李浩然，陳卯蒸，裴鑫

(1.中國科學(xué)院新疆天文臺，新疆烏魯木齊830011；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

隨著國內(nèi)鄉(xiāng)村城鎮(zhèn)的擴張以及人口流動影響，原本臺址環(huán)境良好的望遠鏡也遭受著無線電干擾．目前，射頻干擾(RFI)已經(jīng)成為射電天文觀測的主要問題．我們應(yīng)當采取相應(yīng)措施來解決射頻干擾問題，消除射頻干擾的主要手段包括：調(diào)整觀測時間，避開射頻干擾高峰時期射電干擾屏蔽，停止周邊周期性輻射爆發(fā)的儀器接收機數(shù)字終端濾波．前兩種手段只能被動地規(guī)避干擾影響，不僅降低了觀測的效率，無形中也增加了運行成本．然而，數(shù)字終端濾波手段得利于處理速度快、動態(tài)范圍高、處理噪聲能力強等優(yōu)點，逐漸成為抑制射頻干擾的主要手段．

目前，射電天文領(lǐng)域采取的數(shù)字濾波技術(shù)以LMS算法為主.美國國家射電天文臺綠岸望遠鏡采用的LMS算法[1]，雖然有效地抑制了干擾，可是由于LMS算法的局限性，不能達到較高的計算精度與收斂速度．荷蘭韋斯特伯格綜合孔徑望遠鏡采用了改進LMS算法[2]，在系數(shù)更新機制方面進行了創(chuàng)新，采用2個小天線輸入信號的均值作為參考輸入，但是由于干擾噪聲的寬頻帶，導(dǎo)致濾波器效果不穩(wěn)定．澳大利亞國家天文臺帕克斯望遠鏡采用NLMS算法[3]，雖然改善了濾波效果，但是因為選用了固定的步長，導(dǎo)致運算復(fù)雜度增加、跟蹤性能變差．

本文針對L波段脈沖星信號的特點，結(jié)合小波濾波與自適應(yīng)濾波的優(yōu)點，提出了一種基于小波變換的改進LMS算法，用于射電天文數(shù)字終端去除噪聲．

1 小波分解

1.1 小波分解原理

1988年Mallat把計算機視覺領(lǐng)域內(nèi)的多分辨率分析方法與小波分析方法結(jié)合，提出了小波分解的快速算法—Mallat塔式算法．該算法是一種多尺度分析算法．隨著尺度從大到小的變換，在不同的尺度上可以從粗到細觀察出信號的不同特征．在大尺度時，可以觀察出信號的包絡(luò)；在小尺度時，可以觀察出信號的細節(jié)．

多尺度分析算法是將原信號S在2個正交子空間進行逐級分解，每次輸入都將分解成高頻細節(jié)分量和低頻近似分量，輸出采樣頻率減半，解釋該過程的方程式為

其中,cj是第j級的近似分量，dj是第j級的細節(jié)分量．

假設(shè)原始信號的頻率范圍是[0～fs],每進行一次分解，相當于近似分量分別經(jīng)過一次低通濾波器和一次高通濾波器．那么，第一次分解得到的結(jié)果：近似分量c1的頻率范圍為[0～fs/2]、細節(jié)分量d1的頻率范圍為[fs/2～fs]．第二次分解是針對第一次輸出的近似分量進行分解，其結(jié)果為：近似分量c2的頻率范圍為[0～fs/4]、細節(jié)分量dj的頻率范圍為[fs/2j～fa/2j?1]．

所以，數(shù)字信號的二進制小波變換相當于經(jīng)過一組數(shù)字帶通濾波器，第j級的細節(jié)分量相當于帶通濾波器的頻帶范圍是[fs/2j～fa/2j?1]．當然，選用不同的小波基，會導(dǎo)致頻率響應(yīng)不同．

