孫廣明，黃金杰

（哈爾濱理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080）

混沌相空間轉(zhuǎn)動(dòng)同步及判別切換保密通信的研究

孫廣明，黃金杰

（哈爾濱理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080）

研究了一個(gè)新的混沌動(dòng)力系統(tǒng)，進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，通過(guò)對(duì)平衡點(diǎn)、Lyapunov指數(shù)、Lyapunov維數(shù)和Poincare截面的研究，證實(shí)了系統(tǒng)的混沌行為。對(duì)混沌系統(tǒng)的相空間Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行了研究，引入了轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，建立了相空間內(nèi)的Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)模型，并進(jìn)行了混沌系統(tǒng)空間轉(zhuǎn)動(dòng)同步研究。利用上述研究成果，提出了混沌判別切換保密通信系統(tǒng)的方案，適合應(yīng)用于信息安全通信中。

混沌；混沌同步；混沌吸引子；保密通信

1 引言

混沌是一種普遍存在的內(nèi)在無(wú)規(guī)則的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，存在于自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，引起國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注。近年來(lái)，各國(guó)學(xué)者進(jìn)行了大量的研究[1～4]。文獻(xiàn)[1]研究了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，混沌吸引子為四翼的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[2]提出了一種新的整數(shù)階吸引子為蝴蝶狀的三維自治混沌系統(tǒng)。文獻(xiàn)[3]研究了一個(gè)多翅膀混沌系統(tǒng)，并進(jìn)行了電路實(shí)現(xiàn)研究。文獻(xiàn)[4]研究了一個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)。

混沌信號(hào)具有對(duì)初始條件的微小變化初值的高度敏感以及不穩(wěn)定性等類(lèi)似密碼系統(tǒng)特征，以及混沌同步現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)[5]，使混沌系統(tǒng)引入保密通信領(lǐng)域成為必然?；煦缤窖芯渴钱?dāng)前非線性科學(xué)一個(gè)非常重要的分支，國(guó)內(nèi)外進(jìn)行了大量的研究工作，主要方法有：驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)法[6,7]，將具有負(fù)Lyapunov指數(shù)的穩(wěn)定子系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，用連續(xù)的驅(qū)動(dòng)信號(hào)耦合，實(shí)現(xiàn)同步；主動(dòng)—被動(dòng)法[8]，將驅(qū)動(dòng)變量引入系統(tǒng)，得到系統(tǒng)總體誤差動(dòng)力學(xué)方程，采用非線性控制理論方法，使誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，達(dá)到同步的研究；狀態(tài)反饋法[9,10]，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)給響應(yīng)系統(tǒng)一個(gè)狀態(tài)反饋，使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)構(gòu)成的誤差系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，以達(dá)到同步的目的；模糊同步[11～13]，利用混沌系統(tǒng)T-S模型的精確化建模方法，根據(jù)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)的表現(xiàn)形式，進(jìn)行系統(tǒng)建模，以達(dá)到同步；其他的方法，如滑?？刂品╗14,15]、遺傳算法[16]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[17]、判別同步[18]等方法實(shí)現(xiàn)混沌同步。

綜上，對(duì)混沌同步的研究，均在混沌系統(tǒng)在相空間不轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，由于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜，對(duì)于混沌系統(tǒng)圍繞相空間坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，并沒(méi)有進(jìn)行研究和評(píng)價(jià)。據(jù)此，本文主要在以下方面進(jìn)行了研究：構(gòu)建了一個(gè)新的三維混沌動(dòng)力系統(tǒng)，并對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析；對(duì)于混沌系統(tǒng)在相空間內(nèi)，圍繞Z坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行建模和分析；對(duì)混沌系統(tǒng)在圍繞相空間Z坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行了同步研究，并給出仿真結(jié)果；基于以上新混沌系統(tǒng)的相空間轉(zhuǎn)動(dòng)同步的研究成果，對(duì)于日益迫切的信息安全問(wèn)題，提出了一種判別切換保密通信方案，并進(jìn)行了驗(yàn)證和仿真。

2 混沌系統(tǒng)及動(dòng)力分析

新的三維混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述為

圖1新混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)相圖

2.1 耗散性和混沌吸引子的存在分析

由于散度

經(jīng)計(jì)算，得系統(tǒng)(1)的散度?V =?3＜0，則混沌系統(tǒng)(1)是耗散結(jié)構(gòu)的，并且混沌運(yùn)動(dòng)軌跡以指數(shù)形式收斂。

