號(hào)的差異會(huì)得到不同的(λ, μ)值。通過(guò)以下幾組實(shí)例數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，給定 w0值，每組符號(hào)均得到10組互為相反數(shù)的不同(λ, μ)值，且4組符號(hào)得到對(duì)應(yīng)的(λ, μ)絕對(duì)值相同。類似上一種，互為相反數(shù)的(λ, μ)求得的PH曲線也一樣，所以每種符號(hào)求得5條不同的曲線。而式(12)符號(hào)的改變，會(huì)導(dǎo)致μ值符號(hào)改變，同樣式(13)符號(hào)的改變，也決定λ值符號(hào)的改變，但最終得到的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)和六次 PH曲線是一致的，說(shuō)明絕對(duì)值相同的(λ, μ)求得的PH曲線也一樣，所以最終只有5條不同的第二種六次PH曲線，如圖2～3所示。

例2. 取與例1相同的G2Herm ite插值條件。w0= 1，w0=0.5，w0=0.1時(shí)，相應(yīng)的關(guān)于(λ, μ)的二元六次方程組如下，六次PH曲線及其控制頂點(diǎn)如圖2～4所示。

如表2并結(jié)合圖形，比較以上標(biāo)準(zhǔn)可發(fā)現(xiàn)，13條六次PH曲線的弧長(zhǎng)相近；有尖點(diǎn)出現(xiàn)的曲線弧長(zhǎng)相對(duì)較長(zhǎng)，能量積分和絕對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)偏大；能量積分越小，絕對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)也越小。綜合來(lái)看，圖2(a～c)、圖3(a～c)、圖4(a)均較好地滿足了G2Hermite插值條件的PH曲線。

圖2　第二類六次PH曲線w0=1時(shí)的圖像

圖3　第二類六次PH曲線w0=0.5時(shí)的圖像

圖4　第二類六次PH曲線w0=0.1時(shí)的圖像

表 2　第二類六次PH曲線w0取不同值時(shí)的選取標(biāo)準(zhǔn)

本文不研究 w0對(duì)曲線的決定作用，所以針對(duì)例1和例2的G2Hermite插值條件，只給出了w0分別取 1，0.5，0.1時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線和衡量標(biāo)準(zhǔn)。第一類曲線里，w0=0.5是較好的曲線，其弧長(zhǎng)介于兩者之間，能量積分和絕對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)均最小。第二類曲線里，w0=1和 w0=0.5的滿足條件且較好的曲線數(shù)量要多于w0=0.1，且w0=1和w0=0.5的衡量標(biāo)準(zhǔn)相近。下面采用的是w0=0.5的六次PH曲線解決插值逼近圓弧的問(wèn)題。一段圓弧，其滿足的G2Hermite插值條件復(fù)表示為：

3　圓弧的六次PH曲線逼近

上面討論了六次PH曲線的G2Hermite插值，下面利用以上分析解決插值逼近特殊的 90°和 67°圓弧的問(wèn)題。其他度數(shù)的圓弧，可以類似得到，也可以利用對(duì)稱等變換或樣條等知識(shí)解決更一般的圓弧插值逼近問(wèn)題。這里w0=0.5。

3.190°圓弧的六次PH曲線逼近

弧長(zhǎng)誤差分別為0.000 424 5和0.000 082 68。

采用六次PH曲線逼近x2+(y-1)2=1的四分之

圖5　90°圓弧的G2六次PH插值曲線

表 3　90°圓弧的G2六次PH曲線選取標(biāo)準(zhǔn)

為了檢驗(yàn)六次PH曲線G2Hermite插值逼近圓弧的效果，將其與圓弧的五次PH曲線G2Herm ite插值逼近和圓弧的六次PH曲線C1Hermite插值逼近進(jìn)行對(duì)比。

