一種新型初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁?jiǎn)卧?/h1>
2016-11-22 03:10:23辛旭飛
山西建筑 2016年20期
辛 旭 飛
(國(guó)核電力規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，北京 100094)
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一種新型初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁?jiǎn)卧?/p>
辛 旭 飛
(國(guó)核電力規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，北京 100094)
采用有限元理論，借鑒平面Euler梁?jiǎn)卧奈灰颇Ｊ?，提出了一種2節(jié)點(diǎn)8自由度的初始扭轉(zhuǎn)Euler梁?jiǎn)卧?，基于該單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，自編有限元程序，求解初始扭轉(zhuǎn)梁的自振頻率，并通過(guò)算例，分析證明了初始扭轉(zhuǎn)Euler梁?jiǎn)卧暮侠硇院透咝浴?/p>
初始扭轉(zhuǎn)Euler梁，單元?jiǎng)偠染仃?，有限元程?/p>
0 引言
近年來(lái)涌現(xiàn)出的大量新型空間結(jié)構(gòu)，如網(wǎng)殼、懸索、張拉索—膜結(jié)構(gòu)，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代建筑結(jié)構(gòu)富于變換的特點(diǎn)。為滿(mǎn)足建筑造型和工程結(jié)構(gòu)的需要,新型空間結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)采用了大量初始扭轉(zhuǎn)桿件。2008年北京奧運(yùn)會(huì)主體育館“鳥(niǎo)巢”就是這類(lèi)結(jié)構(gòu)的典型代表，如圖1所示。
初始扭轉(zhuǎn)構(gòu)件指構(gòu)件本身的幾何形態(tài)呈現(xiàn)扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。由于扭轉(zhuǎn)角的存在,初始扭轉(zhuǎn)構(gòu)件兩個(gè)彎曲方向的受力和變形相互耦合，其受力比較復(fù)雜。故部分學(xué)者[1-3]進(jìn)行了該梁力學(xué)性能的理論研究。
于是，部分學(xué)者開(kāi)始借助有限元技術(shù)，用殼單元模擬初始扭轉(zhuǎn)梁[4,5]。但由于位移模式不準(zhǔn)確，結(jié)果仍有誤差，而且耗時(shí)、耗資。為了彌補(bǔ)殼單元模擬初始扭轉(zhuǎn)梁的不足，部分學(xué)者[6,7]直接開(kāi)展了該梁的靜力和動(dòng)力有限單元研究，但考慮因素相對(duì)較少。
基于初始扭轉(zhuǎn)梁研究不足的現(xiàn)狀，本文針對(duì)忽略剪切效應(yīng)的常規(guī)初始扭轉(zhuǎn)梁，采用有限元基本理論，開(kāi)展了新型初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁有限單元的研究。
1 初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣的建立
如圖2所示，初始扭轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)存在兩種坐標(biāo)系，梁?jiǎn)卧w坐標(biāo)系(x-y-z)和梁截面局部坐標(biāo)系(x′-y′-z)。在整體坐標(biāo)系下定義節(jié)點(diǎn)自由度和建立單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>
單元有2個(gè)節(jié)點(diǎn)，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)有4個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度。根據(jù)節(jié)點(diǎn)自由度，使用插值理論構(gòu)造初始扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧奈灰茍?chǎng)。
(1)
(2)
其中，w(z)，v(z)分別為y方向，x方向的位移；u1，u2分別為節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2沿y方向的位移；u3,u4分別為節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2沿y方向的轉(zhuǎn)角；u5,u6分別為節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2沿x方向的位移；u7,u8分別為節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)2沿x方向的轉(zhuǎn)角。
