鄭鐵軍

（中鋼設(shè)備有限公司，北京100080）

基于算子表達(dá)的柔性機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模研究

鄭鐵軍

（中鋼設(shè)備有限公司，北京100080）

柔性機(jī)器人反向動(dòng)力學(xué)是已知機(jī)器人末端廣義線速度、廣義角速度、廣義加速度以及每個(gè)鉸鏈和操作臂的廣義質(zhì)量后，求解各鉸鏈的廣義力。以柔性機(jī)器人為研究對(duì)象，應(yīng)用空間算子建立了一套新的關(guān)于鏈?zhǔn)介_(kāi)環(huán)柔性多體系統(tǒng)反向動(dòng)力學(xué)的空間遞推算法。這個(gè)算法同樣適用于剛體機(jī)器人系統(tǒng)的反向動(dòng)力學(xué)分析。經(jīng)過(guò)對(duì)兩連桿柔性機(jī)器人計(jì)算和仿真驗(yàn)證表明，與傳統(tǒng)的分析鏈?zhǔn)饺嵝远囿w系統(tǒng)反向動(dòng)力學(xué)的O（N3）階算法相比，本算法是高效O（N）階的，并具有可編程性高，應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)。

柔性機(jī)器人；反向動(dòng)力學(xué)；遞推；算子表達(dá)

隨著科技的進(jìn)步，對(duì)柔性機(jī)器人的研究越來(lái)越廣泛[1-2]。柔性機(jī)器人的建模方法主要有以牛頓-歐拉方法為代表的矢量力學(xué)方法，以拉格朗日力學(xué)為代表的分析力學(xué)方法以及兼顧矢量力學(xué)和分析力學(xué)優(yōu)點(diǎn)的凱恩方法[3]。研究O（n）次算法已經(jīng)成為柔性機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域中的重要內(nèi)容[4]。本文以為柔性多體系統(tǒng)建立高效率模型為目的，以典型的柔性機(jī)器人為例，利用空間算子描述了鏈?zhǔn)饺嵝詸C(jī)器人的動(dòng)力學(xué)，并且建立了一套高效率鏈?zhǔn)饺嵝远囿w系統(tǒng)的O（n）次遞推算法。與傳統(tǒng)的算法比較，該算法具有計(jì)算效率高，應(yīng)用廣泛等特點(diǎn)。

1 柔性機(jī)器人系統(tǒng)建模及算子表達(dá)

1.1 坐標(biāo)系建立

本文研究的對(duì)象是具有由n個(gè)鉸鏈將n個(gè)柔性機(jī)械臂連接成的柔性機(jī)器人系統(tǒng)，如圖1所示。鉸鏈和操作臂的序號(hào)是從系統(tǒng)的頂端向基座增加。k號(hào)鉸鏈?zhǔn)翘?hào)機(jī)械臂與k+1號(hào)機(jī)械臂的連接鉸鏈。k號(hào)柔性體有限元模型包括一個(gè)質(zhì)量矩陣Mk和一個(gè)剛度矩陣Kk，它們由對(duì)假定獨(dú)立的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析得到。假定本系統(tǒng)中的鉸鏈?zhǔn)侵挥幸粋€(gè)自由度，即可繞關(guān)節(jié)軸線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。

圖1 柔性機(jī)器人模型示意圖

1.2 柔性機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推

柔性機(jī)器人系統(tǒng)速度矢量V+（k）可以按照下式進(jìn)行遞推：

其中：V+（N+1）=0表示鉸鏈靠近基體方向的N+1速度；定義vk+1（1）是相對(duì)速度矢量vk+1的第一個(gè)6自由度的元素；定義6×6 N矩陣CT（k+1，k）＝[φT（1，k），…，0].對(duì)這個(gè)方程的向外積分可得：

上式表示k鉸鏈靠近基體一側(cè)的速度。

k操作臂的模態(tài)空間速度Vm（k）∈RNˉ（k）為：

其中，Vm（k）為k體的模態(tài)速度；V（k）為k體的廣義速度；η（k）表示k體的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量；χ（k）表示k體（以及鉸鏈k）的廣義速度向量。