(1) 90°圓弧的五次PH曲線G2Hermite插值逼近。依據(jù)文獻(xiàn)[10]的方法，在G2Hermite插值條件(**)下，得到滿足條件的五次PH曲線本質(zhì)上(將曲線及其控制頂點(diǎn)關(guān)于直線 y=-x+1對(duì)稱的兩條曲線算作一條)有3條，如圖6所示。選取標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表4，其中弧長(zhǎng)誤差最小的是0.000 114 ，對(duì)應(yīng)的是五次PH曲線 G2Herm ite插值逼近效果最好的曲線如圖6(c)所示，但是和圖5(d)的六次PH曲線比較見(jiàn)表3，曲線式(18)的插值逼近效果更好。

圖6　90°圓弧的G2五次PH插值曲線

表 4　90°圓弧的G2五次PH插值曲線選取標(biāo)準(zhǔn)

(2) 90°圓弧的六次PH曲線C1Hermite插值逼近。依據(jù)文獻(xiàn)[20]中的討論，取 w0=0.5，若進(jìn)行六次PH曲線C1Hermite插值逼近圓弧，需要構(gòu)造C1Hermite插值條件：

為了和圓弧的六次PH曲線G2Hermite插值逼近進(jìn)行比較，式(***)應(yīng)分別選取第一類曲線式(17)的4個(gè)控制頂點(diǎn)P0=0,P1=0.1982, P5=1+0.7198i,P6=1+i和第二類曲線式(18)的4個(gè)控制頂點(diǎn) P0=0,P1=0.2406,P5=1+0.7198i, P6=1+i。

第一類得到圓弧的 C1插值逼近六次 PH曲線(如圖7(a)所示)的選取標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表5與表3中第一類的相同，說(shuō)明該六次 PH曲線與曲線(17)的插值逼近效果相同。第二類關(guān)于u1的一元二次復(fù)方程有2組解：u1= 1.3840+0.6133i ，u1=-5.1777- 2.1413i ，則求得圓弧的C1插值逼近六次PH曲線有兩條，見(jiàn)圖7(b)、(c)。顯然圖7(b)是較好的圓弧插值逼近曲線，且相應(yīng)的選取標(biāo)準(zhǔn)(見(jiàn)表5)與曲線式(18)幾乎相同，說(shuō)明二者是插值逼近效果非常相近的曲線。

圖7　90°圓弧的C1六次PH插值曲線

表 5　90°圓弧的C1六次PH插值曲線選取標(biāo)準(zhǔn)

以上結(jié)果分析，關(guān)于90°圓弧的Hermite插值逼近曲線，五次G2Hermite插值PH曲線的最好逼近效果，不如六次G2Hermite插值PH曲線的最好逼近效果。而2條六次G2Hermite插值PH曲線(17)、(18)的逼近效果與最好的2條六次C1Hermite插值PH曲線的逼近效果幾乎相同。

3.267°圓弧的六次PH曲線逼近

采用六次PH曲線逼近x2+y2=1的67°圓弧，其滿足的G2Hermite插值條件復(fù)表示為：

從得到的六次PH曲線(如圖8所示)和選取標(biāo)準(zhǔn)(見(jiàn)表6)可知，圖8(a)、(c)是近似效果最好的2條曲線，弧長(zhǎng)誤差分別為0.000 005 073和0.000 060 83。類似上述90°圓弧的分析，可以做這2條曲線確定的C1Hermite插值條件下的六次PH逼近曲線和式(****)條件下的五次PH逼近曲線，見(jiàn)圖9與表7、圖10與表8。

圖8　67°圓弧的G2六次PH插值曲線

表6　67°圓弧的G2六次PH插值曲線選取標(biāo)準(zhǔn)

圖9　67°圓弧的G2五次PH插值曲線

表 7　67°圓弧的G2五次PH插值曲線選取標(biāo)準(zhǔn)

圖10　67°圓弧的C1六次PH插值曲線

表8　67°圓弧的C1六次PH插值曲線選取標(biāo)準(zhǔn)

從以上圖形和表格數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，67°圓弧的逼近曲線里，最好的2條六次G2Hermite插值PH曲線的逼近效果與六次C1Hermite插值PH曲線的逼近效果幾乎相同；但和 90°圓弧的逼近效果略有不同的是，最好的G2五次PH曲線和G2六次PH曲線的弧長(zhǎng)誤差有相同的數(shù)量級(jí)10-6，且前者的逼近效果略好于后者。

