楊　茜，秦紅磊

（北京航空航天大學(xué)，北京　100191）

GNSS載波多普勒頻移計(jì)算、分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

楊茜，秦紅磊

（北京航空航天大學(xué)，北京100191）

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)信號處理中，多普勒頻移至關(guān)重要；文章對地心慣性坐標(biāo)系下載波多普勒頻移最大值計(jì)算進(jìn)行了研究，其推導(dǎo)中沒有考慮地球自轉(zhuǎn)速度和地面用戶位置的影響；文章針對這個(gè)問題進(jìn)行分析，通過建立衛(wèi)星和用戶位置和速度之間的立體幾何模型，提出了地心地固坐標(biāo)系下任意用戶位置載波多普勒頻移最大值的精確計(jì)算方法；同時(shí)針對多普勒頻移計(jì)算問題，通過構(gòu)建衛(wèi)星與用戶之間的距離向量，提出了基于精密星歷的任意用戶位置載波多普勒頻移計(jì)算方法；最后使用GNSS仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，兩種方法的計(jì)算結(jié)果均和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合；兩種新方法能夠解決地心地固坐標(biāo)系下特定位置處的多普勒頻移最大值和特定位置處載波多普勒頻移的計(jì)算問題。

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)；多普勒頻移；地心慣性坐標(biāo)系；地心地固坐標(biāo)系；最大值

0　引言

GNSS（global navigation satellite system，GNSS）衛(wèi)星與地面用戶之間存在徑向運(yùn)動(dòng)，從而產(chǎn)生多普勒頻移［1］。多普勒頻移在GNSS信號處理中至關(guān)重要。接收機(jī)捕獲的頻率搜索范圍一般設(shè)置為多普勒頻移可能取到的最大值［2］，所以載波多普勒頻移最大值對偽碼捕獲速度和載波鎖定速度尤其重要?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)和接收機(jī)中均引用James Bao-Yen TSUI［2］推導(dǎo)的載波多普勒頻移最大值作為載波頻率搜索范圍，其推導(dǎo)是在地心慣性坐標(biāo)系（earth-centered inertial coordinate system，ECI）基礎(chǔ)上建立，沒有考慮地球自轉(zhuǎn)對徑向運(yùn)動(dòng)速度的影響，而且沒有考慮地面用戶位置對多普勒頻移最大值帶來的影響。由于衛(wèi)星軌道并不是圓軌道，所以衛(wèi)星高度也不是Tsui推導(dǎo)中的固定值。本文首先對TSUI推導(dǎo)進(jìn)行修正，主要考慮衛(wèi)星高度對載波多普勒頻移最大（小）值的影響以及計(jì)算地心地固坐標(biāo)系（earth-centered earth-fixed coordinate system，ECEF）下任意用戶位置載波多普勒頻移最大（?。┲?；其次是計(jì)算任意用戶位置的載波多普勒頻移；最后是通過GNSS模擬數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證前兩部分的計(jì)算方法。

1　載波多普勒頻移最大（小）值的計(jì)算

1.1地心慣性坐標(biāo)系下的載波多普勒頻移最大（?。┲涤?jì)算

1.1.1TSUI對載波多普勒頻移最大（?。┲档耐茖?dǎo)

衛(wèi)星信號的多普勒頻移是由用戶接收機(jī)與衛(wèi)星在它們兩者連線方向上的相對運(yùn)動(dòng)引起的。為了分析方便，本文只考慮用戶為靜止時(shí)情況，計(jì)算僅由衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)所造成的接收信號載波多普勒頻移最大值。

