■甘肅省禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 楊 虎

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高考試卷中常見推理與證明綜合題

■甘肅省禮縣職業(yè)中等專業(yè)學(xué)校 楊 虎

推理與證明是高考中的重點(diǎn)知識，在高考中,推理主要考查歸納推理與演繹推理，一般先由已知條件歸納出一個結(jié)論，并加以證明，或以推理作為題目的已知條件，給出猜測的結(jié)論。同學(xué)們在處理問題的過程中，需要用到各種推理和證明方法，它們之間相互作用、互為補(bǔ)充，共同推動著思維向縱深發(fā)展。下面以近幾年的高考試題為例進(jìn)行解析，希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

例1 【2015年福建卷理科數(shù)學(xué)】一個二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k=1,2,…,n)稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時會發(fā)生碼元錯誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)。

其中定義⊕的運(yùn)算法則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0。

已知一個這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于____。

解析：由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后結(jié)果為0，不同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后結(jié)果為1。由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0可推斷后四個數(shù)字出錯，由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0可以推斷后兩個數(shù)字是正確的，所以出錯的是第4個數(shù)或第5個數(shù)。又由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0可以推斷出錯的是第5個數(shù)。由以上推理知第5位碼元發(fā)生錯誤。故k的值為5。

點(diǎn)評：本題主要考查了推理證明和新定義的應(yīng)用。本題首先定義了一種新的運(yùn)算⊕，其運(yùn)算法則為：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，在此基礎(chǔ)上通過對校驗(yàn)方程組進(jìn)行合情推理，推斷出第5位碼元發(fā)生錯誤。

例2 【2015年陜西卷文科數(shù)學(xué)】請觀察下列等式：

……

據(jù)此規(guī)律，第n個等式可寫為____。

其中主要使用的定理為，已知集合U={u1,u2,…,un}，V={u1,u2,…,um},能夠發(fā)現(xiàn)其中對于確定的模糊影射f：U→F(V)，u1→f(u1)=r=(ri1,ri2…rin)其中r∈F(V),m=1,2,···,n,能夠發(fā)現(xiàn)，其中惟一確定模糊關(guān)系矩陣為

例3 【2014年陜西卷理科數(shù)學(xué)】 觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：

多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812

猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是____。

解析：由上表數(shù)據(jù)可得：①三棱柱，F(xiàn)=5,V=6,E=9,F+V-E=2；②五棱錐，F(xiàn)=6,V=6,E=10,F+V-E=2；③立方體，F(xiàn)=6,V=8,E=12,F+V-E=2。進(jìn)一步猜想在一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是F+V-E=2。

點(diǎn)評：通過對三棱柱，五棱錐，以及立方體的三類圖形的面數(shù)(F)、頂點(diǎn)數(shù)(V)、棱數(shù)(E)之間關(guān)系的觀察，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是面數(shù)(F)+頂點(diǎn)數(shù)(V)-棱數(shù)(E)=2,故歸納猜想多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是F+V-E=2。

由此可判斷乙去過的城市為____。

解析：根據(jù)丙說：我們?nèi)齻€去過同一城市，可以推斷乙至少去過A，B中的某一個城市。根據(jù)甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市知甲去過A、C。分析可知乙只去過一個城市，且沒有去過C城市，所以乙只去過A城市。

點(diǎn)評：對三位同學(xué)所說的三句話進(jìn)行分析與推理，環(huán)環(huán)相扣，其突破口是乙說：我沒去過C城市,再結(jié)合甲、丙所說的話便可判斷乙去過的城市為A城市。

例5 【2015年廣東卷理科數(shù)學(xué)】若空間中n個不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值( )。

A．大于5 B.等于5

C.至多等于4 D.至多等于3

解析：顯然正三角形和正四面體的頂點(diǎn)是兩兩距離相等的，即n=3或n=4時命題成立，由此可排除A、B、D，故選C。

點(diǎn)評：本題主要考查同學(xué)們的空間想象能力，推理求解能力。本題含有量詞命題真假的判斷，如果直接正面解答比較困難，考慮到它是選擇題，可以結(jié)合選項信息根據(jù)平時所積累的平面幾何、空間幾何知識進(jìn)行排除。由于n=3時，易知正三角形的三個頂點(diǎn)是兩兩距離相等的，從而可以排除A、B。又當(dāng)n=4時，易知正四面體的四個頂點(diǎn)也是兩兩距離相等，從而可以排除D，不難得出正確答案為C。

例6 【2014年北京卷理科數(shù)學(xué)】學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績查分為三個等級，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”。若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙的，且其中至少有一門成績高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”。如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好，并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有( )。

A．2人 B．3人 C．4人 D．5人

解析：可以用a,b,c分別代表優(yōu)秀，及格與不及格，根據(jù)題意a,b,c中都最多只有一個元素，故只有ac,bb,ca滿足題目條件，所以選B。

點(diǎn)評：本題考查了合情推理，意在考查同學(xué)們的分析問題能力和推理判斷能力。

練一練：

參考答案：C。

(責(zé)任編輯 徐利杰)