王紅香，熊林根

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十一研究所，上海 200233)

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基于點(diǎn)接觸赫茲理論的圓柱齒輪彎曲應(yīng)力有限元分析

王紅香，熊林根

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十一研究所，上海 200233)

基于點(diǎn)接觸赫茲理論，計(jì)算出圓柱齒輪嚙合接觸域的大小、方向和接觸力。利用Pro/E建立圓柱齒輪三齒實(shí)體模型，利用模擬出來(lái)的接觸應(yīng)力進(jìn)行加載，基于有限元法對(duì)一個(gè)嚙合周期內(nèi)圓柱齒輪彎曲應(yīng)力分布進(jìn)行計(jì)算分析，并與實(shí)例進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證分析的正確性。

接觸特性；有限元分析；圓柱齒輪；彎曲應(yīng)力

0 引 言

利用ANSYS軟件來(lái)模擬齒輪嚙合分析，能為設(shè)計(jì)者在設(shè)計(jì)過(guò)程中參數(shù)的選擇以及實(shí)際加工機(jī)床參數(shù)的調(diào)整等提供比較直觀(guān)的判斷，ANSYS軟件是假設(shè)齒輪是剛性的基礎(chǔ)上，并且只有一對(duì)相互嚙合的齒，所以軟件分析有一定的局限性。本文簡(jiǎn)要描述了基于點(diǎn)接觸赫茲理論模擬圓柱齒輪的真實(shí)嚙合域來(lái)計(jì)算圓柱齒輪彎曲應(yīng)力的方法，并利用有限元法進(jìn)行仿真。

1 基于點(diǎn)接觸赫茲理論的齒輪傳動(dòng)的接觸域計(jì)算

1.1 基于點(diǎn)接觸的齒輪接觸域的確定

在M點(diǎn)接觸的兩個(gè)不規(guī)則形狀的彈性體(如圖1所示)，根據(jù)赫茲點(diǎn)接觸理論，在法向施加力F的情況下相互接觸，在公切面上彈性體接觸面之間距離相同的點(diǎn)構(gòu)成橢圓域Ω。根據(jù)壓力與位移成正比的關(guān)系，軸向偏移最大點(diǎn)在橢圓域Ω中心處，其對(duì)應(yīng)的接觸壓力因此也最大；同理，隨著邊緣到中心的位移逐漸增大，其對(duì)應(yīng)的接觸應(yīng)力也逐漸增大，而在邊緣上偏移量為零，所以壓力也為零。假設(shè)外力F、彈性體外形和材料常數(shù)固定，接觸域的形狀和大小可以計(jì)算得出。

圖1 接觸模擬圖

基于幾何圖形可知，物體表面到公切面上距離相等的點(diǎn)組成一個(gè)類(lèi)橢圓域?；诮佑|點(diǎn)的彈性系數(shù)以及主曲率與橢圓域的關(guān)系可得，橢圓域長(zhǎng)短軸需符合式(1)：

(1)

式中：F為法向嚙合力；θ1及θ2由彈性模量決定，θ的計(jì)算值由式(2)給出：

(2)

式中：m為拉伸系數(shù)。由于m=1/μ，則上式可化簡(jiǎn)：

(3)

式中：μi為泊松比；Ei為彈性模量，其中(i=1,2)；u,v是基于τ(ρ)查詢(xún)橢圓積分系數(shù)表得到的橢圓積分函數(shù)，

(4)

式中：K11、K12、K21、K22分別為兩曲面在M點(diǎn)處的主法曲率；ω為兩曲面主方向之間的夾角φ1。由上求出的橢圓域長(zhǎng)短半徑的大小可確定接觸域的大小。

1.2 接觸橢圓域長(zhǎng)短軸方向的計(jì)算

確定的接觸橢圓域長(zhǎng)短軸方向，即誘導(dǎo)法曲率主方向的計(jì)算。以漸開(kāi)線(xiàn)形式的齒輪為例，其曲面方程是以漸開(kāi)線(xiàn)上的θ作為參數(shù)的?；谇媲衅矫嫔系氖噶坑?jì)算方法可方便求出圓柱齒輪的兩個(gè)主方向如下：

(5)

