徐 晟,夏寶藏,唐庭正

(合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥 230009)

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微分博弈下政府稅收與企業(yè)再投資的互動(dòng)策略研究

徐 晟,夏寶藏,唐庭正

(合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥 230009)

文章以Solow增長(zhǎng)模型中的新古典生產(chǎn)函數(shù)為基礎(chǔ),結(jié)合隨機(jī)微分理論和動(dòng)態(tài)博弈理論,將政府稅率和企業(yè)再投資率設(shè)為內(nèi)生變量,構(gòu)建了政府-企業(yè)博弈系統(tǒng),分析了政府稅收和企業(yè)再投資最優(yōu)策略,并通過(guò)數(shù)值方法分析了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。

隨機(jī)過(guò)程;微分博弈;政府稅收;再投資率

0 引 言

市場(chǎng)在資源配置中的決定性作用有利于最大限度地激發(fā)市場(chǎng)主體企業(yè)的創(chuàng)新活力,更好發(fā)揮政府作用有利于建設(shè)高效的服務(wù)型政府,從而加快我國(guó)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級(jí)，構(gòu)建開(kāi)放型經(jīng)濟(jì)新體制。本文從企業(yè)和政府角度出發(fā),探討政府稅收行為和企業(yè)再投資行為間的博弈問(wèn)題,以期在獲得經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長(zhǎng)的同時(shí),推動(dòng)社會(huì)財(cái)富得到公平分配。

本文以Solow增長(zhǎng)模型中的新古典生產(chǎn)函數(shù)、隨機(jī)微分理論和動(dòng)態(tài)博弈理論為基礎(chǔ)展開(kāi)研究[1-2]。文獻(xiàn)[3-4]討論了人力資本和物質(zhì)資本在生產(chǎn)部門以及在經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)中的最優(yōu)配置問(wèn)題,但是均沒(méi)有考慮到創(chuàng)造力對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)。文獻(xiàn)[5-6]將創(chuàng)造力以及人力資本作為參數(shù)引入模型以解決經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)問(wèn)題,進(jìn)而建立了一個(gè)內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型,但是在尋求內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型均衡解時(shí)沒(méi)有考慮到廠商和員工間的博弈問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]建立了一種基于微分博弈理論的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型,但沒(méi)有考慮現(xiàn)實(shí)世界中的不確定性。鑒于此，本文構(gòu)建了政府-企業(yè)博弈系統(tǒng),并將政府稅率和企業(yè)再投資率設(shè)為內(nèi)生變量,據(jù)此分析政府稅收和企業(yè)再投資最優(yōu)策略,并通過(guò)數(shù)值方法分析了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題[8-13]。

1 模型與假設(shè)

根據(jù)Solow理論原理,生產(chǎn)函數(shù)可表示為:

(1)

其中,t為時(shí)間;Y為產(chǎn)出;K為資本;A為技術(shù)的水平;L為勞動(dòng)力。

設(shè)F為生產(chǎn)函數(shù)的固定回報(bào),同時(shí)令k(t)=K/AL為每單位有效勞動(dòng)的資本量。因此,可將單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出寫(xiě)成單位有效勞動(dòng)的函數(shù)，具體公式如下:

(2)

政府目標(biāo):

(3)

企業(yè)目標(biāo):

(4)

資本積累的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可表示為:

(5)

其中，k為單位有效勞動(dòng)資本;x為稅率;s為被企業(yè)控制的再投資率。

2 博弈均衡及數(shù)值分析

2.1 政府和企業(yè)最優(yōu)策略

政府-企業(yè)微分博弈構(gòu)成了一個(gè)開(kāi)環(huán)的納什均衡。開(kāi)環(huán)微分博弈的納什均衡解決方案應(yīng)該是一個(gè)策略集,包含政府最優(yōu)策略-最優(yōu)稅率和企業(yè)最優(yōu)策略-最優(yōu)再投資率,具體可表示為{x*(k),s*(k)},從而得到政府和企業(yè)的最優(yōu)策略集分別為:

政府策略:

(6)

企業(yè)策略:

(7)

其中，a=s(x-1)[f′(k)+kf″(k)]-c；

bG=-xf′(k)+(1-x)kf″(k)；

bF=(s-1)(1-x)[f′(k)+kf″(k)]；

其中,n為人口的增長(zhǎng)率;g為技術(shù)的增長(zhǎng)率;δ為資本-有效勞動(dòng)力的自然衰減率;c=n+g+δ>0。

證明 這個(gè)模型是無(wú)限期貼現(xiàn)的優(yōu)化問(wèn)題,策略集{x*(k),s*(k)}應(yīng)滿足哈密頓方程。政府和企業(yè)的哈密頓方程HG和HF分別為:

(8)

(9)

將(5)式代入(8)式和(9)式可得:

(10)

(11)

因?yàn)檫@是一個(gè)bang-bang問(wèn)題,所以政府哈密頓方程HG和企業(yè)哈密頓方程HF的最大值在政府的控制變量x和企業(yè)的控制變量s滿足以下條件時(shí)得到:

(12)

(13)

為了得到這個(gè)模型的開(kāi)環(huán)納什均衡解,還應(yīng)該滿足(5)式及以下偏微分方程組:

(14)

(15)

政府與企業(yè)的哈密頓函數(shù)的共態(tài)參數(shù)方程可表示為以下動(dòng)態(tài)形式:

(16)

(17)

解上述常微分方程可得:

(18)

(19)

其中，NG和NF為待定系數(shù),將終止條件代入(18)式和(19)式可得Ni=0，i=G,F。由此可知，政府與企業(yè)的共態(tài)參數(shù)可以表示為:

(20)

(21)

據(jù)此可以得到政府與企業(yè)的最優(yōu)策略集。

2.2 最優(yōu)策略的經(jīng)濟(jì)解釋

當(dāng)λF>e-ρ t時(shí),企業(yè)的策略s*=1,即企業(yè)將所有的投資利潤(rùn)投入到再生產(chǎn)過(guò)程中。在這種情況下政府的策略包含2種情況:

(1) 當(dāng)λG>e-ρ t/s時(shí),政府選擇策略是x*=0。這種策略表現(xiàn)為:政府將不會(huì)對(duì)企業(yè)征收任何的稅款,同時(shí)企業(yè)選擇將所有的投資利潤(rùn)投入到再生產(chǎn)過(guò)程中,即策略集為{0,1}。

(2) 當(dāng)λG

莫莉是個(gè)小資女人，有給首長(zhǎng)看病的大夫爸爸，有留洋的官二代男友，仿佛什么都有了。唯獨(dú)沒(méi)有歸屬感。趕上三連連長(zhǎng)，愣頭青的沐建峰，干柴猛火，擋不住。其后，沐建峰和趙益勤愛(ài)情、娶親，莫莉也在他的生存中來(lái)往自若。

當(dāng)λF

(1) 當(dāng)λG>e-ρ t/s時(shí),政府選擇的策略是x*=0。這種策略表現(xiàn)為:政府將不會(huì)對(duì)企業(yè)征收任何的稅款,同時(shí)企業(yè)沒(méi)有將任何的投資增值投入到再生產(chǎn)過(guò)程中,即策略集為{0,0}。從邏輯上分析,這種策略既沒(méi)有保證經(jīng)濟(jì)長(zhǎng)期的增長(zhǎng),也沒(méi)有獲得公平的二次分配,因此這種策略{0,0}是不穩(wěn)定的。

(2) 當(dāng)λG

綜上所述,政府與企業(yè)的均衡只會(huì)出現(xiàn)2種策略集,即{0,1}和{1,0}。

2.3 數(shù)值分析

政府與企業(yè)的策略集分4種情況,假設(shè)各參數(shù)取值分別為:a=0.9,ρ=0.08,k0=100,c=0.03。由于數(shù)值分析不能取到無(wú)窮時(shí)間點(diǎn),本文將時(shí)間終止點(diǎn)選在T=100處。程序中具體表示見(jiàn)表1所列,數(shù)值分析結(jié)果如圖1所示。

表1 政府-企業(yè)策略集符號(hào)

圖1 確定條件下政府-企業(yè)策略及資本積累

由圖1可知,若政府與企業(yè)在博弈的開(kāi)始階段就選擇了{(lán)1,0}策略,則經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)了持續(xù)的負(fù)增長(zhǎng),顯然這種選擇對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)是不利的。

3 模型改進(jìn)

為了使經(jīng)濟(jì)得到不斷增長(zhǎng),必須保證企業(yè)獲得足夠收益，那么政府最大稅率必然不會(huì)選擇為1,同時(shí)為了保證社會(huì)公平得到體現(xiàn),政府的最小稅率也必然不會(huì)為0。因此,本文將模型中政府稅率的區(qū)間修改為[xmin,xmax],其中0

3.1 模型設(shè)立

政府目標(biāo):

(22)

企業(yè)目標(biāo):

(23)

0≤s≤1,

k(0)=k0。

解(14)式、(15)式微分方程可得:

(24)

(25)

由此可以得到政府與企業(yè)的最優(yōu)策略集,具體表達(dá)式如下。

政府策略:

(26)

企業(yè)策略為:

(27)

3.2 數(shù)值分析

假設(shè)參數(shù)取值分別為:a=0.7，ρ=0.08，k0=100，c=0.06，xmin=0.1，xmax=0.5，博弈終止時(shí)間T=60。若在某種情況下,政府與企業(yè)的策略具有多種選項(xiàng),假設(shè)各種被選的策略概率相同。

程序中具體表達(dá)仍見(jiàn)表1所列,通過(guò)數(shù)值模擬可得政府與企業(yè)的策略以及資本的積累關(guān)系如圖2所示。

由圖2可知,t的范圍在[0,31]左右的階段,政府與企業(yè)采用的是混合策略即{0.1,1}和{0.5,1},經(jīng)濟(jì)處于起步階段。無(wú)論政府采用最大稅率政策還是最小稅率政策,企業(yè)采取的策略都是將投資收益投入到再生產(chǎn)過(guò)程中,從而推動(dòng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。

當(dāng)t達(dá)到31左右時(shí),政府與企業(yè)都采用單一的策略{0.1,1},屬于經(jīng)濟(jì)騰飛階段。政府采取低稅率政策,企業(yè)將所有的資本積累投入到再生產(chǎn)活動(dòng)中,從而推動(dòng)經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展。但是,這一階段社會(huì)貧富差距也在加大,這一過(guò)程大概持續(xù)8a左右。

當(dāng)t達(dá)到39左右時(shí),經(jīng)濟(jì)發(fā)展達(dá)到了頂峰。在t∈[39,48]時(shí),政府與企業(yè)都采用了混合策略{0.1,1}和{0.5,0},經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)了緩慢下滑。當(dāng)政府稅率低時(shí),企業(yè)還可能將收入用于投資,但是當(dāng)政府的稅率過(guò)高時(shí),企業(yè)選擇了消費(fèi)。本文假設(shè)這2種情況概率相當(dāng),因此經(jīng)濟(jì)雖然出現(xiàn)了下滑,但是部分企業(yè)的投資保證了經(jīng)濟(jì)下滑不那么明顯。

圖2 政府-企業(yè)策略及資本積累

在最后的12 a時(shí)間里,政府與企業(yè)的策略為單一的{0.5,0},企業(yè)選擇將所有的財(cái)富用于消費(fèi),而政府顯然既不會(huì)不顧及經(jīng)濟(jì)的增長(zhǎng),又不顧社會(huì)的公平,因此這個(gè)階段經(jīng)濟(jì)出現(xiàn)持續(xù)衰退。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)構(gòu)建政府與企業(yè)的動(dòng)態(tài)博弈模型,運(yùn)用開(kāi)環(huán)納什均衡解法求解政府-企業(yè)最優(yōu)策略集。為了使模型更加符合經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí),本文對(duì)模型進(jìn)行了改進(jìn),并使用數(shù)值分析方法較好地模擬了經(jīng)濟(jì)發(fā)展現(xiàn)實(shí)。本文研究結(jié)果表明,在經(jīng)濟(jì)發(fā)展的不同階段,政府與企業(yè)應(yīng)采用混合或單一的互動(dòng)策略,充分發(fā)揮市場(chǎng)主導(dǎo)、政府服務(wù)作用,以保證經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長(zhǎng),實(shí)現(xiàn)資源優(yōu)化配置。未來(lái)的研究可以從以下方面進(jìn)行擴(kuò)展:考慮到政府與企業(yè)在博弈系統(tǒng)中并不是平等的博弈參與者,政府作為領(lǐng)導(dǎo)者,企業(yè)作為追隨者,可以采用反饋斯坦伯格均衡解法。

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(責(zé)任編輯 萬(wàn)倫來(lái))

Interaction between government tax and enterprise reinvestment based on differential game theory

XU Sheng,XIA Baocang,TANG Tingzheng

(School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Based on the new classical production function of Solow growth model, the stochastic differential theory and the dynamic game theory, the game system between the government and enterprises is built, in which the government tax rate and the enterprise reinvestment rate are set as endogenous variable. The optimal strategies of the government tax and the enterprise reinvestment are analyzed, and the economic reality is studied by using the numerical model.

random process; differential game; government tax; reinvestment rate

2015-04-10；

2015-06-12

徐 晟(1972-) ,男,湖北浠水人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.10.024

F275

A

1003-5060(2016)10-1416-00