在式(1)的基礎(chǔ)上，建立初始扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧膽?yīng)變能和動(dòng)力。
因不考慮剪切應(yīng)變和軸向變形，扭梁中應(yīng)變能U僅為兩個(gè)方向彎曲引起的應(yīng)變能：
(3)
其中，l為梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度；E為材料的彈性模量；Ixx，Ixy，Iyy均為初始扭轉(zhuǎn)梁截面慣性矩。
Ixx，Ixy，Iyy的計(jì)算公式為：
(4)
其中，b，h分別為梁截面的寬度和高度；θ為截面扭轉(zhuǎn)角，θ=c·z+θ0，θ0為坐標(biāo)原點(diǎn)處截面的初始扭轉(zhuǎn)角，c為扭率。
初始扭轉(zhuǎn)梁的動(dòng)能T包括線位移引起項(xiàng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量項(xiàng)，為：
(5)
最終扭轉(zhuǎn)梁的應(yīng)變能U和動(dòng)能T的矩陣表達(dá)形式為：
(6)
(7)
基于K和M，可以方便地建立初始扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧膭?dòng)力方程，求解出扭轉(zhuǎn)梁的動(dòng)力特性。
2 算例驗(yàn)證
表1 初始扭轉(zhuǎn)梁本文計(jì)算結(jié)果與Banerjee[7]所得結(jié)果的比較
表2 兩端固定梁自振頻率表 ×103
根據(jù)上述初始扭轉(zhuǎn)梁有限元理論的介紹，本文自編程序計(jì)算初始扭轉(zhuǎn)Euler梁的自振頻率。通過(guò)與Banerjee[7]所得結(jié)果的對(duì)比來(lái)說(shuō)明這種梁?jiǎn)卧挠行院途取?/p>
由表1可見(jiàn)，本文所算結(jié)果與Banerjee所算結(jié)果基本一致，說(shuō)明本文所提扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧恼_性。由表2可見(jiàn)，對(duì)于梁的前四階自振頻率值，從5個(gè)、6個(gè)單元開(kāi)始趨于穩(wěn)定(頻率值變化小于2%)，說(shuō)明本文所提新型單元具有較高的計(jì)算效率，只需要少量單元，就能獲得理想的計(jì)算結(jié)果。
3 結(jié)語(yǔ)
本文基于有限元理論，建立了一種新型的初始扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧Ｐ?。通過(guò)算例分析表明本文所建立的有限元模型不但精度高，而且計(jì)算效率高，方便工程應(yīng)用。
[1] 虞愛(ài)民.自然彎扭梁的非線性分析[J].力學(xué)季刊，2002，23(2)：275-281.
[2] 虞愛(ài)民,易 明.自然彎扭梁廣義翹曲坐標(biāo)的求解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力，2004，25(10)：1067-1075.
[3] 陳昌宏，單 建，黃 鶯.初始扭轉(zhuǎn)矩形梁力學(xué)性能研究[J].工業(yè)建筑，2009，39(4)：54-57.
[4] 陳春華，舒贛平.具有初始扭轉(zhuǎn)的箱型截面梁的極限抗彎承載力研究[J].工業(yè)建筑，2009，39(S1)：1685-1693.
[5] 陳昌宏，單 建，黃 鶯.初始扭轉(zhuǎn)軸壓桿彈性彎扭屈曲性能研究[J].工程力學(xué)，2009，26(6)：166-171.
[6] 陳昌宏，黃 鶯，單 建.初始扭轉(zhuǎn)歐拉梁有限元力學(xué)模型研究[J].工業(yè)建筑，2012，42(5):94-97.
[7] J.R.Banerjee.Free vibration analysis of a twisted beam using the dynamic stiffness method[J].International Journal of Solid and Structure,2001(38)：6703-6722.
On new pre-twisted Euler-Bernouli beam element
Xin Xufei
(StateNuclearElectricPowerPlanningDesignandResearchInstitute,Beijing100094,China)
The paper adopts the finite element theory, points out 2-joint and 8 DOF pre-twisted Euler beam element by referring to the displacement model of the plane Euler beam element, designs the finite element program based on the stiffness and quality matrix of the element, solves the self-vibration frequency of the pre-twisted beam, and through the example, analyzes the pre-twisted Euler beam is reasonable and efficient.