圖1　地心慣性坐標(biāo)系下衛(wèi)星產(chǎn)生多普勒頻移示意圖

圖1為GNSS衛(wèi)星產(chǎn)生多普勒頻移示意圖，圖中參數(shù)為GPS（global positioning system，GPS）衛(wèi)星參數(shù)。由于地球并非完美的球體，所以并不能用一個(gè)值來表達(dá)地球的實(shí)際半徑，但由于地球的形狀很接近球體，半徑為6 357 km～6 378 km，為了處理方便將這里假設(shè)地球?yàn)榍蝮w，軌道半徑為6 368 km。同樣，假定衛(wèi)星軌道為圓軌道，其軌道半徑為26 560 km。圖中衛(wèi)星的位置為S，用戶的位置為A。由GPS衛(wèi)星周期為11小時(shí)58分，可得衛(wèi)星的軌道加速度及線速度為：

由于只有相對徑向運(yùn)動(dòng)才會多普勒頻移，衛(wèi)星相對于用戶的速度分量：

vd=vssinβ

下面分析一下該速度分量與衛(wèi)星角度的關(guān)系。對于三角形OAS，利用余弦定理得［3］：

（AS）2=R2e+r2s-2Rerscosα=R2e+r2s-2Rerssinθ

利用正弦定理得：

因此：

對上式求導(dǎo)得：

當(dāng)θ=arcsin（Re/rs）時(shí)，上式成立。對于GNSS系統(tǒng)用戶，更關(guān)心的是衛(wèi)星與用戶相對于地平線角度（仰角）大小。

下面，推導(dǎo)角度θ與仰角φ的關(guān)系，對三角形OAS應(yīng)用正弦定理得［3］：

可得：

多普勒頻移fd與相對速度vd的關(guān)系為：

式中，fc為GNSS信號的載波中心頻率，c為光速。

所以可以得到多普勒頻移fd與仰角φ之間的關(guān)系。當(dāng)衛(wèi)星速度vs=3 874 m/s時(shí)，可得：

當(dāng)θ=90°時(shí)，φ=90°，即衛(wèi)星位于用戶天頂方向，帶入式（6）可得vd=0，由式（10）得多普勒頻移為fd=0，即天頂方向的多普勒頻移的絕對值最小。

當(dāng)θ=arcsin（Re/rs）=0.242 rad，φ=0°，即衛(wèi)星與用戶的仰角為0°時(shí)vdmax=928.82 m/s，對于GPS L1（載波頻率為1 575.42 M Hz）的信號：

當(dāng)衛(wèi)星相對于用戶的水平面上升時(shí)fdmax=4 877 Hz，當(dāng)

圖2　地心慣性坐標(biāo)系下載波多普勒頻移最大值隨仰角的變化

衛(wèi)星相對于用戶的水平面下降時(shí)fdmin=-4 877 Hz。

vdmax=929 m/s，約為3 344 km/h，這個(gè)速度與非常高速的軍用航空器相當(dāng)，因此對于地面一般用戶，其動(dòng)態(tài)引起的多普勒頻移相當(dāng)小。

1.1.2衛(wèi)星高度對載波多普勒頻移最大（?。┲档挠绊?/p>

以上分析中假定衛(wèi)星軌道為圓軌道，然而真實(shí)情況下衛(wèi)星在其軌道平面上的軌道方程為

其中：a為長半軸，e為偏心率。

近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道高度分別是最小和最大的衛(wèi)星高度

rmin=a（1-e）

rmax=a（1+e）

一般，GPS衛(wèi)星軌道的參數(shù)值為a=26 560 km，e= 0.006 739 496 742 28，則可以得到

圖3　地心慣性坐標(biāo)系下衛(wèi)星高度對載波多普勒頻移最大值的影響

仰角越小，衛(wèi)星軌道高度對多普勒頻移的影響越大。仰角為0度時(shí)，近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的多普勒頻移相差66 Hz左右，即偏心率每增加0.000 1，多普勒增加1 Hz。所以由于衛(wèi)星軌道偏心率引起的衛(wèi)星高度變化帶來的多普勒較小，可以忽略不計(jì)。

1.2地心地固坐標(biāo)系下的任意用戶位置載波多普勒頻移最大（?。┲涤?jì)算

上節(jié)中的衛(wèi)星速度是在地心慣性坐標(biāo)系下的衛(wèi)星速度，然而由于地球自轉(zhuǎn)，衛(wèi)星相對于用戶的速度并不是之前的速度，地球自轉(zhuǎn)會對地球上靜止的用戶帶來附加的多普勒頻移。因此需要關(guān)注的是在地心地固坐標(biāo)系下的多普勒頻移最大值。