4　結(jié)　論

本文對(duì)六次PH曲線的G2Hermite插值進(jìn)行了研究，對(duì)其依據(jù)次數(shù)關(guān)系分成兩類，通過(guò)自由參數(shù)的確定，分別討論了兩類曲線在G2Herm ite插值條件下的曲線求解。對(duì)比曲線弧長(zhǎng)、能量積分、絕對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)，選取了較好的插值曲線。其中自由參數(shù)恰恰是六次PH速端曲線r′(t)= w( t)Q2(t)中w(t)的一個(gè)系數(shù) w0，其可以由r(t)的奇異點(diǎn)表示，因此控制了w0，便確定了六次PH曲線上奇異點(diǎn)的位置，從而簡(jiǎn)化了非正則的六次PH曲線的研究。對(duì)于第一類曲線，奇異點(diǎn)在曲線中的位置不易控制，但是第二類的更易控制，且表達(dá)結(jié)果更加豐富。依據(jù)以上分析，本文利用六次 PH曲線在 G2Hermite插值條件下，分別對(duì)90°和67°兩種圓弧進(jìn)行了逼近。對(duì)于每種圓弧逼近問(wèn)題，取定一個(gè)自由參數(shù)，兩類六次PH曲線都達(dá)到了很好的逼近效果，對(duì)比圖像、弧長(zhǎng)、弧長(zhǎng)誤差、能量積分、絕對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)，找到逼近效果最好的曲線。同時(shí)對(duì)五次PH曲線G2和六次PH曲線C1插值逼近這兩種圓弧的研究發(fā)現(xiàn)，90°圓弧的逼近曲線里，式(18)的逼近效果最好，弧長(zhǎng)誤差為0.000 082 68。在式(17)、(18)確定的C1Hermite插值條件下，得到的逼近效果最好的兩條C1六次PH曲線與式(17)、(18)近乎相同，說(shuō)明C1六次PH曲線插值逼近90°圓弧的問(wèn)題可以通過(guò)G2Hermite六次PH曲線求解，這個(gè)結(jié)論也體現(xiàn)在插值逼近67°圓弧上。在 67°圓弧的逼近曲線里，最好的五次和六次G2Hermite插值PH曲線逼近效果相近，弧長(zhǎng)誤差都達(dá)到10-6數(shù)量級(jí)。對(duì)圓弧的六次PH曲線逼近的研究突破了以往都是對(duì)奇次 PH曲線插值逼近圓弧的傳統(tǒng)，在CAD和工業(yè)設(shè)計(jì)上，若提供了插值端點(diǎn)、切向量和曲率數(shù)據(jù)，可以利用六次PH曲線進(jìn)行插值逼近，同時(shí)自由參數(shù)增加了構(gòu)造的靈活性。

[1] Farouki R T, Sakkalis T. Pythagorean hodographs [J]. IBM Journal of Research and Development, 1990, 34(5): 736-752.

[2] Farouki R T. Pythagorean-hodographs curves: algebra and geometry inseparable [M]. Berlin: Springer Press, 2008: 369-377, 546-566.

[3] Meek D S, Walton D J. Geometric Hermite interpolation with Tschirnhausen cubics [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1997, 81: 299-309.

[4] Farouki R T, Neff C A. Hermite interpolation by Pythagorean hodograph quintics [J]. Mathematics of Computation, 1995, 64(212): 1589-1609.

[5] Kong J H, Jeong S P, Lee S, et al. C1Hermite interpolation with simple planar PH curves by speed reparametrization [J]. Computer Aided Geometric Design, 2008, 25(4): 214-229.

[6] Farouki R T, Manjunathaiah J, Jee S. Design of rational cam profiles with Pythagorean-hodograph curves [J]. Mechanism and Machine Theory, 1998, 33(6): 669-682.