式中：θ10為圓柱齒輪漸開(kāi)線(xiàn)起始點(diǎn)到齒槽對(duì)稱(chēng)線(xiàn)的角度；θ1為漸開(kāi)線(xiàn)角度。該方向是基于小齒輪軸坐標(biāo)系而得。

由主誘導(dǎo)法曲率和在該點(diǎn)兩曲面主曲率之間的關(guān)系可知，e11，e12，e1，e2是位于公切面上矢量，為方便分析，以接觸點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖。

圖2 誘導(dǎo)法曲率主方向分析坐標(biāo)系

上圖中φg為誘導(dǎo)法曲率主方向到圓柱齒輪主方向之間的轉(zhuǎn)角 。

由式(5)在上圖所示坐標(biāo)系下可得誘導(dǎo)法曲率主方向如下：

(6)

1.3 嚙合域應(yīng)力分布

考慮橢圓接觸區(qū)域由中心到邊緣位移逐漸減小，因此相應(yīng)的接觸壓力也逐漸減小，則在中心位置處壓力最大，接觸域邊緣壓力近乎為0。則載荷F在接觸區(qū)域上是按近似半橢球體分布的，稱(chēng)之為法向應(yīng)力橢球體，由下式?jīng)Q定：

(7)

式中：ρx為長(zhǎng)軸半徑；ρy為短軸半徑。

當(dāng)x=0,y=0時(shí)，給出最大應(yīng)力如下：

(8)

用彈性系數(shù)θ1，θ2和主曲率K11，K12，K21，K22表示橢圓體長(zhǎng)半徑ρx和短半徑ρy，則最大應(yīng)力可表示：

(9)

2 齒輪傳動(dòng)彎曲應(yīng)力在A(yíng)NSYS軟件上的分析實(shí)例

2.1 實(shí)例

給定小齒輪的參數(shù)如下：模數(shù)m=4，壓力角α=20°，齒數(shù)N1=22，齒寬b=35 mm，與之嚙合的圓柱齒輪的齒數(shù)為86。施加名義切向力Ft=1 000 N，選取圓柱齒輪三齒模型作為分析對(duì)象，利用ANSYS軟件進(jìn)行分析。

材料的彈性模量E取2.06×105MPa，泊松比μ為0.3。利用ANSYS工具，采取八節(jié)點(diǎn)四面體單元SOLID45對(duì)三齒模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。選用自由網(wǎng)格劃分，確定接觸域并對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格局部細(xì)化，細(xì)化粒度在0.4 mm到0.7 mm之間，其他區(qū)域取單元棱長(zhǎng)為1.5 mm。做過(guò)有限元顆粒度細(xì)化的模型如下圖。最終面齒輪網(wǎng)格的單元數(shù)為40 379，節(jié)點(diǎn)數(shù)為8 172。

圖3 圓柱齒輪模型網(wǎng)格圖

以小齒輪開(kāi)始嚙合的轉(zhuǎn)角做為參考基準(zhǔn)，設(shè)為φ=0.2°，選擇以下瞬態(tài)角度：齒底φ=2.7°，φ=5.3°，φ=7.8°，齒中φ=10.4°，φ=13.0°，φ=15.6°，齒頂φ=18.1°，φ=20.7°，φ=23.3°。

根據(jù)節(jié)1.1中的計(jì)算方法，在考慮齒間載荷分配的基礎(chǔ)上，對(duì)接觸域幾何尺寸計(jì)算如表1。

表1 各接觸域長(zhǎng)短軸大小

由表1中數(shù)值可得：

1)從齒根到齒頂，嚙合域先變小后變大，在下半部達(dá)到最大值；

2)短軸遠(yuǎn)小于長(zhǎng)軸，因此嚙合域近似為分布在長(zhǎng)軸上的線(xiàn)段。

根據(jù)節(jié)1.3中的計(jì)算方法，模擬齒輪嚙合中的嚙合域分布力如圖4所示。在忽略齒間載荷分配的情況下，從齒根到齒頂嚙合分布力逐漸變大，齒底位置嚙合點(diǎn)接觸域上分布力最小。