為了分析特定用戶位置處地心地固坐標(biāo)系下的多普勒頻移最大值，可分為以下幾步：

（1）分析地心地固坐標(biāo)系下的衛(wèi)星速度大??；c

（2）求解任意用戶位置取得多普勒頻移最大 （小）值時(shí)的衛(wèi)星位置；

（3）求解地心地固坐標(biāo)系系下的衛(wèi)星徑向速度，從而計(jì)算任意用戶位置多普勒頻移最大（小）值。

1.2.1地心地固坐標(biāo)系下的衛(wèi)星速度

衛(wèi)星軌道傾斜角度為i，地球自轉(zhuǎn)角速度為ωE，地心慣性下的衛(wèi)星速度為v→E，地心地固坐標(biāo)系下的衛(wèi)星速度為v→F，衛(wèi)星所對應(yīng)的緯度為φ，則

得到通［4］：

則可以

|vF（φ）|2=|vs|2+rs2ωE2cos2φ-2rsωE|vs|cos i

當(dāng)衛(wèi)星處于0≤φ≤i時(shí)，|vF（i）|≤|vF（φ）|≤|vF（0）|，即|vF（φ）|max=|vF（0）|。GPS衛(wèi)星軌道傾角i=55°，則|vF（φ）|max=|vF（0）|=3 186（m/s）。

圖4　地心地固坐標(biāo)系下衛(wèi)星產(chǎn)生多普勒頻移示意圖

圖5　衛(wèi)星在地心地固坐標(biāo)系下的速度變化

1.2.2求解任意用戶位置取得多普勒頻移最大（?。┲禃r(shí)的衛(wèi)星位置

衛(wèi)星在仰角為0時(shí)取得多普勒頻移最大（?。┲?，所以求解衛(wèi)星取得多普勒頻移最大（小）值時(shí)的位置，即為求解衛(wèi)星取得零仰角時(shí)的位置。

假設(shè)用戶位置（B0，L0，H0）（也可表示為（x0，y0，z0）），衛(wèi)星軌道傾角為i，且已知某顆衛(wèi)星地心地固坐標(biāo)下的任一位置（xs，ys，zs），則相對于用戶位置的切面與衛(wèi)星軌道的交點(diǎn)即為衛(wèi)星取得零仰角的位置（X，Y，Z）。

相對于用戶位置的切面方程為

x0·x+y0·y+z0·z=Re2

衛(wèi)星軌道可以表示為

其中 ：iorb→=（a，b，c）是衛(wèi)星軌道面的法向量；

而iorb→=（a，b，c）可以通過

綜上，求解取得最大多普勒頻移的衛(wèi)星位置即為（16），（17）方程組的解。

1.2.3地心地固坐標(biāo)系系下的衛(wèi)星徑向速度

在求得取得多普勒頻移最大值的衛(wèi)星位置（X，Y，Z）（可以轉(zhuǎn)換為（B，L，H））之后，地心地固坐標(biāo)系下衛(wèi)星的速度方向向量ivs→=iorb→?（X，Y，Z）；而此位置處的地球自轉(zhuǎn)速度方向?yàn)閕ve→=（0，0，1）?（X，Y，Z），則衛(wèi)星在地心地固坐標(biāo)系（X，Y，Z）處的衛(wèi)星速度

同時(shí)用戶指向衛(wèi)星的徑向向量為irad→=（X-x0，Y-y0，Z-z0），則衛(wèi)星在取得多普勒頻移最大（?。┲滴恢锰幍男l(wèi)星徑向速度為vFdmax=vFdmax→·，所以用戶（B0，L0，H0）可以取得的多普勒頻移最大（?。┲禐椋?/p>

