劉 丹，胡 森，肖 明，王 筠，童愛紅，吉紫娟

(湖北第二師范學(xué)院 物理與機電工程學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)研究院，武漢 430205)

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二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體禁帶特性研究

劉 丹*，胡 森，肖 明，王 筠，童愛紅，吉紫娟

(湖北第二師范學(xué)院 物理與機電工程學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)研究院，武漢 430205)

構(gòu)建了二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體.采用平面波展開方法，得到了硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，分析了空氣孔半徑及介質(zhì)柱半徑對完全禁帶寬度的影響，發(fā)現(xiàn)硅基空氣環(huán)型光子晶體結(jié)構(gòu)的完全禁帶寬度值很小，無法優(yōu)于傳統(tǒng)硅基空氣孔型光子晶體結(jié)構(gòu).為了有效增大硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的完全禁帶，本文將內(nèi)芯介質(zhì)柱替換為高折射率或各向異性的材料.當(dāng)引入高折射率的介質(zhì)柱材料時，空氣環(huán)型光子晶體完全禁帶寬度明顯增大，最大可達15.59%；進一步引入各向異性材料Te作為介質(zhì)柱材料，蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體明顯優(yōu)于傳統(tǒng)蜂窩狀空氣孔型光子晶體，最大完全禁帶寬度值達到16.889%.

光子晶體； 完全禁帶； 平面波展開法； 各向異性Te

硅是一種性能優(yōu)越的半導(dǎo)體材料，在集成電路的發(fā)展過程中起到了重要作用，其理論體系相當(dāng)完善，加工技術(shù)也非常成熟.不僅如此，硅材料還是一種被廣泛運用的光子材料，使得硅基集成光電子學(xué)的研究備受青睞.硅基光電集成器件，要求尺寸很小，達到了微納米級別，無法用幾何光學(xué)的理論體系來研究，因此迫切需要新的理論[1-2].光子晶體的出現(xiàn)剛好滿足了這一需求，其獨特的光子禁帶及光子局域特性被廣泛研究，其理論研究不斷深入，應(yīng)用的領(lǐng)域也不斷擴大.利用光子晶體，可以實現(xiàn)光子晶體波導(dǎo)、光子晶體發(fā)光二極管、光學(xué)二極管、全光開關(guān)及光子晶體光纖等[3-5].光子晶體靈活操控光傳播的特性與成熟的硅加工技術(shù)的有效結(jié)合，有望解決硅基光電子器件發(fā)展中的理論難題及技術(shù)障礙[1].因此硅基光子晶體的禁帶分析及器件設(shè)計顯得尤為重要.

光子晶體按材料折射率在空間分布的不同，常被分為一維、二維及三維.雖然三維光子晶體被證實可實現(xiàn)全方位禁帶，但結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，其制作仍是一大挑戰(zhàn).相對而言，二維光子晶體，特別是工作頻率處在近紅外波段時，更容易被制作，因此是光子晶體領(lǐng)域中被使用最多的一種結(jié)構(gòu).二維光子晶體在周期平面內(nèi)傳播的光有兩種偏振模式，即“橫電模式”(TE)和“橫磁模式”(TM).TE模式和TM模式將各自構(gòu)成完全不同的能帶曲線，只有在相同頻率范圍為各自形成禁帶時，才能產(chǎn)生“完全禁帶”[1，3-4].如何通過簡單的光子晶體結(jié)構(gòu)來獲得寬的完全禁帶一直是光子晶體研究領(lǐng)域的一個重點.

為了增大光子晶體的完全禁帶寬度，人們采取了多種措施，例如，改變光子晶體的晶格結(jié)構(gòu)、引入各向異性材料、降低結(jié)構(gòu)的對稱性或加入金屬材料等[6-11].其中，值得一提的是，H. Kurt教授提出了一種空氣環(huán)型光子晶體，即介質(zhì)中的空氣環(huán)結(jié)構(gòu)，能有效地增寬完全帶隙[10].隨之，利用空氣環(huán)型光子晶體來增大完全禁帶的研究眾多.然而，已有研究表明，二維硅基三角形空氣環(huán)型光子晶體很難獲得寬的完全禁帶，歸一化帶寬值小于10%[11].因此，我們特別關(guān)注硅基環(huán)形光子晶體的禁帶特性，希望找到有效方法來獲得寬的完全禁帶，為高性能的硅基光子晶體器件的設(shè)計提供參考.同時，空氣環(huán)型光子晶體按晶格類型不同可分為正方型、三角型及蜂窩型，其中前兩種類型研究較多，而系統(tǒng)地研究蜂窩型光子晶體的研究并不是很多，因此本文重點關(guān)注二維硅基蜂窩型空氣環(huán)型光子晶體的完全禁帶特性.

