■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

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數(shù)學思想在《推理與證明》中的運用

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

一、類比思想

所謂類比思想就是根據(jù)兩個對象之間一部分屬性相同或相似，從而推斷出這兩個對象之間的另外一些屬性也可能相同或相似的一種思維形式?！坝商厥獾揭话恪笔墙鉀Q這類問題的思維主線。

圖1

圖2

圖3

點評：本題考查同學們利用新結(jié)論解決問題的能力，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想及類比推理是解題的關鍵。類比的方法主要有：概念之間的類比，與已知數(shù)學方法的類比，與已知結(jié)論的類比等。作為一種創(chuàng)新題型，類比推理已成為近年高考命題中的一個亮點。

二、歸納思想

歸納思想就是在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論，然后用演繹推理對結(jié)論進行證明。這種數(shù)學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關的命題時有著廣泛的應用。思維模式是“觀察—歸納—猜想—證明”，解題的關鍵是正確地歸納猜想。

(1)5=2+3，請你推測g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)來表示；

(2)如果(1)中獲得了一個結(jié)論，你能否將其推廣？

因此，g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2)。

(2)g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2)，也即g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2)。

于是推測：

g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)。

(小前提及結(jié)論)

所以f(x)g(y)+g(x)f(y)

點評：此題是一典型的由特殊到一般的推理，構(gòu)造g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2)是此題的一個難點，要經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想而得到。從而歸納推出一般結(jié)論g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)。特例試驗、歸納猜想是理性思維的重要體現(xiàn)，是獲得發(fā)現(xiàn)的源泉。近年高考特別注重對歸納猜想和由特殊到一般問題的解決方法的考查，主要形式是根據(jù)已知條件歸納出一個結(jié)論，再用演繹推理對結(jié)論進行證明。

三、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是在解決數(shù)學問題時，將有待解決的問題，通過轉(zhuǎn)化，使之成為一個已經(jīng)解決或比較容易解決的問題，并通過對這一問題的解答從而使原問題得到解決。

例3 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)。

點評：運用分析法解題的關鍵是將結(jié)論適當轉(zhuǎn)化。分析法解題方向較為明確，有利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述。在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程。

四、正難則反思想

有些問題當從正面求解煩瑣或無法求解時，可從其反面進行思考，通過否定結(jié)論的反面來肯定結(jié)論的正確，這就是正難則反的思想。反證法就是“正難則反”的一種證明方法，它不直接證明命題的結(jié)論正確，而是通過證明結(jié)論的反面不正確來說明結(jié)論的正確。因而對于那些“結(jié)論的反面”比結(jié)論本身更具體、更明確、更簡單的命題，則適宜用反證法來證。

分析：若用直接法，需分類討論，于是可考慮使用反證法。

=2x2+2-2x1=2-2(x1-x2)。

這與假設矛盾，故原命題成立。

(責任編輯 徐利杰)