[7] Sir Z, Jüttler B. Constructing acceleration continuous tool paths using Pythagorean hodograph curves [J]. Mechanism and Machine Theory, 2005, 40(11): 1258-1272.

[8] Jüttler B.Hermite interpolation by Pythagorean hodograph curves of degree seven [J]. Mathematics of Computation, 2001, 70(235): 1089-1111.

[9] Walton D J, Meek D S. Planar G2transition with a fair Pythagorean hodograph quintic curve [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2002, 138(1): 109-126.

[10] 陳國(guó)棟, 王國(guó)瑾. 五次PH曲線的 Hermite 插值[J]. 軟件學(xué)報(bào), 2001, 12(10): 1569-1572.

[11] 楊平, 汪國(guó)昭. C3連續(xù)的7次PH樣條曲線插值[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 26(5): 731-738.

[12] 楊平, 汪國(guó)昭. C3連續(xù)的七次PH樣條閉曲線插值[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào): 工學(xué)版, 2014, 48(5): 934-941.

[13] 壽華好, 江瑜, 繆永偉. 基于三次PH曲線誤差可控代數(shù)曲線等距線逼近算法[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 33(2): 30-33.

[14] Farouki R T. The conformal map2z→zof the hodograph plane [J]. Computer Aided Geometric Design, 1994, 11(4): 363-390.

[15] 楊平, 汪國(guó)昭. 7次PH曲線的控制多邊形的幾何性質(zhì)[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 26(3): 378-384.

[16] Wang G Z, Fang L C. On control polygons of quartic Pythagorean-hodograph curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2009, 26(9): 1006-1015.

[17] Li Z, Ait-Haddou R, Biard L. Pythagorean hodograph spline spirals that match G3Hermite data from circles [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2015, 278: 162-180.

[18] Farouki R T, Giannelli C, Sestini A. Identification and “reverse engineering” of Pythagorean-hodograph curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2015, 34: 21-36.

[19] 張偉紅, 蔡亦青, 馮玉瑜. 圓弧的五次PH曲線等弧長(zhǎng)逼近[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 22(7): 1082-1086.

[20] Farouki R T.Construction of G2rounded corners with Pythagorean-hodograph curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2014, 31(2): 127-139.

[21] 方林聰, 汪國(guó)昭. 六次PH曲線C1Hermite插值[J]. 中國(guó)科學(xué)數(shù)學(xué), 2014, 44(7): 799-804.

G2Herm ite Interpolation by Pythagorean Hodograph of Degree Six

Wang Hui1,Zhu Chungang1,Li Caiyun2

(1. School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian Liaoning 116024, China; 2. School of Science, Dalian University of Technology, Panjin Liaoning 124221, China)

By the advantages of computing arcs and representing offsets, study of phythagorean hodograph curves is one of the hot topics in recent years. In this paper, G2Hermite interpolation by sextic PH curves is studied. Sextic PH curves can be classified into two types and the interpolation problem can be resolved to get the control points with some free parameter in complex representation. With the analysis of arc-length, bending energy and absolute rotation number, the better interpolation curves are selected. Moreover, the sextic PH G2Hermite interpolation is applied to approximate the 90° and 67° arcs. The best approximating curves can solve C1Hermite interpolation by the PH sextics. And the best curves’ performance is better than the quintic G2Hermite interpolation curves when approximating the 90° arc, and is almost same as the latter’s best curve when approximating the 67° arc.

PH curve; G2Hermite interpolation; arc

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2016020155

A

2095-302X(2016)02-0155-11

2015-09-24；定稿日期：2015-10-09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271060，11290143，11401077)；民用飛機(jī)專項(xiàng)項(xiàng)目(M J-F-2012-04)；中央基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目(DUT16LK38)；遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(LJQ2014010)

王慧(1990–)，女，吉林吉林人，博士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何。E-mail：wanghui21301062@mail.dlut.edu.cn

朱春鋼(1977–)，男，北京人，教授，博士，博士生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)橛?jì)算幾何。E-mail：cgzhu@dlut.edu.cn