沈靖云,聶麟飛

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊830046)

0 引言

近年來,傳染病動力學(xué)行為的研究在預(yù)防和控制疾病的傳播方面得到了長足地發(fā)展,尤其是微分方程形式描述的數(shù)學(xué)模型吸引了很多學(xué)者的關(guān)注,研究包括解的非負(fù)性、有界性、模型的基本再生數(shù)或疾病的滅絕性和持久性的閾值條件等等.文獻(xiàn)[1]討論了一類傳染病模型基本再生數(shù)R0的計算公式,即R0<1疾病是滅絕的;而當(dāng)R0>1時,疾病是流行的.Liu等[2]討論了一類具有年齡結(jié)構(gòu)的SEIR傳染病模型,得到解的非負(fù)性與有界性,以及疾病的持久性與滅絕性.眾所周知,在傳染病的預(yù)防和控制中,接種疫苗被廣泛地視為一種行之有效的控制手段.在傳染病的建模過程中,接種疫苗通常有兩種方式:連續(xù)接種和脈沖接種.對于麻疹、病毒性肝炎、脊髓灰質(zhì)炎等人類長期面對的傳染病,常采用連續(xù)接種策略,而對于突發(fā)性傳染病,如重癥急性呼吸綜合征(SARS)、人感染高致病性禽流感、流行性感冒等,則通常采用脈沖免疫接種策略.在疾病的預(yù)防和控制過程中,具有固定時刻接種疫苗策略不同于連續(xù)接種疫苗的策略,事實(shí)證明固定時刻接種疫苗策略能更好地幫助疾病的控制.Shulgin等[3]提出了具有固定時刻脈沖接種疫苗策略的SIRS傳染病,研究模型疾病消除周期解和地方病周期解的存在性與穩(wěn)定性,討論了脈沖免疫控制策略對疾病的消除和持久性的影響.

然而,在很多實(shí)際的控制問題中,脈沖控制的發(fā)生不依賴于時間,而是依賴于系統(tǒng)所在的狀態(tài).例如,對于控制某些特定的疾病(霍亂、艾滋病毒、肝炎等),固定時刻免疫接種并不是一種行之有效地手段.長期來看,我們只可能將這些疾病的染病者數(shù)量控制在一個很低的范圍,而不可能將其短時間內(nèi)消除.因此,基于這一想法,文獻(xiàn)[4,5]首次提出了具有狀態(tài)依賴脈沖控制的SIR傳染病模型,通過Poincar′e映射、定性分析、擬Poincar′e準(zhǔn)則等方法,得到了模型正周期解存在性和穩(wěn)定性的充分條件,討論了狀態(tài)依賴脈沖接種和治療對疾病的消除和流行的影響.此外,我們也注意到由于狀態(tài)依賴脈沖控制策略的經(jīng)濟(jì),高效和可操作性而被廣泛的應(yīng)用在種群的收獲與控制[6]等眾多實(shí)際問題中.理論和事實(shí)證明,依賴于狀態(tài)脈沖控制策略比固定時刻控制策略更高效也更合理.

基于上述討論,本文提出了一類具有狀態(tài)依賴脈沖控制策略的SIVS傳染病動力學(xué)模型,研究了狀態(tài)依賴脈沖控制對疾病消除和控制的影響.

1 預(yù)備知識

文獻(xiàn)[7]提出了一類具有固定時刻脈沖接種疫苗的自制SIVS傳染病模型,該模型將某個地區(qū)的人群分為三類:易感者(S),染病者(I)和接種者(V).若基本再生數(shù)R0=β/(μ+c)<1,則該模型有一個全局漸近穩(wěn)定的無病平衡點(diǎn)E0(1,0,0);而當(dāng)R0>1時,該模型的無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的,有唯一的全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)E?(S?,I?,V?),其中

考慮到患病者是傳染性疾病傳播的根源,因此為了預(yù)防和控制某些長期流行的傳染性疾病,疾病預(yù)防和控制部門需將染病者的數(shù)量保持在某個閾值之下,從而控制了疾病的進(jìn)一步蔓延.基于上述想法,我們將染病的數(shù)量作為監(jiān)測閾值,當(dāng)染病者的數(shù)量高于某個危害閾值時,對易感者進(jìn)行接種疫苗,減少易感者的數(shù)量,進(jìn)而阻止疾病的蔓延.即,當(dāng)染病者的數(shù)量在時間ti(IH)達(dá)到危險閾值IH且接種者的數(shù)量較少時,對易感者進(jìn)行疫苗接種使得易感者的數(shù)量變成(1?ω)S((IH)),而接種者數(shù)量變成V((IH))+ωS((IH)).這里0

其中VM=(1/(1?σ))(1?IH?(μ+c)/β),本文我們始終假設(shè)β>μ+c.即,沒有脈沖控制時,模型(2)有唯一的全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)E?(S?,I?,V?).根據(jù)模型(2)生物背景,我們僅在區(qū)域={(x,y,z):x≥0,y≥0,z≥0}上考慮模型(2)的動力學(xué)行為.由模型(2)右端函數(shù)的性質(zhì)可知,在上模型(2)的解存在且唯一,更多詳細(xì)內(nèi)容見文獻(xiàn)[9].