1.2 小波基函數(shù)和階數(shù)的選定

由于脈沖星信號具有短而穩(wěn)定的脈沖周期的特點，所以選擇小波基函數(shù)時，選用可以進行連續(xù)小波變換的小波基；在脈沖星觀測時，經(jīng)常出現(xiàn)窄帶噪聲干擾，在進行終端濾波時，應(yīng)當檢測并消除奇異點，所以應(yīng)當選用具有正交性的小波基；在脈沖星觀測時，應(yīng)當注意到噪聲干擾呈現(xiàn)頻段范圍寬、幅值變化大的特點，不利于自適應(yīng)濾波器系數(shù)的收斂，應(yīng)當選用具有時域緊支性的小波基函數(shù)．所以，我們選擇Daubechies(簡稱db小波)作為小波基函數(shù)．它具有較強的分頻能力，小波的階數(shù)越高，分頻能力越強，但是對應(yīng)的計算也越復(fù)雜．針對實測脈沖星信號，選用不同的階數(shù)進行測試，根據(jù)信號和噪聲的小波系數(shù)在不同尺度上的差異性，來判斷適合脈沖星信號小波分解的階數(shù)．

我們使用觀測到的J1141-6545脈沖星信號，選用db小波基函數(shù)，在1～5階尺度上進行分解，分解圖如圖1所示．其中，e是脈沖星信號，di是第i階的低頻近似分量，ai是第i階的高頻細節(jié)分量．由分解圖可知，d5相對于d4變化沒有之前2次分解那么明顯，a5相對于a4更平滑，會導(dǎo)致自適應(yīng)濾波之后信號失真程度偏大，故最適合脈沖星信號db小波分解的階數(shù)為4階．

2 基于小波變換的自適應(yīng)濾波器

2.1 小波自適應(yīng)濾波器

按照Mallat算法將脈沖信號x(n)分解之后，依據(jù)經(jīng)驗區(qū)分信號與噪聲．目前去噪的方法主要有：利用小波變換模極大值原理去噪、利用小波閾值去噪、利用小波系數(shù)相關(guān)性去噪．當信號與噪聲有重疊頻譜時，這些方法雖然能實現(xiàn)信噪分離，提高信噪比，但并不能實現(xiàn)噪聲信號的最佳估計．因此，難以實現(xiàn)最佳濾波．但小波變換所分離的噪聲信號一定與原噪聲成分相關(guān)，這為實現(xiàn)自適應(yīng)濾波提供了可能，其自適應(yīng)模型如下所述．

圖1 脈沖星信號使用db小波基函數(shù)的5階小波分解圖

假設(shè)輸入的脈沖星信號x(n)=s(n)+n(n)，其中s(n)是有用信號，n(n)是噪聲信號，如圖2所示．脈沖星信號x(n)經(jīng)過基于4階db小波基函數(shù)的小波分解，得到4個通道的噪聲分量d1～d4，將4個噪聲分量依次延遲1個單位，分別作為自適應(yīng)濾波器的抽頭輸入，與經(jīng)過多次迭代的最優(yōu)權(quán)值系數(shù)w相乘累加之后的結(jié)果為提取出來的噪聲信號e(n)，讓脈沖信號x(n)與e(n)相減，得到去噪的信號y(n)．

對應(yīng)的計算公式，如下：

圖2 基于小波變換的自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)框圖

其中，x(n)經(jīng)過小波分解后的4階噪聲分量構(gòu)成噪聲信號集S=[s1,s2,s3,s4]，經(jīng)過依次延遲后作為公式（3）的輸入信號集．

公式（3）中si(n)是參考信號，e(n)是經(jīng)過改進算法處理后的參考信號，wi(n)由權(quán)值更新機制決定的一次自適應(yīng)系數(shù)．每進行一次計算，參考信號與系數(shù)相乘得到新的e(n)值．經(jīng)過多次循環(huán)計算之后，當e(n)與脈沖星信號x(n)中的干擾噪聲信號相等時，將會得到?jīng)]有受干擾噪聲影響的脈沖星信號，同時得到維納-辛欽方程的最優(yōu)解．

公式（4）中，x(n)是脈沖星信號，y(n)是反饋的誤差信號．在每一次循環(huán)計算中，脈沖星信號與e(n)相減，得到的反饋誤差重新進入到權(quán)值更新機制里，代入到下一輪的權(quán)值更新．

公式（5）中，w(n+1)是更新后的權(quán)值系數(shù)，w(n+1)是舊的權(quán)值系數(shù)．誤差信號與參考信號做一次計算，得到權(quán)值系數(shù)的變化值w(n)．