即初始體積元V0在 t時(shí)刻收縮為體積元V0e?3t。在t→∞時(shí)，系統(tǒng)軌跡線的每個(gè)微小體積元均以e?3指數(shù)速率收縮到零。所有系統(tǒng)(1)的軌跡線最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為零的極限集合，將漸進(jìn)運(yùn)動(dòng)到一個(gè)固定的吸引子上。

2.2 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)平衡點(diǎn)由混沌系統(tǒng)(1)獲得，考慮如下方程組。

其中，a=15，b=2。此時(shí)混沌系統(tǒng)(1)有3個(gè)平衡點(diǎn)，分別為

在系統(tǒng)平衡點(diǎn)P0=(0,0,0)處，混沌系統(tǒng)(1)的Jacobian矩陣為

令系統(tǒng)特征方程det(J0?λI)=0得，其特征根λ1=?13.2882，λ2=?11.2882，λ3=?1,由于λ1、λ3為負(fù)實(shí)數(shù)，λ2為正實(shí)數(shù)，所以系統(tǒng)平衡點(diǎn)P0=(0,0,0)是一個(gè)不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

由于λ1、λ2為實(shí)部正數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，且λ3為負(fù)數(shù)，所以平衡點(diǎn) P1為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

由于λ1、λ2為實(shí)部正數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，且λ3為負(fù)數(shù)，所以平衡點(diǎn)2P為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

綜上分析，系統(tǒng)(1)的3個(gè)平衡點(diǎn)0P、1P、2P，均為不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，即系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定，可能為混沌。

2.3 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

Lyapunov指數(shù)是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征的一個(gè)重要定量指標(biāo),表示系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對(duì)于一個(gè)已知狀態(tài)方程的系統(tǒng)，其Lyapunov指數(shù)譜系中，最大Lyapunov指數(shù)表征系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。通過(guò)計(jì)算得系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)為：λ1=0.68512，λ2=?0.0019331，λ3=?3.6832。其中，λ1＞0，λ2≈0，λ3＜0，說(shuō)明系統(tǒng)(1)為混沌系統(tǒng)，且存在吸引子為奇異吸引子。從圖2系統(tǒng)(1)Lyapunov指數(shù)譜曲線可以看出，系統(tǒng)(1)的 Lyapunov指數(shù)隨著時(shí)間的變化逐漸趨于平穩(wěn)。計(jì)算系統(tǒng)(1)的Lyapunov維數(shù)

系統(tǒng)(1)的Lyapunov維數(shù)DL=2.1854，為分?jǐn)?shù)維數(shù)，同時(shí)驗(yàn)證了系統(tǒng)(1)為混沌系統(tǒng)。

圖2系統(tǒng)（1）的 Lyapunov指數(shù)

2.4 Poincare截面

為了觀察系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，Poincare截面的選取要恰當(dāng)，可以固定參數(shù)，選擇的Poincare截面不能包含系統(tǒng)的軌跡線，同時(shí)不能與軌跡線相切。由此觀察Poincare截面情況，由此判定是否為混沌運(yùn)動(dòng)。在固定參數(shù)a=15，b=2時(shí)，選擇z=20截面，得到系統(tǒng)(1)的Poincare截面，如圖3所示，在Poincare截面上有多個(gè)密集點(diǎn)，吸引子輪廓清晰，進(jìn)一步說(shuō)明了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)時(shí)混沌的。

圖3系統(tǒng)（1）在z=20上的Poincare截面

2.5 Kolmogorov熵

一個(gè)n維動(dòng)力系統(tǒng)，將它的相空間分割成邊長(zhǎng)為r的n維立方體盒子，對(duì)于狀態(tài)空間的一個(gè)吸引子和吸引域中的軌道 x(t)，取微小時(shí)間間隔τ,令P( i0, i1,…,im)表示起始時(shí)刻系統(tǒng)軌道在第i0個(gè)格子中，t=τ時(shí)在第i1個(gè)格子中,t=mτ時(shí)在第im個(gè)格子中的聯(lián)合概率，則有

Kolmogorov熵[19]定義為信息的平均損失率

Kolmogorov熵（簡(jiǎn)稱(chēng)K熵）表征混沌系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的混亂和無(wú)規(guī)則程度，可用于混沌特征的識(shí)別、混亂程度的整體度量和區(qū)分系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式[20]。K=0表示系統(tǒng)處于規(guī)則運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；K＞0表示系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；在混沌運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，K熵值越大，表征系統(tǒng)的混沌程度越嚴(yán)重，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)越復(fù)雜。

