劉坤毅（長沙市雅禮中學(xué)，湖南長沙410000）

論數(shù)學(xué)在物理發(fā)展中的應(yīng)用與地位

劉坤毅（長沙市雅禮中學(xué)，湖南長沙410000）

物理和數(shù)學(xué)的結(jié)合受到越來越多同學(xué)的重視，數(shù)學(xué)知識在物理中的運(yùn)用對于物理學(xué)習(xí)來說意義重大，有必要進(jìn)一步推進(jìn)。數(shù)學(xué)因為其縝密的邏輯和解決問題的實用性，給物理解題帶來了極大的便利。希望本文對廣大物理學(xué)習(xí)者運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行物理解題給以創(chuàng)造性的啟發(fā)，合理發(fā)揮數(shù)學(xué)的解題功能，提高大家對于物理解題的創(chuàng)新性和靈活性，實現(xiàn)物理學(xué)習(xí)的創(chuàng)新性發(fā)展。

數(shù)學(xué)；物理發(fā)展；應(yīng)用

1 數(shù)學(xué)方法在物理解題中應(yīng)用的意義

數(shù)學(xué)方法是研究物理學(xué)的一種工具，它可以很好的為物理學(xué)的相關(guān)公式提供綜合表示。如速度、密度、功率和其他物理概念往往通過數(shù)學(xué)公式表示。此外，數(shù)學(xué)方法也可以結(jié)合物理的抽象和推理，進(jìn)一步演化成一個定律。同時，在實驗、實踐等方面的物理學(xué)習(xí)中也可以加入數(shù)學(xué)方法，幫助同學(xué)們了解。在物理學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們常常覺得概念和規(guī)則晦澀難懂，難以形成解決問題的思路。而數(shù)學(xué)可以鍛煉同學(xué)們的邏輯思維能力和解決問題的能力，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)知識可以更好地理解和掌握物理解題原理。

2 數(shù)學(xué)在物理學(xué)習(xí)過程中的作用

2.1 數(shù)學(xué)是描述物理現(xiàn)象和規(guī)律的重要語言

物理學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)學(xué)科，物理現(xiàn)象和物理規(guī)律需要用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行描述。學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法來定義物理概念是物理學(xué)習(xí)的重要要求。許多物理的概念需要用數(shù)學(xué)語言來描述。例如牛頓第二定律的文字表述為：物體的加速度跟物體所受的合外力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。這樣的表述未免繁瑣，如果用數(shù)學(xué)語言描述的話可以用如下的公式來表達(dá)：F=ma，其中F為物體受的合外力；m為物體的質(zhì)量；a為物體的加速度。由數(shù)學(xué)語言與文字語言的對比可以看到數(shù)學(xué)語言的描述更加的簡便準(zhǔn)確，有利于交流和理解。

正是由于數(shù)學(xué)語言的簡便準(zhǔn)確的特點(diǎn)，物理學(xué)科中大量的使用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行物理量的定義和物理關(guān)系的推導(dǎo)。幾乎所有的物理學(xué)的運(yùn)算都要借助數(shù)學(xué)語言的幫助，在物理學(xué)科中每一個物理量都有一個對應(yīng)的數(shù)學(xué)符號，這樣就可以將物理量的求解化為利用數(shù)學(xué)的方式對某一數(shù)學(xué)符號的計算。例如在物理學(xué)定義中規(guī)定F為物體受的力，m為物體的質(zhì)量，a為物體的加速度。當(dāng)已知物體的質(zhì)量和所受的力時，對物體加速度的計算就轉(zhuǎn)化為一個簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算，這樣我們很容易就可以得到加速度的結(jié)果。