2.2 改進的權(quán)系數(shù)更新機制

文獻[6]采用的是傳統(tǒng)LMS自適應(yīng)算法，使用最速下降算法作為權(quán)系數(shù)更新方式，其核心思想是用平方誤差來替代均方誤差．該方法是沿最速下降方向(負梯度方向)連續(xù)調(diào)整權(quán)向量w，其公式如下：

文獻[7]采用的是Widrow-Hoff LMS自適應(yīng)算法,采用隨機梯度法來求解最佳權(quán)系數(shù)，該算法用瞬時“?2y(k)?x(k)”來替代“?2E[e(n)?x(n)]”的估計運算．其權(quán)值更新表達式為：

由于LMS算法使用上一個時刻的抽頭參量作為該時刻的均方誤差最小的依據(jù)，而沒有使用本時刻的抽頭參量對過往的數(shù)據(jù)塊做重新估計后的累積平方誤差最小作為依據(jù)，導(dǎo)致LMS算法對非平穩(wěn)信號的適應(yīng)性差．

針對脈沖星信號的非平穩(wěn)性，改進算法用反饋誤差在本時刻之前(包括本時刻)的算數(shù)平均值作為本時刻反饋系數(shù)代入到權(quán)值更新機制內(nèi)，即用反饋系數(shù)的均值代替T時刻的反饋系數(shù)YT，這使得每個時刻對所有已輸入信號重估的平方誤差的加權(quán)和最?。?/p>

由于參考信號具有噪聲相關(guān)而與信號無關(guān)的特性，所以我們采用相關(guān)算法，對脈沖星信號中的噪聲干擾進行消除．

這種算法可以更全面地消除脈沖星信號中的干擾噪聲，因為相關(guān)算法相對最速下降算法在分析信號的邊緣方面具有優(yōu)勢，在信號與噪聲重疊程度較大的條件下，能最大程度地完成信噪分離和提高信噪比．

2.3 改進的步長算法

自適應(yīng)濾波算法有3個重要指標：計算量、收斂速度及穩(wěn)態(tài)失調(diào)．可以通過減少固定步長μ來減少自適應(yīng)濾波算法的穩(wěn)態(tài)失調(diào),提高算法的收斂精度，但是會導(dǎo)致算法的收斂速度和跟蹤能力的下降．

文獻[8]利用小波的分頻特性，先將信號分解到不同的頻段上，然后對各個頻段信號使用固定步長的自適應(yīng)濾波，其針對單一頻率的干擾，采取大量仿真的方法得到最優(yōu)的參數(shù)．

在進行相對簡單的信號去噪時,使用固定步長就已足夠．但是針對脈沖星信號進行噪聲干擾去除的時候，固定步長不能達到較好的濾波效果,需采用變步長的策略．

常用的變步長算法是Sigmod函數(shù)變步長最小均方算法．該算法針對具體的含噪信號,通過選擇合適的隸屬度函數(shù),從而推導(dǎo)出步長因子μ和反饋誤差e(n)之間的非線性函數(shù)關(guān)系,以任意精度逼近μ與e(n)的連續(xù)函數(shù)．Sigmod函數(shù)方程式：

其中，γ調(diào)節(jié)μ的最大值，α調(diào)節(jié)曲線的傾斜度，β調(diào)節(jié)μ的最小值．

μ(n)與e(n)的關(guān)系曲線，如圖3.

圖3 步長u(n)與反饋誤差e(n)之間的Sigmod函數(shù)關(guān)系

在固定步長中，使得LMS算法收斂的條件是0<μ<γmax,γmax是脈沖星信號自相關(guān)矩陣的最大特征值，所以在改進算法中，γ<1<γmax可以保證算法一定收斂，即取0.2.在γ選定的情況下，將1線與2線進行對比，1線的最小值明顯大于0．不滿足誤差e(n)為0時，步長μ(n)也為0的條件．所以，影響最小值的因子β=100較為合適．