對(duì)于系統(tǒng)(1)，選取積分步長(zhǎng)為 0.01，從圖 4可知，參數(shù)a緩慢增加時(shí)，系統(tǒng)(1)的K熵呈先衰減，后增加的趨勢(shì)?；煦缦到y(tǒng)(1)的最小 K熵Kmin≥2.2。已知Rossler混沌系統(tǒng)的K熵[19,21]為0.136，Lorenz混沌系統(tǒng)的K熵[20,21]為0.245，則認(rèn)為系統(tǒng)(1)的混沌運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜。

圖4系統(tǒng)（1）K熵

3 Z軸空間轉(zhuǎn)動(dòng)同步

3.1 問(wèn)題的描述和轉(zhuǎn)動(dòng)同步

根據(jù)相空間轉(zhuǎn)動(dòng)的理論，定義三維空間內(nèi)，圍繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣為

其中，θ為圍繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，以系統(tǒng)(1)為模型，可進(jìn)行如下描述

定義1對(duì)于相空間，系統(tǒng)X˙轉(zhuǎn)動(dòng)θ角后，得到新的系統(tǒng)Y˙，令X˙為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，Y˙為響應(yīng)系統(tǒng)，有

則稱(chēng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)同步。

以系統(tǒng)(1)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，圍繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

其中，u1、u2、u3為待設(shè)計(jì)的同步控制器。

那么系統(tǒng)(1)圍繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角后，系統(tǒng)的誤差為

寫(xiě)成矩陣形式為

令

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

3.2 同步仿真

選取典型參數(shù)a=15，b=2，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)初始值[10,7,10]，響應(yīng)系統(tǒng)初始值[15,13,14]，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)為混沌特性。

圖5θ=0°時(shí)，同步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)θ=0°時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng)如圖5所示，在控制器和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的控制下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的X、Y、Z相時(shí)域波形較快同步。同時(shí)，系統(tǒng)誤差在7 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)收斂到零，驅(qū)動(dòng)、響應(yīng)系統(tǒng)快速同步。

當(dāng)θ=60°時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng)如圖6所示，在控制器和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的控制下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的X、Y、Z相時(shí)域波形較快同步。同時(shí)，系統(tǒng)誤差在5 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)收斂到零，驅(qū)動(dòng)、響應(yīng)系統(tǒng)快速同步。

圖6θ=60°時(shí)，同步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

當(dāng)θ=240°時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)在相空間中的運(yùn)動(dòng)如圖7所示，在控制器和轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的控制下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的X、Y、Z相時(shí)域波形較快同步。同時(shí)，系統(tǒng)誤差在5 s內(nèi)實(shí)現(xiàn)收斂到零，驅(qū)動(dòng)、響應(yīng)系統(tǒng)快速同步。

4 保密通信

隨著社會(huì)的進(jìn)步、技術(shù)的發(fā)展，保障信息的安全已經(jīng)成為當(dāng)前計(jì)算機(jī)、通信領(lǐng)域重要的課題和研究熱點(diǎn)?；煦缧盘?hào)具有對(duì)初始條件的微小變化初值的高度敏感以及不穩(wěn)定性，非周期和不可預(yù)測(cè)性等特點(diǎn)，以及隨著混沌同步的研究深入，使將混沌引入保密通信成為必然。前文研究的新混沌系統(tǒng)和空間轉(zhuǎn)動(dòng)同步的方法，本文利用上述模型的基礎(chǔ)上，提出了一種混沌判別的切換保密通信方法。

4.1 混沌判別切換保密通信

圖 8為混沌判別切換保密通信系統(tǒng)的原理框圖，其通信的基本原理是發(fā)送端的混沌系統(tǒng)，輸出類(lèi)似噪聲的混沌信號(hào)，通過(guò)比較判別函數(shù) f(t)判別判斷，選擇混沌載波信源，在這個(gè)混沌信源上疊加需要的有用信號(hào) m(t)，通過(guò)信道將合成信號(hào) s(t)發(fā)送出去；在接收端與發(fā)送端混沌系統(tǒng)達(dá)到同步后，從接收的混合信號(hào)中去掉同步重構(gòu)的混沌信號(hào)，從而解調(diào)出發(fā)送的有用信息m(t)。