首先,關(guān)于模型(2)解的非負(fù)性,下面結(jié)論顯然成立.

引理1 設(shè)(S(t),I(t),V(t))是模型(2)滿足初始條件S(t0)≥0,I(t0)≥0,V(t0)≥0的解,則S(t)≥0,I(t)≥0,V(t)≥0,t≥t0.

令R=(?∞,+∞),R+=[0,+∞),:={(V,I):V∈R+,I∈R+}.接下來,我們考慮一般的狀態(tài)依賴脈沖微分方程

其中f(V,I)和g(V,I)都是定義在R2上連續(xù)可微的函數(shù).函數(shù)?(V,I)滿足?(V,I)=0且充分光滑.為了下文陳述的需要,我們介紹下面兩個定義.

設(shè)S?R2是一個任意的非空集合,P0∈R2是任意一個點(diǎn).點(diǎn)P0到集合S之間的距離定義為:d(P0,S)=infP∈S|P?P0|.令X(t)=(V(t),I(t))是模型(3)滿足初始條件(t0,X0)∈R×R2的解,過點(diǎn)X0=(V0,I0)的正軌線定義為

定義1 (軌道穩(wěn)定性[9]).模型(3)的解軌線O+(X0,t0)稱為軌道穩(wěn)定的,如果對于任意的ε>0,都存在著一個常數(shù)δ=δ(ε)>0,使得對于模型(3)的任何其他的解X?(t),對于所有的t>t0,當(dāng)d(X?(t0),O+(z0,t0))<δ時,均有d(X?(t),O+(z0,t0))<ε.

定義2 (軌道漸近穩(wěn)定性[9]).模型(3)的解軌線O+(X0,t0)稱為軌道漸近穩(wěn)定的,如果O+(X0,t0)是軌道穩(wěn)定的,并且對于模型(3)任何其他的解X?(t),都存在常數(shù)η>0,當(dāng)d(X?(t0),O+(X0,t0))<η時,均有l(wèi)imt→∞d(X?(t),O+(X0,t0))=0.

2 主要結(jié)論

由于在模型(2)中總?cè)丝跀?shù)保持恒定(不失一般性,假設(shè)總?cè)丝跀?shù)為1),因此該控制模型等價于下面的簡化模型.

為了討論模型(4)的動力學(xué)行為,我們定義兩個截面

對于Σ1∪Σ2上的任意兩個點(diǎn)P1(v1,IH)和P2(v2,IH),我們定義P1P2當(dāng)且僅當(dāng)v1≤v2;P1?P2當(dāng)且僅當(dāng)v1

顯然,水平等傾線dI/dt=0將區(qū)域劃分成如下兩個區(qū)域,由模型(4)相空間的幾何性質(zhì)可知,在沒有脈沖控制時,模型(4)從?I區(qū)域出發(fā)的任意軌線都將進(jìn)入到?II區(qū)域,并且最終趨向平衡點(diǎn)(0,I?)或者直接趨向平衡點(diǎn)(0,I?),這正如圖1(a)所示.因此,如果IH

首先,當(dāng)σ∈(0,1?I?)時,關(guān)于模型(4)周期解的存在性和穩(wěn)定性,我們有下面的定理1.

定理1 如果σ∈(0,1?I?)且ω(1?IH)>VM成立,則模型(4)存在軌道漸近穩(wěn)定的正階-1或階-2周期解.進(jìn)一步,模型(4)不存在正階-k(k≥3)周期解.

證明 由于0<σ≤1?I?,則水平等傾線dI(t)/dt=0完全位于I+V≤1之內(nèi),其中(V,I)∈.即,在第一象限之內(nèi),水平等傾線與直線V+I=1沒有交點(diǎn).

任取Σ2上的一點(diǎn)B0(),由模型(4)相空間的幾何性質(zhì)可知,從初始點(diǎn)B0∈?I出發(fā)的解軌線將進(jìn)入?II區(qū)域之內(nèi),并且與截面Σ1相交于一點(diǎn)B1(v1,IH).由于受到脈沖的影響,軌線O+(B0,t0)跳躍到截面Σ2,并交截面Σ2于點(diǎn)().因?yàn)棣?1?IH)>VM,所以B1.重復(fù)上述過程,我們可以得到兩個點(diǎn)列{Bn(vn,IH)}和()},n=0,1,2,···.關(guān)于點(diǎn)B0和點(diǎn)的位置關(guān)系,我們有下面三種情況：

情況1:B0=B1.模型(4)存在著一個正階-1周期解.