本文首先構(gòu)建了二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的模型.采用平面波展開方法，得到了硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)隨著介質(zhì)柱半徑的增大，完全禁帶逐漸減??；進一步探討了空氣孔半徑及介質(zhì)柱半徑對完全禁帶寬度的影響，發(fā)現(xiàn)硅基空氣環(huán)型光子晶體結(jié)構(gòu)無法優(yōu)于傳統(tǒng)硅基空氣孔型光子晶體結(jié)構(gòu).為了使硅基空氣環(huán)型光子晶體能獲得寬的完全帶隙，本文將內(nèi)芯介質(zhì)柱替換為高折射率或各向異性材料Te，發(fā)現(xiàn)空氣環(huán)型光子晶體完全禁帶寬度明顯增大，硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體將優(yōu)于傳統(tǒng)的硅基蜂窩狀空氣孔型光子晶體，研究結(jié)果為高性能的硅基光子晶體器件的設(shè)計提供了參考.

1 理論及模型

由麥克斯韋方程可知[12]

，

(1)

式中，ω代表頻率，c是光速.

(2)

(3)

式中，

(4)

(5)

式中，Ω表示單位晶格的面積.

由線性矩陣方程求出特征值后，便可獲知光子晶體的能帶曲線及本證電磁場的具體分布情況[1].由于蜂窩結(jié)構(gòu)并非布拉菲格子，實際上是具有兩點基元的三角形布拉菲格子，因此在計算時，應(yīng)利用幾何結(jié)構(gòu)因子來修改傅立葉展開系數(shù)，從而獲得能帶結(jié)構(gòu)[14-15].

二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的結(jié)構(gòu)如圖1所示.其中，介質(zhì)柱的半徑為r，折射率為n′，介質(zhì)柱放入半徑為R的空氣孔的正中央，介質(zhì)背景的折射率設(shè)為n.a為最近鄰介質(zhì)柱中心間的距離.

圖1 二維蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體結(jié)構(gòu)Fig.1 The two-dimensional annular photonic crystals with honeycomb lattices

利用上述電磁場理論，通過平面波展開法獲得的計算結(jié)果，在PBG頻率值附近，其誤差值約小于2%.二維光子晶體結(jié)構(gòu)，指的是在平面(設(shè)為xy平面)內(nèi)介質(zhì)按周期性排列，在z方向上介質(zhì)是無限延伸的，所以對kz的值沒有限制.因此，在周期平面內(nèi)將出現(xiàn)光子帶隙，當(dāng)光的頻率剛好處在帶隙范圍內(nèi)時，將無法在平面內(nèi)繼續(xù)傳播，而被輻射到周圍的空氣中[1].當(dāng)kz=0時，所有的模式都將對xy平面成鏡像對稱.基于此特性，平面內(nèi)傳播的光被分為兩種偏振模式，即：TE模式和TM模式.前者表示的是：電場在xy平面內(nèi)，而磁場卻垂直于該平面；后者剛好與之相反，表示為：磁場在xy平面內(nèi)，而電場卻垂直于該平面[1].TE模式和TM模式完全不同，一種模式形成禁帶，可能另一種模式卻未形成禁帶，而僅當(dāng)兩者均形成禁帶且頻率范圍重合時，完全禁帶才會產(chǎn)生.

2 結(jié)果及討論

選取介質(zhì)柱及基底均為Si材料(折射率為3.45)，分析二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的能帶結(jié)構(gòu).首先，以空氣孔的半徑R=0.47a為例，分析當(dāng)介質(zhì)柱半徑變化時能帶結(jié)構(gòu)的改變情況.然后，探討完全禁帶寬度隨介質(zhì)柱半徑及空氣孔半徑的變化曲線.

依次選取介質(zhì)柱半徑r為0，0.05a及0.15a為例，采用平面波展開法獲得光子晶體能帶結(jié)構(gòu)，獲知完全禁帶的寬度，結(jié)果如圖2所示.我們將TE模式表示為空心圓，將TM模式表示為實心圓，若兩種模式各自形成禁帶，禁帶區(qū)域即圖中的陰影部分.當(dāng)兩類陰影區(qū)間重疊，則此重疊區(qū)域即為完全禁帶.光子晶體通常采用歸一化頻率值Δω/ωm代表PBG的寬度，此處，ωm為PBG的中心頻率值，Δω為PBG的頻率寬度.