2　基于精密星歷的任意用戶位置載波多普勒頻移計(jì)算

上述主要關(guān)注的是多普勒頻移最大值，接下來要關(guān)注的是任意用戶位置，任意時(shí)刻的多普勒頻移。

地心地固坐標(biāo)系下的用戶位置為R→u（經(jīng)度λ，緯度φ），衛(wèi)星位置為R→s，則地心地固坐標(biāo)系下用戶指向衛(wèi)星的矢量為

用戶位置向東、向北和天頂方向的單位向量如下［5］：

則衛(wèi)星在東北天坐標(biāo)系下可以表示為

方位角和俯仰角為

當(dāng)仰角大于0度時(shí)，計(jì)算此時(shí)的多普勒頻移。

衛(wèi)星徑向速度為vd=-

綜上，在已知用戶位置的情況下，可以通過精密星歷得到地心地固坐標(biāo)系下的衛(wèi)星位置，從而可以得到此時(shí)的多普勒頻移。

3　實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1載波多普勒頻移與仰角、方位角之間的關(guān)系

在本組試驗(yàn)中，通過GPS模擬器測試2013年3月20日14號衛(wèi)星于特定點(diǎn)（0°N，116.3°E）的多個(gè)時(shí)間點(diǎn)的仰角，方位角與載波多普勒頻移。則可以得到：

圖6　載波多普勒頻移與方位角和仰角的關(guān)系

通過上圖可以看出，在方位角相同的情況下，仰角越小，載波多普勒頻移越大；且在仰角為零時(shí)，載波多普勒頻移取得最大值。

3.2地心地固坐標(biāo)系下的載波多普勒頻移最大（?。┲?/p>

本節(jié)首先驗(yàn)證衛(wèi)星在不同緯度處的地心地固坐標(biāo)系下速度，通過GPS模擬器測試2013年3月20日14號衛(wèi)星的衛(wèi)星位置和相應(yīng)的地心地固坐標(biāo)下衛(wèi)星速度，則可以得到如圖7所示。

圖7　地心地固坐標(biāo)系下不同緯度處的衛(wèi)星速度

可以看出，實(shí)測曲線基本上與理論曲線相符合，差距最大在緯度為0°時(shí)衛(wèi)星速度差在50 m/s。

接著驗(yàn)證任意用戶位置處的多普勒頻移最大（?。┲?；主要驗(yàn)證兩組：（1）在經(jīng)度為0°緯度為（0°～90°）處多普勒頻移最大（?。┲?；（2）在緯度為0°經(jīng)度 （0°～360°）處多普勒頻移最大（?。┲?。

通過以上兩組數(shù)據(jù)的對比，可得出：實(shí)測曲線與理論曲線基本符合。即地心地固坐標(biāo)系下的載波多普勒頻移計(jì)算方法是正確的。

3.3基于精密星歷的任意用戶位置載波多普勒頻移實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以下四組GPS（L1）數(shù)據(jù)分別是在北京航空航天大學(xué)新主樓F座2樓（20150610，20150624）和11樓（20150721，20150909）采集。11樓的經(jīng)緯高（39.9790474586°，116.344062256°，98.01183617 m）是接收機(jī)長期標(biāo)定測的，2樓經(jīng)緯高（39.978886°，116.345618°，56.08 m）是由11樓的經(jīng)緯高推算得到，則可以仿真得到四組數(shù)據(jù)的多普勒頻移分別如下表1～4所示。