情況2:0.如果0,那么.進(jìn)一步,B1?B2,即v1

(i)=B0.我們有=,則模型(4)存在一個正階-2周期解.

(ii)0.如果0,那么.因此,,和的位置關(guān)系為0.由模型(4)解的唯一性有B1?B3?B2.進(jìn)一步,由模型(4)的第三個方程和v1

即

因此,由單調(diào)有界數(shù)列必有極限可知.模型(4)存在一個軌道漸近穩(wěn)定的正階-1周期解.

(iii).B0.如果B0,則有B3?B1.進(jìn)一步,我們有和B2?B4.重復(fù)上述過程,我們可以得到

即

從上述討論可知,模型(4)存在軌道漸近穩(wěn)定的正階-2周期解.

情況3:B0.類似于情況2的討論,模型(4)存在軌道漸近穩(wěn)定的正階-1或階-2周期解.

綜上所述,當(dāng)σ∈(0,1?I?)且ω(1?IH)>VM成立時,模型(4)存在軌道漸近穩(wěn)定的正階-1或階-2周期解,且模型(4)不存在正階-k(k≥3)周期解.

下面,我們討論σ∈(1?I?,1]時的情形.在這種情形下,水平等傾線I(t)=0和直線V+I=1相交于第一象限內(nèi)的某一點(diǎn),則該交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為Ih=1?(μ+c)/σβ.關(guān)于模型(4)正周期解的存在性與穩(wěn)定性,我們有下面的結(jié)論.

定理2 對于任意的σ∈(1?I?,1],如果ω(1?IH)>VM且Ih

由于定理2的證明與定理1類似，故這里省略.

3 數(shù)值模擬和討論

本文我們提出了一類具有狀態(tài)依賴脈沖免疫控制策略的SIVS傳染病動力學(xué)模型.通過運(yùn)用常微分方程定性理論、Poincar′e映射、微分不等式等方法,建立了模型(4)正階-1或階-2周期解存在性和軌道漸近穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則.下面我們將通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性和狀態(tài)依賴脈沖控制策略的可行性.在模型(4)中，固定參數(shù)σ=0.25,β=0.6,μ=0.1,c=0.2,ω=0.75,θ=0.2和IH=0.4.容易計算R0=β/(μ+c)>1,ω(1?IH)>VM和σ∈(0,1?I?].因此,在沒有脈沖作用時,模型(4)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)(0,I?)=(0,0.5),且是全局漸近穩(wěn)定的,這正如圖1(a)中綠線所示.由于脈沖控制的影響,模型(4)存在一個從(V(0),I(0))=(0.4,0.35)出發(fā)的正階-1周期解(V?(t),I?(t)),正如圖1(a)中藍(lán)線所示.進(jìn)一步,圖1(b)表明該周期解是軌道漸近穩(wěn)定的.這表明數(shù)值模擬的結(jié)果和定理1的理論結(jié)果完全一致.

在沒有脈沖控制時,模型(4)中免疫接種者的數(shù)量呈指數(shù)形式減少,進(jìn)一步,正如圖2(a)中紅色線所示.由于脈沖控制策略影響,模型(4)中免疫接種者的數(shù)量會呈現(xiàn)周期性的變化,正如圖2(a)中藍(lán)色線所示.此外,圖2(b)中紅色線所示在沒有脈沖控制作用時,模型(4)中染病者的數(shù)量在一定的時間內(nèi)會趨向平衡狀態(tài)0.5處.但是,在脈沖控制下,模型(4)中染病者的數(shù)量會呈現(xiàn)周期變化的趨勢,并保持在一個較低的范圍之內(nèi),正如圖2(a)中藍(lán)色線所示.理論結(jié)果和數(shù)值模擬顯示,在狀態(tài)脈沖控制策略下,我們可以將染病者的數(shù)量作為監(jiān)測閾值,通過對易感者進(jìn)行免疫接種,就可將染病者的數(shù)量保持在一個較低的水平,從而控制了疾病的蔓延.

圖1 模型(4)正階-1周期解的存在性與軌道漸近穩(wěn)定性,控制參數(shù)σ=0.25,β=0.6,μ=0.1,c=0.2,ω=0.75,θ=0.2和IH=0.4<0.5

圖2 模型(4)的時間序列圖,控制參數(shù)σ=0.25,β=0.6,μ=0.1,c=0.2,ω=0.75,θ=0.2,IH=0.4<0.5和V0=0.4,I0=0.32