2 反向動(dòng)力學(xué)算法

本部分研究了基于算子表達(dá)的反向動(dòng)力學(xué)遞推算法，即給定一系列系統(tǒng)狀態(tài)線速度、角速度以及廣義加速度，計(jì)算系統(tǒng)廣義力，相關(guān)算子參考文獻(xiàn)[4]?；谒阕颖磉_(dá)的反向動(dòng)力學(xué)遞推算法表達(dá)為：

利用算子Φ（k，k-1）和K（k），上述遞推公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。利用塊劃分和標(biāo)入上標(biāo)f和r表示柔性元素和剛性元素。

則上述遞推算法可以簡(jiǎn)化為如下形式：

上述即為基于算子表達(dá)的柔性機(jī)器人反向動(dòng)力學(xué)遞推快速算法，可以有效地進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)的遞推，計(jì)算效率大大提高。

3 算例

為了驗(yàn)證上述算法的效率和精度，作者在Mathematica中編寫了相應(yīng)的算子表達(dá)程序。并且通過(guò)在ADAMS中以五連桿柔性機(jī)器人為例進(jìn)行了仿真，與本算子表達(dá)計(jì)算柔性機(jī)器人反向動(dòng)力學(xué)進(jìn)行比較，比較柔性多體系統(tǒng)仿真程序的計(jì)算精度和計(jì)算效率。其中柔性機(jī)器人中各參數(shù)定義如表1所列。

表1 柔性機(jī)器人中各參數(shù)

SOA仿真分析與ADAMS的相應(yīng)結(jié)果計(jì)算精度的比較，如圖2所示的為柔性機(jī)器人第一個(gè)關(guān)節(jié)速度曲線。從上述比較可以看出，本算法的計(jì)算精度與ADAMS比較接近。另外各個(gè)關(guān)節(jié)的速度和加速度兩者基本相同，本文沒(méi)有給出。仿真結(jié)果表明本遞推算法與ADAMS計(jì)算精度相近，但由圖3計(jì)算效率比較可知本算法的計(jì)算效率大大地提高，大約提高7~8倍。

圖2 SO A仿真結(jié)果與ADAMS相應(yīng)結(jié)果的比較圖

圖3 算子表達(dá)與ADAMS消耗時(shí)間比較

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于空間算子建立了柔性機(jī)器人反向遞推動(dòng)力學(xué)模型，并且可以推廣到鏈?zhǔn)饺嵝远囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模應(yīng)用中，并且柔性多體系統(tǒng)的自由度數(shù)越高，該算法的計(jì)算效率就會(huì)越明顯。

[1]B.Zi，J.Lin，S.Qian，Localization，obstacle avoidance planning and control of a cooperative cable parallel robot for multiple mobile cranes，Robot[J].Comput.-Integr.Manuf. 2015，34（0）：105-123.

[2]K.Kaltsoukalas，S.Makris，G.Chryssolouris，on generating themotion of industrial robotmanipulators，Robot[J].Comput-Integr.Manuf，2015，（32）：65-71.

[3]T.Martinec，J.Mlynek，M.Petru，Calculation of the robot trajectory for the optimum directional orientation of fibre place ment in themanufacture of composite profile frames，Robot[J]. Comput.-Integr.Manuf，2015，35（1）：42-54.

[4]Jain A，Rodriguez G．A spatial operator algebra for compu tationmultibody dynamics[M]．Italy：International Conference on Scientific Com putation and Differential Equations，Grado．1997.

The Recursive Inverse Dynamic of Flexible Robots Use Operator Description

ZHENG Tie-jun
（Sinosteel Equipment & Engineering Co.，Ltd.，Beijing 100080，China）

The inverse dynamics of the flexible robot is known as the generalized linear velocity，the generalized angular velocity，the generalized acceleration，and the generalized mass of each hinge and manipulator.In order to study the flexible robot，a new spatial recursive algorithm for the inverse dynamics of chain open loop flexible multibody system is established.This algorithm is also applicable to the inverse dynamic analysis of rigid body robot system.Through the calculation of two link flexible robot and the simulation shows that，with the inverse dynamics of flexible multibody systems analysis of chain of traditional O（N3）order algorithm,this algorithm is efficient O（N）order，and has the characteristics of high programmability，wide application etc..

operators；flexible robots；inverse dynamic；recursive

TP242

A

1672-545X（2016）09-0043-03

2016-06-17

鄭鐵軍（1980-），男，山東泰安人，碩士研究生，工程師，研究方向：機(jī)械自動(dòng)化。