圖4 嚙合力模擬分布圖

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，對(duì)圓柱齒輪三齒模型進(jìn)行齒面應(yīng)力加載，得出彎曲應(yīng)力分布圖。圖5是嚙合轉(zhuǎn)角在10.4°和23.3°時(shí)的彎曲應(yīng)力分布圖。

(a)φ=10.4°(b)φ=23.3°

圖5 圓柱齒輪彎曲應(yīng)力云圖示例

利用ANSYS逐一仿真出上述10個(gè)嚙合過(guò)程中的彎曲應(yīng)力分布，并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)入表2。表中，σF為最大彎曲應(yīng)力，σFV為當(dāng)量應(yīng)力。

表2 圓柱齒輪齒根當(dāng)量應(yīng)力及彎曲應(yīng)力計(jì)算結(jié)果

2.2 實(shí)際應(yīng)用

由于空間站需實(shí)現(xiàn)推進(jìn)劑的在軌補(bǔ)加，故需要補(bǔ)加系統(tǒng)，而補(bǔ)加系統(tǒng)中壓氣機(jī)是一關(guān)鍵單機(jī)，壓氣機(jī)能否可靠工作是補(bǔ)加過(guò)程能否成功實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵之一。電機(jī)組件作為壓氣機(jī)裝置的動(dòng)力源，實(shí)現(xiàn)壓氣機(jī)的啟動(dòng)、運(yùn)轉(zhuǎn)和停機(jī)。圖6為我們提供給用戶(hù)的電機(jī)組件產(chǎn)品。

圖6 壓氣機(jī)用電機(jī)組件

由于用戶(hù)初期的技術(shù)指標(biāo)提供錯(cuò)誤，導(dǎo)致實(shí)際輸出力矩比計(jì)算值超出了4倍，最終產(chǎn)品在壽命試驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)太陽(yáng)輪受力過(guò)大損壞現(xiàn)象。如圖7所示，損壞的齒都是在齒根位置斷裂，跟我們用軟件模擬的效果一樣。

圖7 損壞太陽(yáng)輪

3 結(jié) 語(yǔ)

由上面計(jì)算結(jié)果及應(yīng)用實(shí)例總結(jié)出下面幾點(diǎn)：

1) 由于圓柱齒輪的齒面輪廓在過(guò)度曲線(xiàn)處齒厚最小，導(dǎo)致嚙合過(guò)程中的最大彎曲應(yīng)力均出現(xiàn)在齒根位置；

2) 受齒形齒廓和載荷分配系數(shù)的影響，最大彎曲應(yīng)力并不是單調(diào)遞增，而是呈拋物線(xiàn)分布，在近齒頂處齒根彎曲應(yīng)力出現(xiàn)峰值；

3) 以當(dāng)量應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的差值作為分析對(duì)象，可以發(fā)現(xiàn)隨著嚙合域從齒頂?shù)烬X根變化，其差值越來(lái)越大，這是彎曲應(yīng)力逐漸變小的結(jié)果；

4) 以彎曲應(yīng)力較大點(diǎn)的覆蓋范圍作為分析對(duì)象，可以發(fā)現(xiàn)隨著嚙合區(qū)域從齒頂?shù)烬X根逐漸變化，覆蓋區(qū)域逐漸變小，于此同時(shí)該區(qū)域隨齒嚙合域方向呈非對(duì)稱(chēng)分布。

[1] 胡仁喜.ANSYS 8.2機(jī)械設(shè)計(jì)高級(jí)應(yīng)用實(shí)例[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[2] 李特文.齒輪嚙合原理[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1984.

[3] 方宗德.齒輪承載接觸分析的模型和方法[J].機(jī)械傳動(dòng)，1998(2)：1-3.

Bending Stress Analysis of Cylindrical Gear Based on Hertz′s Contact Theory

WANGHong-xiang,XIONGLin-gen

(No.21 Research Institute of CETC,Shanghai 200233,China)

The contact regions and the contact force distribution of the pinion were calculated based on the theory of point contact Hertz. The solid model of the pinion was built using Pro/E, the contact regions was simulated based on Hertz theory and the distribution of bending stress was calculated using ANSYS.

contact characteristic； finite element analysis； cylindrical gear； bending stress

2015-12-20

TH132.41

A

1004-7018(2016)06-0041-03