在γ與β選定的情況下，將2線、3線、4線同時進行對比．為了保證在初始階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，步長應(yīng)該較大，以便有較快的收斂速度和對時變系統(tǒng)的跟蹤速度．2線的初始步長0.2優(yōu)于3線的初始步長0.12.而在算法收斂后，不管主輸入端干擾信號多大，都應(yīng)保持很小的調(diào)整步長以達到很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲．2線相對于4線更能滿足這樣的變化要求，并且在整體的變化趨勢中，2線在收斂中期較大的收斂傾斜度，也使其收斂速度優(yōu)于3線．經(jīng)過多次試驗，我們選定γ=0.2β=100α=10作為Sigmod函數(shù)的參數(shù)值．

針對這類脈沖星信號選用的Sigmod函數(shù)是：

3 改進算法的性能分析

我們采用觀測基地的脈沖星觀測數(shù)據(jù)作為輸入信號．選用的脈沖星為J1141-6545．該信號是時域信號，縱坐標表示的是流量，范圍在0Jy～0.01Jy之間，橫坐標表示的是相位，范圍在0～1之間，擁有1 000個采樣點．原始信號具有較厚的噪底，從圖中能辨別出1個波峰．噪聲和干擾在信號的兩側(cè)分布．

我們采用1個實驗組和2個對比組的實驗方法來分析小波自適應(yīng)濾波器的性能特點．圖4中的第2幅圖，采用固定步長的LMS算法對脈沖星信號進行處理，步長選定為0.2,抽頭階數(shù)選定為4階．圖4中的第3幅圖，利用小波的能量集中特性，采用閾值濾波算法對脈沖星信號進行處理．圖4中的第4幅圖，采用本文改進的小波自適應(yīng)濾波算法進行處理．

圖4 脈沖星信號經(jīng)過3種算法濾波處理之后的結(jié)果

圖5 天體測量信號經(jīng)過3種算法濾波處理之后的結(jié)果

由圖中可以看出，改進算法相對于小波濾波和自適應(yīng)濾波，達到更好的濾除效果．自適應(yīng)濾波因為采用了本時刻反饋誤差，沒有考慮到之前時刻的累積誤差影響，導(dǎo)致整個波形都成鋸齒形，影響了信號質(zhì)量．而采用改進權(quán)值更新機制的小波自適應(yīng)算法很好地克服了這一缺點．小波濾波相對于自適應(yīng)濾波，濾波效果更好，但是其濾波效果沒有小波自適應(yīng)算法好，仍然有少量的噪聲殘留．改進的小波自適應(yīng)算法集成了前兩種算法的優(yōu)點，是三種算法中濾波效果最好的．算法的效果對比如表1.

為了驗證算法的普適性，我們采用南山觀測基地的天體測量信號．信號是時域信號，縱坐標是功率，其范圍是164 000μW～166 500μW；橫坐標是采樣點數(shù)，擁有1 024個采樣點．從圖中大致可以分辨出3個波峰，剩余的波峰可能存在于干擾噪聲中．

經(jīng)過本文改進算法處理的信號，去除的噪聲足夠多，能夠清晰分辨出第4個脈沖信號．相應(yīng)的算法效果對比見表2.

表1 3種算法的濾波效果對比

表2 3種算法的濾波效果對比

圖6 雙脈沖星信號經(jīng)過3種算法濾波處理之后的結(jié)果

我們發(fā)現(xiàn)在使用其他類型的脈沖信號時，改進的小波自適應(yīng)算法相對于前兩種算法依然保持著優(yōu)勢．

為了進一步驗證該算法對脈沖星觀測信號質(zhì)量的提高．我們采用Parkes的雙脈沖星信號進行驗證．采用的射電源是J0737-3039A．

經(jīng)過改進算法處理的雙脈沖星信號，脈沖信號輪廓已經(jīng)可以辨識出來，有助于科學(xué)家們進一步分析脈沖星的特性．

4 結(jié)論

本文以新疆天文臺南山25m天線系統(tǒng)改造計劃為研究背景，以數(shù)字終端噪聲干擾消除作為目標，分析比較了多種噪聲干擾消除算法的優(yōu)缺點，提出了改進的小波自適應(yīng)算法進行濾波處理，得到理想的濾波效果．下一步，會把溫度、濕度、風(fēng)速等影響因子考慮進去，解決由這些因素造成的信號形變．為獲取更優(yōu)質(zhì)的脈沖星觀測信號做進一步的研究．