pre-twisted Euler beam, element stiffness matrix, finite element program
1009-6825(2016)20-0035-02
2016-05-13
辛旭飛(1979- )，男，工程師
TU311.4
A
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辛 旭 飛
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辛 旭 飛
(國(guó)核電力規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院，北京 100094)
采用有限元理論，借鑒平面Euler梁?jiǎn)卧奈灰颇Ｊ?，提出了一種2節(jié)點(diǎn)8自由度的初始扭轉(zhuǎn)Euler梁?jiǎn)卧?，基于該單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，自編有限元程序，求解初始扭轉(zhuǎn)梁的自振頻率，并通過(guò)算例，分析證明了初始扭轉(zhuǎn)Euler梁?jiǎn)卧暮侠硇院透咝浴?/p>
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初始扭轉(zhuǎn)構(gòu)件指構(gòu)件本身的幾何形態(tài)呈現(xiàn)扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。由于扭轉(zhuǎn)角的存在,初始扭轉(zhuǎn)構(gòu)件兩個(gè)彎曲方向的受力和變形相互耦合，其受力比較復(fù)雜。故部分學(xué)者[1-3]進(jìn)行了該梁力學(xué)性能的理論研究。
于是，部分學(xué)者開(kāi)始借助有限元技術(shù)，用殼單元模擬初始扭轉(zhuǎn)梁[4,5]。但由于位移模式不準(zhǔn)確，結(jié)果仍有誤差，而且耗時(shí)、耗資。為了彌補(bǔ)殼單元模擬初始扭轉(zhuǎn)梁的不足，部分學(xué)者[6,7]直接開(kāi)展了該梁的靜力和動(dòng)力有限單元研究，但考慮因素相對(duì)較少。
基于初始扭轉(zhuǎn)梁研究不足的現(xiàn)狀，本文針對(duì)忽略剪切效應(yīng)的常規(guī)初始扭轉(zhuǎn)梁，采用有限元基本理論，開(kāi)展了新型初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁有限單元的研究。
1 初始扭轉(zhuǎn)Euler-Bernouli梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚭唾|(zhì)量矩陣的建立
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其中，l為梁?jiǎn)卧L(zhǎng)度；E為材料的彈性模量；Ixx，Ixy，Iyy均為初始扭轉(zhuǎn)梁截面慣性矩。
Ixx，Ixy，Iyy的計(jì)算公式為：
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其中，b，h分別為梁截面的寬度和高度；θ為截面扭轉(zhuǎn)角，θ=c·z+θ0，θ0為坐標(biāo)原點(diǎn)處截面的初始扭轉(zhuǎn)角，c為扭率。
初始扭轉(zhuǎn)梁的動(dòng)能T包括線位移引起項(xiàng)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量項(xiàng)，為：
(5)
最終扭轉(zhuǎn)梁的應(yīng)變能U和動(dòng)能T的矩陣表達(dá)形式為：
(6)
(7)
基于K和M，可以方便地建立初始扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧膭?dòng)力方程，求解出扭轉(zhuǎn)梁的動(dòng)力特性。
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3 結(jié)語(yǔ)
本文基于有限元理論，建立了一種新型的初始扭轉(zhuǎn)梁?jiǎn)卧Ｐ?。通過(guò)算例分析表明本文所建立的有限元模型不但精度高，而且計(jì)算效率高，方便工程應(yīng)用。
[1] 虞愛(ài)民.自然彎扭梁的非線性分析[J].力學(xué)季刊，2002，23(2)：275-281.
[2] 虞愛(ài)民,易 明.自然彎扭梁廣義翹曲坐標(biāo)的求解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力，2004，25(10)：1067-1075.
[3] 陳昌宏，單 建，黃 鶯.初始扭轉(zhuǎn)矩形梁力學(xué)性能研究[J].工業(yè)建筑，2009，39(4)：54-57.
[4] 陳春華，舒贛平.具有初始扭轉(zhuǎn)的箱型截面梁的極限抗彎承載力研究[J].工業(yè)建筑，2009，39(S1)：1685-1693.
[5] 陳昌宏，單 建，黃 鶯.初始扭轉(zhuǎn)軸壓桿彈性彎扭屈曲性能研究[J].工程力學(xué)，2009，26(6)：166-171.
[6] 陳昌宏，黃 鶯，單 建.初始扭轉(zhuǎn)歐拉梁有限元力學(xué)模型研究[J].工業(yè)建筑，2012，42(5):94-97.
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