圖2 R=0.47a時，介質(zhì)柱半徑取不同值時的能帶曲線 (a) r=0，(b) r=0.05a，(c) r=0.15aFig.2 The band diagrams for the different rod radius with R=0.47a (a) r=0，(b) r=0.05a，(c) r=0.15a

當(dāng)r=0時，結(jié)構(gòu)實際上為蜂窩狀空氣孔型光子晶體，圖2(a)顯示，此時完全禁帶出現(xiàn)在0.4192～0.48456(ω a/2πc)，完全禁帶寬度為14.467%.即說明，對于二維硅基蜂窩狀空氣孔型光子晶體，當(dāng)孔半徑為0.47a時，禁帶寬度已達到14.467%.當(dāng)r=0.05a時，由圖2(b)可知，完全禁帶的范圍為0.41912～0.46624(ω a/2πc)，完全禁帶寬度為10.643%，說明當(dāng)介質(zhì)柱半徑由0增大時，獲得的空氣環(huán)型光子晶體的完全禁帶小于傳統(tǒng)空氣孔光子晶體的完全禁帶.當(dāng)r繼續(xù)增大至0.15a時，圖2(c)顯示，完全禁帶的范圍為0.42416～0.4449(ω a/2πc)，完全禁帶寬度減小至4.78%，完全禁帶寬度隨著介質(zhì)柱半徑的增大急速地減小.為了更清晰地反映二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的完全禁帶寬度隨介質(zhì)柱半徑及空氣孔半徑的變化關(guān)系，分別選取R為0.45a，0.46a及0.47a，探討完全禁帶寬度隨r的變化關(guān)系，結(jié)果如圖3所示.

圖3 完全禁帶寬度隨介質(zhì)柱半徑的變化關(guān)系曲線(n=n′=3.45)Fig.3 The absolute PBG variation as the dielectric rod radius(n=n′=3.45)

由圖3可知，當(dāng)空氣孔半徑R一定時，隨著介質(zhì)柱半徑r的增大，完全禁帶寬度先急速減小，而后會小幅度地振蕩，禁帶寬度值遠小于r為0時的取值.考慮到實際制作的困難，r值不宜過小，因此圖3說明傳統(tǒng)蜂窩狀空氣孔型光子晶體將更優(yōu)于硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體.早前，文獻11中探討了二維正方排列和三角排列的空氣環(huán)型光子晶體，得到了類似的結(jié)論，即：當(dāng)基底的折射率值小于4(Si的折射率為3.45)時，空氣環(huán)型結(jié)構(gòu)無法獲得比空氣孔型光子晶體更寬的完全禁帶.

以上研究說明，為了有效增大硅基空氣環(huán)型光子晶體的完全禁帶，應(yīng)采取其他措施.此處，設(shè)定硅材料為背景(n=3.45)，引入折射率為n′的的介質(zhì)柱，探討當(dāng)n′取2，3，4，5及6時，蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的完全禁帶隨介質(zhì)柱半徑的變化關(guān)系.以空氣孔半徑R=0.45a為例獲得的結(jié)果如圖4所示.

圖4 完全禁帶隨介質(zhì)柱半徑的變化關(guān)系曲線(R=0.45a，n=3.45)Fig.4 The absolute PBG variation as the dielectric rod radius for R=0.45a and n=3.45

由圖4可知，當(dāng)介質(zhì)柱半徑r為0時，對應(yīng)的空氣孔型光子晶體的完全禁帶值為9.912 5%.當(dāng)介質(zhì)柱折射率小于4時，隨著介質(zhì)柱半徑的增大，完全禁帶幾乎是逐漸地減小到0.當(dāng)n′=4時，完全禁帶會先減小，而后逐漸增大至一個極大值(9.422%)，此時空氣環(huán)型光子晶體仍無法優(yōu)于空氣孔型光子晶體.只有當(dāng)介質(zhì)柱折射率增大至5時，完全禁帶隨著空氣孔半徑的增大，先較小，而后急速增大至另一個極大值，此極大值遠大于空氣孔型的禁帶寬度9.912 5%.圖4的結(jié)果說明，只有當(dāng)介質(zhì)柱的折射率增大至5時，二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體才會優(yōu)于傳統(tǒng)的蜂窩狀空氣孔型光子晶體.當(dāng)n′=6，r=0.07a時，完全禁帶最寬，值為15.59%.因此通過引入高折射率的介質(zhì)柱，完全禁帶明顯增寬，15.59%的禁帶寬度值明顯地高于文獻10和文獻11中所獲得的禁帶寬度值(禁帶寬度值小于10%).