2.2 數(shù)學(xué)是進(jìn)行物理問題推導(dǎo)的有力工具

由于數(shù)學(xué)語言的便利性，物理學(xué)科中大量地采用數(shù)學(xué)語言描述物理問題，從而可以將物理問題的求解轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的求解。在對物理的學(xué)習(xí)中，我們要不斷強(qiáng)化用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力，要根據(jù)具體的物理問題，列出相應(yīng)物理量的數(shù)學(xué)關(guān)系式，分析已知條件和未知條件，對相應(yīng)物理量進(jìn)行數(shù)學(xué)求解。物理問題的分析解決也離不開數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用。例如力學(xué)部分力的分解與合成中需要利用到數(shù)學(xué)中的三角關(guān)系，而運(yùn)動學(xué)中對速度、加速度和運(yùn)動距離三者進(jìn)行計算時需要用到二元一次方程進(jìn)行計算。由此可見，如果不能對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行扎實的掌握，對物理問題進(jìn)行求解時就會力不從心。例如物理中對壓強(qiáng)的定義為：P=FS，P為壓強(qiáng)；F為壓力：S為受力面積。而具體物理問題可能是已知壓強(qiáng)和受力面積時，對壓力的求解。因此，對數(shù)學(xué)推理推導(dǎo)方法的熟練掌握是學(xué)好物理的前提，數(shù)學(xué)工具的靈活運(yùn)用是進(jìn)行物理問題推導(dǎo)的有力手段。

2.3 數(shù)學(xué)思想是對物理問題分析的重要方法

數(shù)學(xué)是一門抽象科學(xué)，而許多數(shù)學(xué)思想是對物理的學(xué)習(xí)具有重大的指導(dǎo)意義。將數(shù)學(xué)思想在物理學(xué)習(xí)中進(jìn)行靈活的運(yùn)用，可以使物理的學(xué)習(xí)得到事半功倍的效果。例如在物理問題的解決中，數(shù)學(xué)作圖的思想得到了廣泛的應(yīng)用。將復(fù)雜的物理問題用數(shù)學(xué)圖像表達(dá)出來，往往可以使物理問題和各個物理量之間的關(guān)系簡單明了，方便了對物理問題的分析求解。例如下面這個問題：

一條小河寬L=100m，水流速度V1=3m/s，船在靜水中的開行速度為V2=5m/s，求小船渡河的最短時間和小船的總位移距離。

這一問題涉及到速度的合并，由于水流速度和小船的開行速度方向大小均不同，需要分析得到小船的實際運(yùn)行方向和速度大小。如果對這一問題進(jìn)行作圖分析就可以很容易地進(jìn)行解決。小船以最短時間渡河時小船開行方向V2必須垂直于河岸，此外由于水流速度V1平行河岸，那么小船的實際速度V總的大小和方向就如圖1所示。此外還有許多數(shù)學(xué)思想如逆向思維和對稱思想在物理學(xué)習(xí)中同樣可以起到簡化問題的效果，因而在物理學(xué)的學(xué)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用，讓數(shù)學(xué)思想成為學(xué)習(xí)物理的重要基石。

圖1

3 數(shù)學(xué)方法定義物理概念和推導(dǎo)物理規(guī)律

3.1 數(shù)學(xué)概念在高中物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)新的物理概念時，可以先從類似數(shù)學(xué)定義的角度進(jìn)行分析，這樣能使同學(xué)們在掌握新物理概念的同時聯(lián)系數(shù)學(xué)知識，幫助其更好地理解和掌握。例如，在數(shù)學(xué)知識中，既有大小又有方向的量稱為矢量，其運(yùn)算遵循三角形法則。在物理概念中，力是既有大小又有方向的，且力的合成遵循平行四邊形原則。還有一些物理量諸如長度、溫度、質(zhì)量和時間等沒有方向只有大小，物理中稱其為標(biāo)量。諸如這類物理量時可聯(lián)系數(shù)學(xué)知識來幫助理解，便于讓其形成學(xué)科交叉思考的意識。再如，物理學(xué)習(xí)中研究平拋運(yùn)動，同學(xué)們都知道其運(yùn)動軌跡是拋物線，但對于為什么是拋物線這個問題，知道的同學(xué)就較少。根據(jù)平拋物體的運(yùn)動特點(diǎn)，得到x=v0t、y=gt2，后，對其變形便可得出平拋物體軌跡方程是一常數(shù)，令它為a，便可得出y=ax2。大家都學(xué)過數(shù)學(xué)拋物線知識，所以能很容易理解和掌握這個物理概念。

3.2 數(shù)學(xué)方法在高中物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)和物理的發(fā)展是彼此滲透、相輔相成的，其中很多的數(shù)學(xué)思維和方法對于物理問題的思考分析和解決非常有利。對于高中的物理學(xué)習(xí)而言，其中能運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法非常多，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題，不僅能獲得事半功倍的效果，還能培養(yǎng)同學(xué)們跨學(xué)科思維和靈活運(yùn)用各學(xué)科知識的能力。