設(shè)有用信號(hào)m(t)，合成密文信號(hào)s(t)，f(t)為比較判別函數(shù)。

在發(fā)送系統(tǒng)，有

其中，k為有用信號(hào)比例系數(shù)，k的選擇使得有用信號(hào)小于混沌信號(hào)的

由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)，定義發(fā)送系統(tǒng)的比較判別函數(shù)f(t)如下

圖7θ=240°時(shí)，同步的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖8混沌判別切換保密通信系統(tǒng)

在接收系統(tǒng)，有

其中，p(t)為接收系統(tǒng)判別函數(shù)，定義如下

有用信號(hào)m(t)經(jīng)過(guò)發(fā)送端轉(zhuǎn)換，合成密文信號(hào)s(t)，由信道傳輸?shù)竭_(dá)接收系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)同步響應(yīng)系統(tǒng)(9)，進(jìn)入接收比較判別函數(shù)p(t)，得到恢復(fù)的信號(hào)m′( t)。

4.2 性能測(cè)試與實(shí)驗(yàn)分析

設(shè)有用信號(hào) m(t)=5cos(t)，有用信號(hào)比例系數(shù)k=1，選取典型參數(shù)a=15，b=2，轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ=45°，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)初始值[10,7,10]，響應(yīng)系統(tǒng)初始值[15,13,14]。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖9所示，有用信號(hào)m(t)經(jīng)過(guò)發(fā)送系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成密文信號(hào)，完全改變了源信號(hào)的特征，接收端接收密文信號(hào) s(t)后，經(jīng)過(guò)響應(yīng)系統(tǒng)同步，解密恢復(fù)源信號(hào)。從圖9(d)可以看出，解密后的信號(hào)m′( t)，5 s內(nèi)快速同步有用信號(hào)m(t)。

有用信號(hào)m(t)被保密通信系統(tǒng)加密和傳輸，并且不失真的恢復(fù)，證明了該方法的有效性。由于加密系統(tǒng)和解密系統(tǒng)同步存在時(shí)間差，可以先啟動(dòng)保密系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間τ＞10s后，再進(jìn)行待加密信息發(fā)送，以保證待加密信息的完整性。

圖9保密通信的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先提出了一個(gè)新的混沌系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，分析了新混沌系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，研究了 Lyapunov指數(shù)、Lyapunov維數(shù)、Poincare截面和Kolmogorov熵，證實(shí)了系統(tǒng)的混沌特征。對(duì)混沌系統(tǒng)的相空間Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行了研究，引入了轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，建立了相空間內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)同步模型，利用上述新混沌系統(tǒng)的相空間轉(zhuǎn)動(dòng)同步研究成果，提出了混沌判別切換保密通信系統(tǒng)的方案，對(duì)該方案進(jìn)行了研究。對(duì)系統(tǒng)的保密通信仿真結(jié)果表明，該方法具有很強(qiáng)的實(shí)用性。

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Study on chaos phase space synchronous rotation and distinguish switching security communication

SUN Guang-ming, HUANG Jin-jie
(School of Computer Science and Technology, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)

A new chaotic dynamic system was proposed and the dynamic of this system was analyzed. Through the research of balance point, Lyapunov index, Lyapunov dimension and Poincare section, the chaotic behavior of the system was approved. Z axis of chaos system phase space was researched. Z axis rotation model in the phase space was built through introducing rotation matrix, and chaos system space synchronous rotation was researched. Based on the research results above, a chaotic distinguish switching security communication system was presented for the communication of information security.

chaos, chaos synchronization, chaotic attractor, security communication

s:The Natural Science Foundation of Heilongjiang Province (No.F201222), The Science Foundation of Educational Department of Heilongjiang Province (No.12511105), The Science and Technology Foundation for Innovative Talents of Harbin City (No.2007RFXXG023)

TN918

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016201

2016-01-30；

2016-06-23

黑龍江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.F201222）；黑龍江省教育廳科技基金資助項(xiàng)目（No.12511105）；哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專(zhuān)項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（No.2007RFXXG023）

孫廣明（1981-），男，黑龍江綏化人，哈爾濱理工大學(xué)博士生，主要研究方向?yàn)閿?shù)據(jù)安全、工業(yè)過(guò)程控制系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等。

黃金杰（1967-），男，山東萊陽(yáng)人，哈爾濱理工大學(xué)教授，主要研究方向?yàn)槿斯ぶ悄?、非線性系統(tǒng)等。