王 瑞 孫 晰

1.遼源職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 遼源 136201；2.洛陽(yáng)市第一中學(xué)，河南 洛陽(yáng) 471000

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機(jī)器人避障問(wèn)題數(shù)學(xué)模型研究

王 瑞1*孫 晰2

1.遼源職業(yè)技術(shù)學(xué)院，吉林 遼源 136201；2.洛陽(yáng)市第一中學(xué)，河南 洛陽(yáng) 471000

機(jī)器人是一種能夠在正常工作環(huán)境中自由移動(dòng)、并順利完成預(yù)定任務(wù)的智能系統(tǒng)。機(jī)器人的避障問(wèn)題是移動(dòng)機(jī)器人控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。模型對(duì)機(jī)器人避障問(wèn)題，分不考慮轉(zhuǎn)彎和考慮轉(zhuǎn)彎兩種情況的路徑，采用傳統(tǒng)算法、智能算法進(jìn)行了討論。

最短路徑；類(lèi)比法；距離；勾股定理

在一個(gè)800×800的平面場(chǎng)景圖，原點(diǎn)O處有一個(gè)機(jī)器人，它只能在該平面場(chǎng)景范圍內(nèi)活動(dòng)。圖中有12個(gè)不同形狀的區(qū)域是機(jī)器人不能與之發(fā)生碰撞的障礙物。在圖1的平面場(chǎng)景中，障礙物外指定一點(diǎn)為機(jī)器人要到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)(要求目標(biāo)點(diǎn)與障礙物的距離至少超過(guò)10個(gè)單位)。規(guī)定機(jī)器人的行走路徑由直線(xiàn)段和圓弧組成，其中圓弧是機(jī)器人轉(zhuǎn)彎路徑。

一、問(wèn)題分析

為了方便解決問(wèn)題，將機(jī)器人看成點(diǎn)。先不考慮與障礙物的距離，連接點(diǎn)O與障礙物的頂點(diǎn)、障礙物頂點(diǎn)與頂點(diǎn)、頂點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)的直線(xiàn)為機(jī)器人的行走路徑，比較這樣的路徑中最短者。再將各障礙物向外平行擴(kuò)展10個(gè)長(zhǎng)度單位，借鑒上述最短路徑，從而畫(huà)出滿(mǎn)足條件的最短路徑并求其長(zhǎng)度。

二、模型的建立與求解

先不考慮轉(zhuǎn)彎情形,給出O→A→B→C→O的線(xiàn)路圖，以下均見(jiàn)圖1。

圖1 O→A→B→C→O可行路徑圖

因?yàn)闄C(jī)器人所走的弧長(zhǎng)比線(xiàn)段長(zhǎng)少很多，所以可將機(jī)器人看成點(diǎn)。已知各障礙物頂點(diǎn)坐標(biāo)，用C語(yǔ)言編程可得各路徑的總路程，最后得出：

O→A的最短路徑為O→E2→A，距離為462.417。

O→B的最短路徑為O→E2→E4→E7→E8→E9→B，路程為845.42。

O→C的最短路徑為O→E1→E21→E19→E15→E14，路程為1069.68。

A→B的最短路線(xiàn)為A→E5→E6→E7→B，距離為458.21。

B→C的最短路線(xiàn)為下表路徑一，距離為683.35。

上述結(jié)論未考慮與障礙物的距離.下面將距離考慮在內(nèi),給出機(jī)器人繞障礙物的最短路徑方案及路程。機(jī)器人所走的路徑，包括從O→C及再回到終點(diǎn)的路徑，可推廣出以下通式。

通過(guò)求不考慮圓弧與考慮圓弧的路程看出，有圓弧的路徑可使機(jī)器人避開(kāi)障礙，且為最短路徑。

O→A含弧的最短距離為466.51。O→B的含弧最短距離為832.87。

O→C的最短距離為1055.26。A→B的含弧最短距離為458.21。

B→C的最短距離為683.35。O→A→B→C→O的最短距離=2663.33。

若要求出從O到A得最短時(shí)間路徑，先求出OA的最短路徑為O,M1,M2,A,以此路徑為基礎(chǔ)與其他路徑進(jìn)行比較，找到最短時(shí)間路徑，如圖2所示:

圖2 最短時(shí)間線(xiàn)路圖

綜上，機(jī)器人的應(yīng)用領(lǐng)域正不斷擴(kuò)大，種類(lèi)日趨增多，性能不斷提高，并逐步向智能化方向發(fā)展，追求目標(biāo)是融入人類(lèi)的生活，和人類(lèi)一起協(xié)同工作，從事一些人類(lèi)無(wú)法從事的工作，以更大的靈活性給人類(lèi)社會(huì)帶來(lái)更多的價(jià)值。

[1]謝云蓀,張志讓.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).北京：科學(xué)出版社，1999.

[2]吳建國(guó).數(shù)學(xué)建模案例精編.北京：中國(guó)水利水電出版社，2005.

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