例如，一輛汽車剎車后做勻減速直線運(yùn)動到其停止，用時5s，求這輛汽車在剎車過程中的前2s內(nèi)的位移與后3s內(nèi)的位移比是多少。剎車問題可以看成是反向速度為零的勻加速直線運(yùn)動，可根據(jù)勻加速直線運(yùn)動位移公式以及位移差公式去分析，運(yùn)用數(shù)學(xué)的比例計算法，便不難得出結(jié)果。

再如，利用數(shù)學(xué)的二次函數(shù)可以解決很多物理問題，如一汽車勻速行駛，速度為V1，這時司機(jī)發(fā)現(xiàn)前方在相同軌道上距離s處有另一輛汽車正以速度V2沿相同方向勻速前進(jìn)，已知V1＞V2，此時司機(jī)立即采取剎車措施，那么a應(yīng)滿足什么條件才能使兩輛汽車不相撞？解題時，根據(jù)兩車位移公式，一個勻速，一個勻減速，最后變形得出前車與后車位移差Δx=+（V2-V1）t+s，根據(jù)題目要求，可推測出t為任意值時應(yīng)都能滿足△x≥0，因此，可根據(jù)二次函數(shù)的知識求解上述方程，得出結(jié)論。

4 應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來分析、解決物理問題時應(yīng)該注意的幾個問題

4.1 要理解物理公式、圖像所表示的物理意義

物理公式中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識時，一定要弄清物理公式或圖像所表示的物理意義，不能單純地從抽象的數(shù)學(xué)意義理解物理問題，防止單純地從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)出現(xiàn)物理公式“純數(shù)學(xué)化”的傾向。如在電容的概念學(xué)習(xí)中，就有一大部分同學(xué)認(rèn)為電容與電荷量成正比，與電壓成反比。

4.2 表達(dá)物理概念或規(guī)律的公式

表達(dá)物理概念或規(guī)律的公式都有自己的適應(yīng)條件，要防止數(shù)學(xué)知識在物理應(yīng)用中的負(fù)遷移。在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問題時，一定要弄清物理公式的適用條件和應(yīng)用范圍。例如真空中庫侖定律的公式只適用于兩個相對靜止的點(diǎn)電荷。值得注意的是，如果從“純數(shù)學(xué)化”觀念來看，當(dāng)r→0時，F(xiàn)→∞，但這樣的討論在物理上是毫無意義的，因為這時Q1、Q2不能看做點(diǎn)電荷，而且兩者間的相互作用力變得很復(fù)雜，庫侖定律描述不了它們之間的相互作用。

許多物理量都是用比值法定義的，常稱之為“比值定義”。如密度ρ=m/V，導(dǎo)體的電阻R=U/I，電容器的電容C=Q/U，接觸面間的動摩擦因數(shù)μ=fFN，電場強(qiáng)度E=F/q等。它們的共同特征是：被定義的物理量是反映物體或物質(zhì)的屬性和特征的，它和定義式中的物理量無關(guān)。對此，很容易把它當(dāng)做一個數(shù)學(xué)比例式處理而忽略了其物理意義，也就是說，學(xué)習(xí)中還要防止數(shù)學(xué)知識在物理應(yīng)用中的負(fù)遷移。

4.3 要注意“數(shù)學(xué)的解”與“物理的解”是否統(tǒng)一

如果由建立的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解出的數(shù)學(xué)的解都不符合物理實際意義，就不能只是簡單下個無解的結(jié)論，而是應(yīng)該對原數(shù)學(xué)模型做仔細(xì)的分析與反思，找到其潛在的問題，并對原數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正。數(shù)學(xué)是“物理學(xué)家的思想工具”，它使物理學(xué)家能“有條理地思考”并能想象出更多東西。可以說，正是有了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的有機(jī)結(jié)合，才使物理學(xué)日臻完善。物理學(xué)的嚴(yán)格定量化，使得數(shù)學(xué)方法成為物理解題中一個不可或缺的工具。

5 結(jié)論

綜上所述，作為一名物理學(xué)習(xí)者，既要熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題，又要掌握將數(shù)學(xué)知識與物理知識融會貫通的技能，這樣才能學(xué)好物理。

［1］彭芳麟.“圖解”數(shù)學(xué)物理方法的學(xué)習(xí)實踐［J］.物理，2007，02：153～158.

［2］劉國光，盧民強(qiáng).數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)內(nèi)容改革的探索［J］.物理，2004，06：59～62.

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2095-2066（2016）30-0224-02

2016-10-14

劉坤毅（2000-），男。