圖8　地心地固坐標(biāo)系下載波多普勒頻移最大（小）值隨緯度的變化

圖9　地心地固坐標(biāo)系下載波多普勒頻移最大（?。┲惦S經(jīng)度的變化

表1　2樓20150610多普勒頻移計(jì)算

可以看到通過修正晶振誤差后，4顆衛(wèi)星的實(shí)測與理論多普勒頻移差值在20 Hz左右。

表2　2樓20150624多普勒頻移計(jì)算

可以看到通過修正晶振誤差后，5顆衛(wèi)星的實(shí)測與理論多普勒頻移差值在-10 Hz左右。

表3　11樓20150721多普勒頻移計(jì)算

可以看到通過修正晶振誤差后，5顆衛(wèi)星的實(shí)測與理論多普勒頻移差值在-3 Hz左右。

表4　11樓20150909多普勒計(jì)算

可以看到通過修正晶振誤差后，5顆衛(wèi)星的實(shí)測與理論多普勒頻移差值在3 Hz左右。

由以上4組數(shù)據(jù)的理論計(jì)算和實(shí)測數(shù)據(jù)的對比可以得出，任意用戶位置的多普勒頻移理論計(jì)算符合實(shí)測數(shù)據(jù)的多普勒頻移。11樓2組數(shù)據(jù)的多普勒頻移誤差完全是由晶體振蕩誤差引起，而2樓2組數(shù)據(jù)仍存在其他誤差來源，可能來源是：（1）2樓位置是由11樓推算出來的，可能存在位置誤差；（2）2樓的采集位置處離周圍墻壁較近，可能存在多徑。

4　結(jié)論

本文提出了在地心地固坐標(biāo)系下任意用戶位置載波多普勒頻移最大值的精確計(jì)算方法，考慮地球自轉(zhuǎn)以及用戶位置對多普勒頻移的影響，修正了之前TSUI的關(guān)于多普勒頻移最大值的推導(dǎo)；并且通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證其理論計(jì)算曲線基本符合實(shí)際測試曲線。

本文同時(shí)提出了一種基于精密星歷的任意用戶位置載波多普勒頻移計(jì)算方法，可以計(jì)算出任意用戶位置任意時(shí)刻（精密星歷時(shí)間范圍內(nèi)）的多普勒頻移，同時(shí)也通過實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，其理論計(jì)算值和實(shí)測值在修正晶振誤差后基本相等（誤差在20 Hz以內(nèi)）。本文提出的載波多普勒頻移計(jì)算方法在已知精密星歷和用戶位置情況下則可以計(jì)算結(jié)果，更易于計(jì)算出多普勒頻移；并且此計(jì)算方法可以得到任意用戶位置任意時(shí)刻的載波多普勒，在實(shí)測數(shù)據(jù)難以得到時(shí)可以代替實(shí)測數(shù)據(jù)計(jì)算多普勒頻移，所以此計(jì)算方法對多普勒頻移的理論研究非常有意義。

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Calculation，Analysis and Experimental Verification of GNSS Carrier Doppler Frequency Shift

Yang Qian，Qin Honglei
（School of Electronic and Information Engineering，Beihang University，Beijing100191，China）

The Doppler frequency shift is crucial in Global Satellite Navigation System signal processing.This paper studied the calculation of the maximum Doppler frequency shift in Earth-Centered Inertial Coordinate System，its derivation didn't consider the impact of the Earth's rotation rate and user location.This issue was analyzed in this paper，through establishing three-dimensional geometric model of the location and speed between the satellite and the user，proposed a computational method of Doppler frequency maximum shift at any user's location in Earth-Centered Earth-Fixed Coordinate System.Simultaneously，for the calculation of the Doppler frequency shift，proposed a computational method of Doppler frequency shift at any user's location based on the precise ephemeris by constructing the distance vector between the satellite and the user.Finally，GNSSsimulation data and the real data are used to verify，the results of two methods are consistent with the experimental results.Two new methods can compute Doppler frequency shift maximum and Doppler frequency shift at any user' s location in Earth-Centered Earth-Fixed Coordinate System.

GNSS；Doppler frequency shift；ECI；ECEF；maximum

1671-4598（2016）05-0270-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.05.075

TN967.1

A

2015-11-03；

2015-12-09。

楊茜（1992-），女，陜西咸陽人，碩士研究生，主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航方向的研究。

秦紅磊（1975-），男，山東臨清人，教授，主要從事衛(wèi)星導(dǎo)航、組合導(dǎo)航、電子設(shè)備的自動(dòng)測試等方向的研究。