進一步，設(shè)定硅材料為背景(n=3.45)，引入各向異性材料Te作為介質(zhì)柱材料，標記此種結(jié)構(gòu)為“Si-Te”.各向異性的Te材料有兩個不同的折射率值，其中尋常折射率為no=4.8，異常折射率為ne=6.2.圖5給出了相應(yīng)的完全禁帶寬度隨介質(zhì)柱半徑的變化曲線.

圖5 Si-Te結(jié)構(gòu)的完全禁帶隨介質(zhì)柱半徑的變化關(guān)系曲線Fig.5 The absolute PBG variation as the dielectric rod radius for Si-Te structures

由圖5可知，對于Si-Te結(jié)構(gòu)，當(dāng)空氣孔半徑R為0.45a，0.46a及0.47a時，硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體都將獲得比傳統(tǒng)的空氣孔型光子晶體更寬的完全禁帶.當(dāng)R=0.45a，r=0.07a時，完全禁帶最寬，值為16.889%.由此可見，引入各向異性的介質(zhì)柱，能有效地增大蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的禁帶寬度.

3 結(jié)論

本文系統(tǒng)地研究了蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體，特別探討了具有廣泛應(yīng)用的硅基光子晶體.首先，本文構(gòu)建了二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體.然后，采用平面波展開方法，得到了硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明，隨著介質(zhì)柱半徑的增大，完全禁帶寬度急速減小.以空氣孔半徑為 0.45a，0.46a及0.47a為例，探討了二維硅基蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體的完全禁帶寬度隨介質(zhì)柱半徑及空氣孔半徑的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)硅基空氣環(huán)型光子晶體完全禁帶寬度遠小于傳統(tǒng)硅基空氣孔型光子晶體完全禁帶寬度值.為了有效增大硅基空氣環(huán)型光子晶體的完全禁帶寬度，首先引入高折射率的介質(zhì)柱材料，發(fā)現(xiàn)空氣環(huán)型光子晶體完全禁帶寬度明顯增大，最大可達15.59%，此禁帶寬度值明顯地高于文獻中所報道的結(jié)果(禁帶寬度值小于10%)；進一步引入各向異性材料Te作為介質(zhì)柱材料，結(jié)果表明，此時蜂窩狀空氣環(huán)型光子晶體明顯優(yōu)于傳統(tǒng)空氣孔型光子晶體，最大完全禁帶寬度值達到16.889%.研究結(jié)果為硅基空氣環(huán)型光子晶體獲得寬的完全禁帶提出了有效方法，為高性能的硅基光子晶體器件的設(shè)計提供了理論參考.

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Absolute photonic band gap in 2D honeycomb silicon annular photonic crystals

LIU Dan，HU Sen，XIAO Ming，WANG Yun，TONG Aihong，JI Zijuan

(Institute of Information Science and Technolog, Department of Physics and Mechanical and Electrical Engineering，Hubei University of Education，Wuhan 430205)

A two-dimensional honeycomb silicon annular photonic crystal (PC) is proposed，and the photonic band structures are obtained by using the plane wave expansion method. The effects of air-hole radius and rod radius on absolute photonic band gap (PBG) are also analyzed. The results reveal that the silicon annular PCs have small absolute PBGs and can not show more advantage than the usual air-hole silicon PCs. In order to obtain large absolute PBGs in honeycomb silicon annular PC，the inner dielectric rods have been instead of high refractive index or anisotropic materials. When involving the high refractive index dielectric rods，the absolute PBGs obviously increase and the largest absolute gap is 15.59%. Moreover，involving anisotropic Te rods in honeycomb annular PCs，the silicon annular PCs can show more advantage than the usual air-hole silicon PCs，and the largest absolute gap is 16.889%．

photonic crystal; absolute photonic band gap; plane wave expansion method; anisotropic tellurium

2016-03-18.

湖北省教育廳中青年人才項目(Q20153004).

1000-1190(2016)05-0660-05

O482.3

A

*E-mail: liudan725@126.com.